Ответы к странице 94
368. Докажите тождество:
(a+b)2a−b:(aa−b+a2+b2a2−b2−aa+b)=a+b
Решение:
(a+b)2a−b:(aa−b+a2+b2a2−b2−aa+b)=(a+b)2a−b:(aa−b+a2+b2(a−b)(a+b)−aa+b)=(a+b)2a−b:a(a+b)+a2+b2−a(a−b)(a−b)(a+b)=(a+b)2a−b:a2+ab+a2+b2−a2+ab(a−b)(a+b)=(a+b)2a−b:a2+2ab+b2(a−b)(a+b)=(a+b)2a−b∗(a−b)(a+b)(a+b)2=a+b
369. Решите уравнение:
6x−2−x+3x=x+6x2−2x
Решение:
6x−2−x+3x=x+6x2−2x
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
x ≠ 0
6x−2−x+3x=x+6x2−2x
6x−(x+3)(x−2)x(x−2)=x+6x(x−2)|∗x(x−2)
6x−(x2+3x−2x−6)=x+6
6x−(x2+x−6)=x+6
6x−x2−x+6−x−6=0
4x−x2=0
x(4 − x) = 0
x = 0 − не подходит
или
4 − x = 0
x = 4
Ответ: x = 4
370. Докажите, что значение выражения 276−97 кратно 48.
Решение:
276−97=(33)6−(32)7=318−314=314(34−1)=314∗80=(3∗313)∗(5∗16)=(3∗16)∗(313∗5)=48∗(313∗5)
Так как в произведении один из множителей равен 48, значит значение выражения кратно 48.
371. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 30 км, одновременно навстречу друг другу вышли два туриста и встретились через 3 ч 45 мин. Если бы первый из них вышел на 2 ч раньше второго, то они встретились бы через 4,5 ч после выхода первого. Найдите скорость каждого туриста.
Решение:
3 ч 45 мин = 34560 ч = 334 ч = 3,75 ч
Пусть:
x (км/ч) − скорость первого туриста;
y (км/ч) − скорость второго туриста.
В первом случае каждый из туристов двигался 3,75 ч, тогда:
3,75x (км) − пройдет за 3 ч 45 мин первый турист;
3,75y (км) − пройдет за 3 ч 45 мин второй турист.
Так как суммарно туристы пройдут 30 км, можно составить уравнение:
3,75x + 3,75y = 30
Во втором случае первый турист двигался 4,5 ч, значит:
4,5 − 2 = 2,5 (ч) − двигался второй турист;
4,5x (км) − пройдет за 4,5 ч первый турист;
2,5y (км) − пройдет за 2 ч второй турист.
Так как суммарно туристы пройдут 30 км, можно составить уравнение:
4,5x + 2,5y = 30
Составим систему уравнений:
{3,75x+3,75y=30|∗44,5x+2,5y=30
{15x+15y=1204,5x+2,5y=30|∗6
{15x+15y=12027x+15y=180
15x + 15y − (27x + 15y) = 120 − 180
15x + 15y − 27x − 15y = −60
−12x = −60
x = 5 (км/ч) − скорость первого туриста;
15x + 15y = 120
15 * 5 + 15y = 120
75 + 15y = 120
15y = 120 − 75
15y = 45
y = 3 (км/ч) − скорость второго туриста.
Ответ: 5 км/ч и 3 км/ч
372. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна:
1) 25 см2;
2) 1600 дм2;
3) 0,04 м2.
Решение:
1) Пусть a (см) − сторона квадрата, тогда:
S=a2
25=a2
a2−25=0
(a − 5)(a + 5) = 0
a − 5 = 0
a = 5
или
a + 5 = 0
a = −5 − не подходит, так как сторона квадрата не может быть числом отрицательным.
Ответ: 5 см
2) Пусть a дм − сторона квадрата, тогда
S=a2
1600=a2
a2−1600=0
(a − 40)(a + 40) = 0
a − 40 = 0
a = 40
или
a + 40 = 0
a = −40 − не подходит, так как сторона квадрата не может быть числом отрицательным.
Ответ: 40 дм
3) Пусть a (м) − сторона квадрата, тогда
S=a2
0,04=a2
a2−0,04=0
(a − 0,2)(a + 0,2) = 0
a − 0,2 = 0
a = 0,2
или
a + 0,2 = 0
a = −0,2 − не подходит, так как сторона квадрата не может быть числом отрицательным.
Ответ: 0,2 м
373. Решите уравнение:
1) x2=9;
2) x2=3649.
Решение:
1) x2=9
x2−9=0
(x − 3)(x + 3) = 0
x − 3 = 0
x = 3
или
x + 3 = 0
x = −3
Ответ: x = ±3
2) x2=3649
x2−3649=0
(x−67)(x+67)=0
x−67=0
x=67
или
x+67=0
x=−67
Ответ: x=±67
374. При каких значениях a уравнение x2=a не имеет корней?
Решение:
Так как x2≥0, то уравнение x2=a не имеет корней при a < 0.
375. Постройте графики функций y=x2 и y = 1 и найдите координаты их общих точек.
Решение:
y=x2 − парабола
y = 1 − прямая
Ответ: (−1;1) и (1;1) − координаты общих точек.
№376. Натуральные числа x, y, z таковы, что значения выражений x + y, y + z, x + z − простые числа. Докажите, что среди чисел x, y, z есть по крайней мере два числа, равные 1.
Решение:
Все простые числа, кроме числа 2, нечетные.
Представим, что среди чисел x, y, z нет двух чисел равных 1, значит каждая из сумм будет больше 2, а значит будет числом нечетным.
Чтобы в сумме получить нечетное число, одно из слагаемых должно быть числом четным, а второе нечетным.
Допустим:
x − четное число, тогда:
y − будет нечетным числом,
z − будет четным числом.
Тогда сумма x + z будет четным числом, а значит не будет простым числом.
Допустим:
x − нечетное число, тогда:
y − будет четным числом,
z − будет нечетным числом.
Тогда сумма x + z будет четным числом, а значит не будет простым числом.
Поэтому, чтобы удовлетворялось условие задачи по крайней мере два числа должны быть равны 1.
Проверим, пусть:
x = 1, y = 1, тогда:
x + y = 2 − простое число;
z − может быть любым натуральным числом на 1 меньше любого простого, например 4 (5 − 1), тогда:
y + z = 1 + 4 = 5 − простое число;
x + z = 1 + 4 = 5 − простое число.