Ответы к стр. 81

268. Из шести одинаковых кругов составлена фигура, похожая на треугольник.
Из скольких еще одинаковых кругов можно составить фигуру, также похожую на треугольник?

При выполнении задания 268 учащиеся познакомятся с числами, которые называются «треугольными» (но сам этот термин мы не сообщаем учащимся).

Происхождение такого названия вполне понятно из приведенной иллюстрации. Нахождение других «треугольных» чисел (кроме данного числа 6) учащиеся должны осуществить опытным путем с помощью построения фигур, аналогичных изображенной на рисунке. Нетрудно догадаться, что если убрать ряд из трех кругов, то оставшаяся фигура также будет напоминать по форме равносторонний треугольник. Это означает, что число 3 также будет относиться к «треугольным» числам. К изображенной на рисунке фигуре можно добавить ряд из 4 кругов и снова получить фигуру, которая будет напоминать равносторонний треугольник.

Следовательно, число 10 относится к «треугольным» числам (этот факт используется в учебниках Н.Б. Истоминой при изображении десятка в виде треугольника). Вообще, если сложить все натуральные числа от числа 1 до некоторого числа n, то в результате получится «треугольное» число (1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 и т. д.).

Примечание. Без особого труда можно вывести и формулу «треугольных» чисел. Для этого достаточно знать формулу суммы членов арифметической прогрессии. Тогда получается, что 1 + 2 + … + n = (n•(n + 1))/2. Правая часть этого равенства и есть формула «треугольных» чисел. Но эти сведения мы сообщаем только учителю. Для учащихся их пока рассматривать рано, хотя для особо подготовленных учащихся можно предложить поработать и с приведенной выше формулой. Указанные фигуры, которые по форме напоминают треугольник, можно строить не только из кругов, но и из шаров. Так, из 15 шаров можно построить фигуру, которая по форме напоминает равносторонний треугольник. Этот факт используется в такой игре с шарами, как бильярд. В следующем задании мы предлагаем учащимся поработать с конструкциями, построенными из одинаковых шаров.

269.  Из четырех одинаковых шаров составлена фигура, похожая на пирамиду.
Из скольких еще одинаковых шаров можно составить пирамиду?

В задании 269 учащимся предлагается рассмотреть конструкции, которые построены из одинаковых шаров, а по форме напоминают правильную треугольную пирамиду. Такие конструкции можно построить следующим образом: сначала взять несколько подряд идущих (начиная с 1 шара) «треугольных» конструкций, построенных из шаров. Например, конструкцию из 1 шара (ее также принято считать треугольной), конструкцию из 3 шаров, конструкцию из 6 шаров и т. д., а потом на самый большой «треугольник» разместить предшествующий, на него – ему предшествующий и дойти до конструкции из 1 шара, которая и будет завершать построение этой «пирамиды». Если следовать этому правилу, то изображенную на рисунке «пирамиду» можно дополнить еще одним треугольным слоем, состоящем из 6 шаров. Тогда получится «пирамида», состоящая из 10 шаров.

Примечание. Возможное число шаров для построения такой «пирамиды» получается как результат сложения подряд идущих треугольных чисел, начиная с числа 1 (1 + 3 = 4, 1 + 3 + 6 = 10, 1 + 3 + 6 + 10 = 20, 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 и т. д.). Однако учащимся об этой закономерности пока говорить еще рано, но для учителя эти знания не будут лишними.