Задание 14 ОГЭ по математике - найти логику в числовой последовательности. Все задания для реального экзамена берутся из банка заданий ФИПИ, и эти задания перед вами. Любое из них может попасться вам на экзамене в этом году. Стоит прорешать их все, чтобы быть уверенным в своих силах.

Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, каждый следующий член которой можно найти, прибавив к предыдущему одно и то же число d . d называется разностью арифметической прогрессии. Оно может быть отрицательным, тогда прогрессия будет убывающей.

В практических задачах о том, что перед нами арифметическая прогрессия, говорит такая конструкция: «каждый следующий НА одно и то же число больше/меньше предыдущего». Или что-то подобное с предлогом НА.

На бланках ОГЭ будут формулы, которые можно и нужно использовать в решении таких задач: формула n-го члена арифметической прогрессии и формула суммы первых n членов арифметической прогрессии; формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии (a_n ) первый член которой равен a₁ и разность равна d.
          a_n =a₁ + d(n-1)

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:
          $S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Формула n-го члена геометрической прогрессии (b_n ) первый член которой равен b₁ и знаменатель равен q.
       b_n=b_1*q^n-1 

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:
          $S_n=\frac{(q_n-1)b_1}{q-1}$

a₁, a₂, ... a_n  - члены прогрессии.

10 типов заданий: амфитеатр с известной разницей рядов; с неизвестной разницей рядов; распад изотопа - 2 типа; биологический эксперимент; змейка на клетчатой бумаге; кафе с квадратными столиками; опыт с охлаждением вещества; скачущий мячик; камень бросают в ущелье.

110 заданий.

Задания на числовую последовательность из ОГЭ по математике

В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?

Решение:

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁=25 и разностью d=3. Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a₈, имеем:
a₈=a₁+d(8-1)=25+3*7=46

Ответ: 46

Другой вариант решения.

Такую задачу можно решить и на пальцах, не зная формулы (на ОГЭ ведь нужен только ответ).
1 ряд - 25, 2 - 28, 3 - 31, 4 - 34, 5 - 37, 6 - 40, 7 - 43, 8 - 46.

Ответ: 46

1F7343

В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?

Решение:

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁=20 и разностью d=3. Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n =a₁ + d(n-1)
Необходимо найти a₁₀, имеем:
a₁₀=a₁+d(10-1)=20+3*9=47
Ответ: 47

5F1149

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

Через 7 минут масса изотопа станет 640 * ¹/₂,
через 14 минут - 640*(¹/₂)² ,
...,
через 42 минуты масса станет 
640*(¹/₂)⁶ = 640/64=10 мг

Ответ: 10

Другой вариант решения.

Заметим, что массы изотопа в заданные моменты времени представляют собой геометрическую прогрессию со знаменателем q=1/2. Масса изотопа в начальный момент времени является первым членом геометрической прогрессии b₁, масса изотопа через 7 минут — вторым членом прогрессии, а масса изотопа через 42 минуты − седьмым членом прогрессии и может быть определена по формуле b₇=b_1*q^7-1 .
b₇=640*(1/2)⁶=640/64=10 мг

Ответ: 10

ACC044

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 13 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

b_n=b_1*q^n-1 
b₄=13*3³=351 мг

Ответ: 351

Другой вариант решения.

Через 30 минут масса колонии станет 13*3=39,
через 60 минут — 39*3=117 ,
через 90 минут масса станет 117*3 = 351 мг.
Ответ: 351

A3E245

В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 8 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б.
В начальный момент масса изотопа А составляла 160 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

Масса образовавшегося изотопа Б равна разности массы исходного вещества и массы оставшегося изотопа А. Каждые 8 минут остается половина атомов изотопа А, следовательно, последовательность значений масс изотопа А представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом b₁=160 и знаменателем q=¹/₂. Найдем массу изотопа А через 40 минут.
40:8=5, да еще нужно учесть начальное значение, значит n=6

$b_6=b_1\ast{(\frac12)}^{6-1}=160\ast\frac1{32}=5$ мг осталось от изотопа А, а все остальное перешло к изотопу Б.

Тогда масса образовавшегося изотопа Б составит 160 − 5 = 155 мг.

