Один из видов заданий из открытого банка ФИПИ к ОГЭ по математике, раздел геометрия, которые могут вам попасться на реальном экзамене в этом году.

Вспоминаем, что подобные треугольники — это треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. Первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Сумма углов треугольника равна 180°.

Реальные задания по геометрии из банка ФИПИ

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=2, BH=18. Найдите CH.

Решение:

Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH    BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH² = AH*BH
CH² = 2*18
CH² = 36
CH =√36
CH =6

Ответ: 6

3F683D

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=2, BH=8. Найдите CH.

Решение:

Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH    BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH² = AH*BH
CH² = 2*8
CH² = 16
CH =√16
CH =4

Ответ: 4

F7969D

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=4, BH=16. Найдите CH.

Решение:

Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH    BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH² = AH*BH
CH² = 4*16
CH² = 64
CH =√64
CH =8

Ответ: 8

D0E83F

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=3, BH=27. Найдите CH.

Решение:

Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH    BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH² = AH*BH
CH² = 3*27
CH² = 81
CH =√81
CH =9

Ответ: 9

D17494

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=5, BH=20. Найдите CH.

Решение:

Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH    BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH² = AH*BH
CH² = 5*20
CH² = 100
CH =√100
CH =10

Ответ: 10

4A5B05

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=4, BH=36. Найдите CH.

Решение:

Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH    BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH² = AH*BH
CH² = 4*36
CH² = 144
CH =√144
CH =12

Ответ: 12

9CED3D

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=7, BH=28. Найдите CH.

Решение:

Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH    BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH² = AH*BH
CH² = 7*28
CH² = 196
CH =√196
CH =14

Ответ: 14

4CFA86

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=3, BH=75. Найдите CH.

Решение:

Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH    BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH² = AH*BH
CH² = 3*75
CH² = 225
CH =√225
CH =15

Ответ: 15

84CBBD

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=4, BH=64. Найдите CH.

Решение:

Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH    BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH² = AH*BH
CH² = 4*64
CH² = 256
CH =√256
CH =16

Ответ: 16

1A8C8D

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=6, BH=54. Найдите CH.

Решение:

Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники.
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CAH+∠AHC+∠HCA=180°
∠CAH+90°+∠HCA=180°
∠CAH+∠HCA=90°
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что ∠BCH=90°-∠HCA (так как ∠АСВ прямой)
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны,
значит, можем записать пропорцию:
AH = CH
CH    BH
Чтобы не ошибиться в пропорции, мысленно переверните правый треугольник против часовой стрелки, чтобы он "стоял" на стороне СН.
CH² = AH*BH
CH² = 6*54
CH² = 324
CH =√324
CH =18

Ответ: 6

51F685

Лайфхак для ленивых: перемножаем AH BH и извлекаем корень.