Ответ: 155

Ииии объяснение на пальцах.

Это почему-то самая сложная для понимания задача. Ну да, предметная область выбрана из физики, химии. Но давайте опираться на великий и могучий русский язык. Что-то распадается, но в отличие от других задач с изотопами, атомы не исчезают, а переходят в другое место и там остаются. Без потери массы значит: сколько ушло из А, столько пришло в Б. А слово «стабильный» помогает нам понять, что там они и остаются.

Т.к. атомы уходят каждые 8 минут, то нужно будет делить изотоп А пополам 40 : 8 = 5 раз. Получим:

1. 160 : 2 = 80
2. 80 : 2 = 40
3. 40 : 2 = 20
4. 20 : 2 = 10
5. 10 : 2 = 5

А вот теперь самое главное. Что означают эти числа.

1 способ:

Уменьшая массу изотопа А в два раза, получили, что после 40 минут у него осталось 5 мг атомов. Тогда все остальные «ушли» в Б:

160 – 5 = 155.

2 способ:

Полученные числа также говорят о том, сколько атомов «уходило» в Б каждые 8 минут. В изотопе Б они каждый раз добавлялись к тем, что уже там были, тогда будем складывать эти массы:

80 + 40 + 20 +10 + 5 = 155.

Ответ: 155

E8F846

В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

a₁=16, d=3
a_n =a₁ + d(n-1)
a₁₁=16 + 3(11-1)=46
$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$ 
$S_{11}=\frac{16+46}2\ast11=31\ast11=341$

Ответ: 341

Решение на пальцах 
1 ряд - 16, 2 - 19, 3 - 22, 4 - 25, 5 - 28, 6 - 31, 7 - 34, 8 - 37, 9 - 40, 10 - 43, 11 - 46.

(19+31) + (22+28) + (46+34) + (37+43) + 40 + 25 + 16 = 341

Ответ: 341

656145

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 28 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

Геометрическая прогрессия. 
b_n=b_1*q^n-1 
28:7=4, да + начальная точка, значит n=5
b₅=160*1/2⁴=10

Ответ: 10

Другой вариант решения.

1-160
через 7мин - 80
через 14мин - 40
через 21мин - 20
через 28мин - 10

Ответ: 10

310245

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 18 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 60 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

b_n=b_1*q^n-1 
b₄=18*3³=486 мг

Ответ: 486

8EC646

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 10 + 10 + 9 + 9 + 8 + ... + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены два раза, первый член a₁=10, а разность d=1.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 120

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n=\frac{120+1}2\ast120=121\ast60=7260$

Каждый член прогрессии должен быть учтен дважды, следовательно, длина змейки S=2S_n=14520.

Ответ: 14520

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 120 * 121 = 14520

Ответ: 14520

0BECFF

В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

a₁=17, d=3
a_n =a₁ + d(n-1)
a₁₁=17 + 3(11-1)=47
$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$ 
$S_{11}=\frac{17+47}2\ast11=31\ast11=352$

Ответ: 352

28DDF4

В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 16 квадратных столиков вдоль одной линии?

Решение:

Постепенное соединение столиков представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом
a₁=4, a₂=6 и a₃=8, разность d=2.
По формуле n-го члена a_n= a₁ + d * (n - 1) найдем 16 член прогрессии:
a₁₆= 4 + 2 * (16 - 1) = 34.

Ответ: 34

Задачу можно решить иначе.

Если сдвинуть столики вдоль одной линии, то за каждый столик, стоящий на конце линии (таких столиков всего два), смогут сесть по три человека, а за каждый из остальных столиков — по два человека. Следовательно, всего за столики смогут сесть
2 * 3 + (16 - 2) * 2 = 6 + 28 = 34 человека.

Ответ: 34

5A3DF7

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 6° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минуты после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла − 7° C .

Решение:

Заметим, что значения температуры вещества представляют собой арифметическую прогрессию с разностью −6. При этом температура вещества в начальный момент времени будет первым членом прогрессии, температура вещества через одну минуту — вторым членом, а температура вещества через 4 минуты — пятым членом прогрессии, следовательно, она может быть найдена по формуле

a_n=a₁ + d (n - 1)
a₅=a₁ + d (5 - 1) = -7 + (-6) * 4= -31.

Ответ: -31

Другой вариант решения.

Через минуту температура вещества станет - 7 - 6 = -12 , через две минуты — - 7 - 12 =-19 , ..., через 4 минуты температура вещества станет - 7 - 24 = -31 ^оC.

Ответ: -31

AC63F5

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 190.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).

С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:

2S_n=(a₁+a_n)*n

Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 190

2S_n=(a₁+1)*n=191*190=36290

Ответ: 36290

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 190 * 191 = 36290

Ответ: 36290

6A7CF2

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 21 место, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в одиннадцатом ряду амфитеатра?

Решение:

a₁=21, d=2
a_n =a₁ + d(n-1)
a₁₁=21 + 2(11-1)=41

Ответ: 41

6EAFF6

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 360 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см?

Решение:

Изменение высоты отскока мячика представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом b₁=360 см и знаменателем q=1/3. По формуле n-ого члена bn=b₁*q^n-1 найдем, после какого по счету отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см.

b_n < 15 ⇔ b₁q^n-1 < 15 ⇔ 360 * (¹/₃)^n-1 < 15 ⇔ (¹/₃)^n-1 < ¹/₂₄

Следовательно, n=4 — минимальное целое значение, которое удовлетворяет неравенство, или счет отскока, после которого высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см.

Ответ: 4

Решение на пальцах.

С каждым отскоком высота мяча снижается. Здесь прошу обратить ваше внимание, что после первого отскока высота мяча 360 см. Получим:
после первого отскока - 360
после второго 360 : 3 = 120
после третьего 120 : 3 = 40 
после четвертого40 : 3 = 13   < 15

Ответ: 4

4C0E02

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 10 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 150 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

b_n=b_1*q^n-1 
b₆=10*3⁵=2430 мг

Ответ: 2430

F2E006

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 9 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

Решение:

Растущая скорость камня представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁=9 м и разностью d=10 м.
a_n=a₁ + d(n-1)
a₅=9 + 10(5-1)=49

Найдем сумму этой прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$
$S_5=\frac{9+49}25=29\ast5=145$ м.

Ответ: 145.

1D0F07

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 160.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).

С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:

2S_n=(a₁+a_n)*n

Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 160

2S_n=(a₁+1)*n=161*160=25760

Ответ: 25760

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 160 * 161 = 25760

Ответ: 25760

212309

В амфитеатре 16 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в тринадцатом ряду амфитеатра?

Решение:

19 + 2*12=43

Ответ: 43

DDFA05

В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 21 квадратный столик вдоль одной линии?

Решение:

Постепенное соединение столиков представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом
a₁=4, a₂=6 и a₃=8, разность d=2.

По формуле n-го члена a_n= a₁ + d * (n - 1) найдем 21 член прогрессии:
a₂₁= 4 + 2 * (21 - 1) = 44.

Ответ: 44

Задачу можно решить иначе.

Если сдвинуть столики вдоль одной линии, то за каждый столик, стоящий на конце линии (таких столиков всего два), смогут сесть по три человека, а за каждый из остальных столиков — по два человека. Следовательно, всего за столики смогут сесть
2 * 3 + (21 - 2) * 2 = 6 + 38 = 44 человека.

Ответ: 44

D0F50E

В амфитеатре 14 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с пятым членом a₅=27 и восьмым a₈=36, 
a_n =a₁ + d(n-1)  ⇒ разность равна $d=\frac{a_n-a_1}{n-1}$
можно заменить a₁ на a₅, но тогда и единицу в знаменателе не забываем заменить на 5.
$d=\frac{a_8-a_5}{8-5}=\frac{36-27}3=3$

a_n =a₁ + d(n-1)  ⇒ a₁ = a_n - d(n-1)
a₁ = a₅ - d (n - 1) = 27 - 3 * 4 = 15.

По формуле n-го члена a_n= a₁ + d * (n - 1) найдем 14-й член прогрессии:

a₁₄= 15 + 3 * (14 - 1) = 54.

Ответ: 54

A55400

У Кати есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 400 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 20 см?

Решение:

1й отскок - 400 см
2й отскок - 400/2=200
3й отскок - 200/2=100
4й отскок - 100/2=50
5й отскок - 50/2=25
6й отскок - 25/2 <20

Ответ: 6

6FB00A

В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

a₁=19, d=3
a_n =a₁ + d(n-1)
a₁₀=19 + 3(10-1)=46
$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$ 
$S_{10}=\frac{19+46}2\ast10=325$

Ответ: 325

682F09

В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 9 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б.
В начальный момент масса изотопа А составляла 400 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 36 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

36:9=4, значит будем делить 4 раза
400/2
200/2
100/2
50/2=25 мг осталось изотопа А, а остальное перешло в Б

400-25=375 мг образовалось изотопа Б

Ответ: 375

Или решайте по формуле n-го члена геометрической прогрессии b_n=b_1*q^n-1 ; b_n - остаток изотопа А, q=1/2 -во сколько раз увеличивается кол-во, n - количество контрольных точек, включая первую, когда изотоп еще не начал делиться.

b₅ = 400 * 1/2^(5-1)=25 мг  осталось изотопа А, а остальное перешло в Б
400-25=375 мг образовалось изотопа Б

Ответ: 375

1BE872

В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 23 места, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?

Решение:

23 + 3*(10-1)=50

Ответ: 50

DA517E

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 9° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минуты после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла − 5° C .

Решение:

a_n =a₁ + d(n-1), a₁ - начальная температура, d - разность, n - количество контрольных точек, включая первую, когда только начали охлаждать.
a₅ =-5 + (-9)(5-1)=-31
Ответ:-31

5F9E7C

У Светы есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 560 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 20 см?

 

Решение:

1й отскок - 560 см
2й отскок - 560/2
3й отскок - 280/2
4й отскок - 140/2
5й отскок - 70/2
6й отскок - 35/2 <20

Ответ: 6   

C7F273

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 100.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).

С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:

2S_n=(a₁+a_n)*n

Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 100

2S_n=(a₁+1)*n=101*100=10100

Ответ: 10100

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 100 * 101 = 10100

Ответ: 10100

90FA7D

В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 9 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б.
В начальный момент масса изотопа А составляла 640 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 45 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

...
Ответ:

E89579

В амфитеатре 16 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В четвёртом ряду 23 места, а в восьмом ряду 35 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

(35-23):(8-4)=3 - на 3 места больше в каждом следующем ряду
За 8-м рядом еще 8 рядов.
35 + 3 * 8 = 59 мест в последнем ряду
Ответ: 59

3FE074

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

Геометрическая прогрессия. 
b_n=b_1*q^n-1 
40:8=5, да + начальная точка, значит n=6
b₆=320*(1/2)⁵=10

Ответ: 10

Проверим.

было - 320 мг
через 8 мин - 320/2
через 16 мин - 160/2
через 24 мин - 80/2
через 32 мин - 40/2
через 40 мин - 20/2=10 мг

Ответ: 10

319371

У Ани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 630 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 25 см?

Решение:

...
Ответ:

308876

В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

a₁=17, d=2
a_n =a₁ + d(n-1)
a₁₃=17 + 2(13-1)=41
$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$ 
$S_{13}=\frac{17+41}2\ast13=377$

Ответ: 377

4C08B1

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 8 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?

Решение:

...
Ответ:

1354B0

В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 19 квадратных столиков вдоль одной линии?

Решение:

Постепенное соединение столиков представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом
a₁=4, a₂=6 и a₃=8, разность d=2.

По формуле n-го члена a_n= a₁ + d * (n - 1) найдем 19 член прогрессии:
a₁₉= 4 + 2 * (19 - 1) = 40.

Ответ: 40

Задачу можно решить иначе.

Если сдвинуть столики вдоль одной линии, то за каждый столик, стоящий на конце линии (таких столиков всего два), смогут сесть по три человека, а за каждый из остальных столиков — по два человека. Следовательно, всего за столики смогут сесть
2 * 3 + (19 - 2) * 2 = 40 человек.

Ответ: 40

17ABB5

В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 20 квадратных столиков вдоль одной линии?

Решение:

Постепенное соединение столиков представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом
a₁=4, a₂=6 и a₃=8, разность d=2.

По формуле n-го члена a_n= a₁ + d * (n - 1) найдем 20 член прогрессии:
a₂₀= 4 + 2 * (20 - 1) = 42.

Ответ: 42

Задачу можно решить иначе.

Если сдвинуть столики вдоль одной линии, то за каждый столик, стоящий на конце линии (таких столиков всего два), смогут сесть по три человека, а за каждый из остальных столиков — по два человека. Следовательно, всего за столики смогут сесть
2 * 3 + (20 - 2) * 2 = 42 человека.

Ответ: 42

97D5B4

В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?

Решение:

...
Ответ:

94AFB9

В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

...
Ответ:

6E4FB2

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

Геометрическая прогрессия. 
b_n=b_1*q^n-1 
40:8=5, да + начальное значение, значит n=6
b₆=160*(1/2)⁵=5

Ответ: 5

Проверим.

было - 160 мг
через 8 мин - 160/2
через 16 мин - 80/2
через 24 мин - 40/2
через 32 мин - 20/2
через 40 мин - 10/2

Ответ: 5

8F4FB6

В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 7 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б.
В начальный момент масса изотопа А составляла 640 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

...
Ответ:

428917

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 24 места, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в девятом ряду амфитеатра?

Решение:

...
Ответ:

B1E01A

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 36 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

Геометрическая прогрессия. 
b_n=b_1*q^n-1 
36:9=4, да + начальная точка, значит n=5
b₅=400*(1/2)⁴=25

Ответ: 25

Проверим.

было - 400 мг
через 9 мин - 400/2
через 18 мин - 200/2
через 27 мин - 100/2
через 36 мин - 50/2=25 мг

Ответ: 25

B0E713

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 3 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

b_n=b_1*q^n-1 
b₅=3*3⁴=243 мг

Ответ: 243

1AB01B

В амфитеатре 16 рядов. В первом ряду 22 места, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в двенадцатом ряду амфитеатра?

Решение:

...
Ответ:

171C1C

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 5° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 9 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла − 8° C .

Решение:

...
Ответ:

219613

В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 18 квадратных столиков вдоль одной линии?

Решение:

Постепенное соединение столиков представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом
a₁=4, a₂=6 и a₃=8, разность d=2.

По формуле n-го члена a_n= a₁ + d * (n - 1) найдем 18 член прогрессии:
a₁₈= 4 + 2 * (18 - 1) = 38.

Ответ: 38

Задачу можно решить иначе.

Если сдвинуть столики вдоль одной линии, то за каждый столик, стоящий на конце линии (таких столиков всего два), смогут сесть по три человека, а за каждый из остальных столиков — по два человека. Следовательно, всего за столики смогут сесть
2 * 3 + (18 - 2) * 2 = 38 человека.

Ответ: 38

A21B12

В амфитеатре 23 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 26 мест, а в одиннадцатом ряду 34 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

...
Ответ:

A2B716

У Алины есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 360 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 25 см?

Решение:

1й отскок - 360 см
2й отскок - 360/2
3й отскок - 180/2
4й отскок - 90/2
5й отскок - 45/2 <25

Ответ: 5

C4D018

В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 15 квадратных столиков вдоль одной линии?

Решение:

Постепенное соединение столиков представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом
a₁=4, a₂=6 и a₃=8, разность d=2.

По формуле n-го члена a_n= a₁ + d * (n - 1) найдем 15 член прогрессии:
a₁₅= 4 + 2 * (15 - 1) = 32.

Ответ: 32

Задачу можно решить иначе.

Если сдвинуть столики вдоль одной линии, то за каждый столик, стоящий на конце линии (таких столиков всего два), смогут сесть по три человека, а за каждый из остальных столиков — по два человека. Следовательно, всего за столики смогут сесть
2 * 3 + (15 - 2) * 2 = 32 человека.

Ответ: 32

B26F2E

В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 23 квадратных столика вдоль одной линии?

Решение:

Постепенное соединение столиков представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом
a₁=4, a₂=6 и a₃=8, разность d=2.

По формуле n-го члена a_n= a₁ + d * (n - 1) найдем 23 член прогрессии:
a₂₃= 4 + 2 * (23 - 1) = 48.

Ответ: 48

Задачу можно решить иначе.

Если сдвинуть столики вдоль одной линии, то за каждый столик, стоящий на конце линии (таких столиков всего два), смогут сесть по три человека, а за каждый из остальных столиков — по два человека. Следовательно, всего за столики смогут сесть
2 * 3 + (23 - 2) * 2 = 48 человека.

Ответ: 48

27A42B

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 15 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые четыре секунды?

Решение:

1я секунда - 15 м
2 - 25
3 - 35
4 - 45
15 + 25 + 35 + 45 = 120 м

Ответ: 120

Решение по формулам.

a_n =a₁ + d(n-1)
a₄ =15 + 10(4-1)=45 м пролетит камень за четвертую секунду
$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$
S_n=(15+45)4=120
           2
Ответ: 120

D16820

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 8° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 6 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла − 6° C .

Решение:

...
Ответ:

58DB2C

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 5° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 7 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла − 9° C .

Решение:

...
Ответ:

912224

В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 8 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б.
В начальный момент масса изотопа А составляла 480 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 32 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

...
Ответ:

0881D3

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 9° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 6 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла − 6° C .

Решение:

...
Ответ:

02ABD8

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 7 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?

Решение:

...
Ответ:

731CD5

В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

...
Ответ:

B2E2D7

У Лены есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 320 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 7 см?

Решение:

1й отскок - 320 см
2й отскок - 320/2
3й отскок - 160/2
4й отскок - 80/2
5й отскок - 40/2
6й отскок - 20/2
7й отскок - 10/2 < 7

Ответ: 7 

54B8DF

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 8 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

b_n=b_1*q^n-1 
b₅=8*3⁴=648 мг

Ответ: 648

53BBD2

У Юли есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 450 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 20 см?

Решение:

...
Ответ:

5F5DDD

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 11 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

Решение:

...
Ответ:

C5D9D6

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 17 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 60 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

b_n=b_1*q^n-1 
b₄=17*3³=459 мг

Ответ: 459

81F6DE

В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в девятом ряду амфитеатра?

Решение:

...
Ответ:

4A0C5D

В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 7 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б.
В начальный момент масса изотопа А составляла 160 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 28 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

...
Ответ:

40495A

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

Геометрическая прогрессия. 
b_n=b_1*q^n-1 
42:6=7 , да+ начальная точка, следовательно n=8
b₈=640*(1/2)⁷=5

Ответ: 5

Проверим.

было - 640 мг
через 6 мин - 640/2
через 12 мин - 320/2
через 18 мин - 160/2
через 24 мин - 80/2
через 30 мин - 40/2
через 36 мин - 20/2
через 42 мин - 10/2=5 мг

Ответ: 5

F1E75D

В амфитеатре 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 26 мест, а в седьмом ряду 38 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

...
Ответ:

799955

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 14 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые четыре секунды?

Решение:

...
Ответ:

73505C

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 7 ° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 5 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла − 7 ° C .

Решение:

...
Ответ:

BF8E53

В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 9 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б.
В начальный момент масса изотопа А составляла 320 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 54 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

...
Ответ:

BD2D58

В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 7 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б.
В начальный момент масса изотопа А составляла 480 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 35 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

...
Ответ:

29C852

В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 24 квадратных столика вдоль одной линии?

Решение:

Постепенное соединение столиков представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом
a₁=4, a₂=6 и a₃=8, разность d=2.

По формуле n-го члена a_n= a₁ + d * (n - 1) найдем 24 член прогрессии:
a₂₄= 4 + 2 * (24 - 1) = 50.

Ответ: 50

Задачу можно решить иначе.

Если сдвинуть столики вдоль одной линии, то за каждый столик, стоящий на конце линии (таких столиков всего два), смогут сесть по три человека, а за каждый из остальных столиков — по два человека. Следовательно, всего за столики смогут сесть
2 * 3 + (24 - 2) * 2 = 50 человек.

Ответ: 50

922753

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 14 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

b_n=b_1*q^n-1 
b₄=14*3³=378 мг

Ответ: 378

EEB25C

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

...
Ответ:

EDC956

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 48 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

Геометрическая прогрессия. 
b_n=b_1*q^n-1 
48:8=6, да + начальное значение, значит n=7
b₇=320*(1/2)⁶=5

Ответ: 5

Проверим.

было - 320 мг
через 8 мин - 320/2
через 16 мин - 160/2
через 24 мин - 80/2
через 32 мин - 40/2
через 40 мин - 20/2
через 48 мин - 10/2

Ответ: 5

61D051

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 4 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 120 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

b_n=b_1*q^n-1 
b₅=4*3⁴=324 мг

Ответ: 324

1A17AF

В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 22 места, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в одиннадцатом ряду амфитеатра?

Решение:

...
Ответ:

689DAF

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 8° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 7 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла − 6° C .

Решение:

...
Ответ:

4093C4

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 6° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 7 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла − 9° C .

Решение:

...
Ответ:

0BBBCB

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 170.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).

С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:

2S_n=(a₁+a_n)*n

Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 170

2S_n=(a₁+1)*n=171*170=29070

Ответ: 29070

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 170 * 171 = 29070

Ответ: 29070

0FB2CE

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 130.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).

С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:

2S_n=(a₁+a_n)*n

Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 130

2S_n=(a₁+1)*n=131*130=17030

Ответ: 17030

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 130 * 131 = 17030

Ответ: 17030

D88BCE

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 150.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).

С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:

2S_n=(a₁+a_n)*n

Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 150

2S_n=(a₁+1)*n=151*150=22650

Ответ: 22650

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 150 * 151 = 22650

Ответ: 22650

97C3C9

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 11 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые четыре секунды?

Решение:

...
Ответ:

422F95

В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 7 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б.
В начальный момент масса изотопа А составляла 640 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 49 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

...
Ответ:

0F4A9F

В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

...
Ответ:

7E8F96

В амфитеатре 18 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В шестом ряду 26 мест, а в восьмом ряду 30 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

...
Ответ:

E1CD90

В амфитеатре 19 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 25 мест, а в седьмом ряду 37 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

...
Ответ:

ECE598

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 45 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

Геометрическая прогрессия. 
b_n=b_1*q^n-1 
45:9=5, да + начальная точка, значит n=6
b₆=640*(1/2)⁵=20

Ответ: 20

Проверим.

было - 640 мг
через 9 мин - 640/2
через 18 мин - 320/2
через 27 мин - 160/2
через 36 мин - 80/2
через 45 мин - 40/2=20 мг

Ответ: 20

1862E5

В амфитеатре 23 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в седьмом ряду 31 место. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

...
Ответ:

28E6E3

В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 17 квадратных столиков вдоль одной линии?

Решение:

Постепенное соединение столиков представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом
a₁=4, a₂=6 и a₃=8, разность d=2.

По формуле n-го члена a_n= a₁ + d * (n - 1) найдем 17 член прогрессии:
a₁₇= 4 + 2 * (17 - 1) = 36.

Ответ: 36

Задачу можно решить иначе.

Если сдвинуть столики вдоль одной линии, то за каждый столик, стоящий на конце линии (таких столиков всего два), смогут сесть по три человека, а за каждый из остальных столиков — по два человека. Следовательно, всего за столики смогут сесть
2 * 3 + (17 - 2) * 2 = 36 человек.

Ответ: 36

DF0BE2

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 180.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).

С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:

2S_n=(a₁+a_n)*n

Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 180

2S_n=(a₁+1)*n=181*180=32580

Ответ: 32580

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 180 * 181 = 32580

Ответ: 32580

D467E3

В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 22 квадратных столика вдоль одной линии?

Решение:

Постепенное соединение столиков представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом
a₁=4, a₂=6 и a₃=8, разность d=2.

По формуле n-го члена a_n= a₁ + d * (n - 1) найдем 22 член прогрессии:
a₂₂= 4 + 2 * (22 - 1) = 46.

Ответ: 46

Задачу можно решить иначе.

Если сдвинуть столики вдоль одной линии, то за каждый столик, стоящий на конце линии (таких столиков всего два), смогут сесть по три человека, а за каждый из остальных столиков — по два человека. Следовательно, всего за столики смогут сесть
2 * 3 + (22 - 2) * 2 = 46 человек.

Ответ: 46

A907EE

В амфитеатре 18 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 24 места, а в шестом ряду 33 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

...
Ответ:

60D7EA

В амфитеатре 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 36 мест, а в девятом ряду 42 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

...
Ответ:

4BCB6B

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 13 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

Решение:

...
Ответ:

0C1662

У Ксюши есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 480 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 10 см?

Решение:

1й отскок - 480 см
2й отскок - 480/2
3й отскок - 240/2
4й отскок - 120/2
5й отскок - 60/2
6й отскок - 30/2
7й отскок - 15/2 < 10

Ответ: 7 

B3AB64

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 7° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 6 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла − 8° C .

Решение:

...
Ответ:

D1616D

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 63 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

Геометрическая прогрессия. 
b_n=b_1*q^n-1 
63:9=7, да + начальная точка, значит n=8
b₈=320*(1/2)⁷=2,5

Ответ: 2,5

Проверим.

было - 320 мг
через 9 мин - 320/2
через 18 мин - 160/2
через 27 мин - 80/2
через 36 мин - 40/2
через 45 мин - 20/2
через 54 мин - 10/2
через 63 мин - 5/2=2,5 мг

Ответ: 2,5

5C8260

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 140.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).

С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:

2S_n=(a₁+a_n)*n

Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 140

2S_n=(a₁+1)*n=141*140=19740

Ответ: 19740

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 140 * 141 = 19740

Ответ: 19740

C8FD64

В амфитеатре 21 ряд, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 25 мест, а в девятом ряду 33 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

...
Ответ:

901C60

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 16 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 60 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

b_n=b_1*q^n-1 
b₄=16*3³=1296 мг

Ответ: 1296

85A862

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 32 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

Геометрическая прогрессия. 
b_n=b_1*q^n-1 
48:8=4, да + начальное значение, значит n=5
b₅=200*(1/2)⁴=12,5

Ответ: 12,5

Проверим.

было - 200 мг
через 8 мин - 200/2
через 16 мин - 100/2
через 24 мин - 50/2
через 32 мин - 25/2=12,5 мг

Ответ: 12,5

F4E63B

В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 8 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б.
В начальный момент масса изотопа А составляла 320 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

...
Ответ:

07233D

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 12 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые четыре секунды?

Решение:

...
Ответ:

26AA35

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 110.

Решение:

Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + ... + 9 + 9 + 10 + 10 и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены 2 раза.

Формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$

Первый член a₁=1 (начало змейки), разность d=1, n_{последнего члена}=10, a_n=10 (видим, что нумерация звеньев совпадает с длиной).

С учетом того, что в змейке члены прогрессии нужно учесть 2 раза, длина ломаной будет соответствовать 2S_n:

2S_n=(a₁+a_n)*n

Поскольку a₁=1; a_n=длине последнего звена; n=длине последнего звена,
получается, что умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, последнее звено которой 110

2S_n=(a₁+1)*n=111*110=12210

Ответ: 12210

Лайфхак:

умножаем длину последнего звена на число на 1 больше этой длины.
В нашей задаче это 110 * 111 = 12210

Ответ: 12210

64C23B

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 5 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 120 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

b_n=b_1*q^n-1 
b₅=5*3⁴=405 мг

Ответ: 405

8D0831

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 15 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

...
Ответ:

8B9D31

У Кати есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 540 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 10 см?

Решение:

...
Ответ:

F62180

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 6 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

Решение:

...
Ответ:

A6EE88

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

...
Ответ:

EF268C

У Яны есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 240 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 5 см?

Решение:

1й отскок - 240 см
2й отскок - 240/2
3й отскок - 120/2
4й отскок - 60/2
5й отскок - 30/2
6й отскок - 15/2
7й отскок - 7,5/2 < 5

Ответ: 7 

8EFD83