ГЛАВА 1. Рациональные выражения

Ответы к странице 7 §1. Рациональные дроби

Вопросы

1. Чем отличаются дробные выражения от целых?

Ответ:

Дробные выражения отличаются от целых тем, что они содержат деление на выражение с переменными.

2. Как вместе называют целые и дробные выражения?

Ответ:

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

3. Какие значения переменных называют допустимыми?

Ответ:

Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональное выражение, называют все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл.

4. Какие дроби называют рациональными?

Ответ:

Дроби, у которых и числитель и знаменатель являются многочленами, называются рациональными.

5. Отдельным видом каких выражений являются рациональные дроби?

Ответ:

Рациональные дроби являются отдельным видом рационального выражения.

6. Какой многочлен не может быть знаменателем рациональной дроби?

Ответ:

Знаменателем рациональной дроби не может быть нулевой многочлен, то есть многочлен, который равен нулю.

Упражнения

1. Какие из выражений
$\frac{3a^2}{4b^3}$,
$\frac{5x^2}{4} + \frac{x}{7}$,
$\frac{8}{6n + 1}$,
$3a - \frac{b^2}{c^4}$,
$\frac{t^2 - 6t + 15}{2t}$,
$\frac{x - 2}{x + 2}$,
$\frac{1}{6}m^3n^5$,
$(y - 4)^3 + \frac{1}{y}$,
$\frac{m^2 - 3mn}{18}$
являются:
1) целыми выражениями;
2) дробными выражениями;
3) рациональными дробями?

Решение:

1) целыми выражениями являются:
$\frac{5x^2}{4} + \frac{x}{7}; \frac{1}{6}m^3n^5; \frac{m^2 - 3mn}{18}$.

2) дробными выражениями являются:
$\frac{3a^2}{4b^3}; \frac{8}{6n + 1}; 3a - \frac{b^2}{c^4}; \frac{t^2 - 6t + 15}{2t}, \frac{x - 2}{x + 2}, (y - 4)^3 + \frac{1}{y}$.

3) рациональными выражениями являются:
$\frac{5x^2}{4} + \frac{x}{7}; \frac{1}{6}m^3n^5; \frac{m^2 - 3mn}{18}, \frac{3a^2}{4b^3}; \frac{8}{6n + 1}; 3a - \frac{b^2}{c^4}; \frac{t^2 - 6t + 15}{2t}, \frac{x - 2}{x + 2}, (y - 4)^3 + \frac{1}{y}$

2. Чему равно значение дроби $\frac{c^2 - 4c}{2c + 1}$, если:
1) c = −3;
2) c = 0?

Решение:

1) $\frac{c^2 - 4c}{2c + 1}$
при c = −3:
$\frac{(-3)^2 - 4 * (-3)}{2 * (-3) + 1} = \frac{9 + 12}{-6 + 1} = \frac{21}{-5} = -4\frac{1}{5}$

2) $\frac{c^2 - 4c}{2c + 1}$
при c = 0:
$\frac{0^2 - 4 * 0}{2 * 0 + 1} = \frac{0 - 0}{0 + 1} = \frac{0}{1} = 0$

3. Найдите значение выражения $\frac{2m - n}{3m + 2n}$, если:
1) m = −1, n = 1;
2) m = 4, n = −5.

Решение:

1) $\frac{2 * (-1) - 1}{3 * (-1) + 2 * 1} = \frac{-2 - 1}{-3 + 2} = \frac{-3}{-1} = 3$

2) $\frac{2m - n}{3m + 2n}$
при m = 4, n = −5:
$\frac{2 * 4 - (-5)}{3 * 4 + 2 * (-5)} = \frac{8 + 5}{12 - 10} = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2}$

4. Чему равно значение выражения:
1) $\frac{a^2 - 1}{a - 5}$ при a = −4;
2) $\frac{x + 3}{y} - \frac{y}{x + 2}$ при x = −5, y = 6?

Решение:

1) $\frac{a^2 - 1}{a - 5}$
при a = −4:
$\frac{(-4)^2 - 1}{-4 - 5} = \frac{16 - 1}{-9} = \frac{15}{-9} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$

2) $\frac{x + 3}{y} - \frac{y}{x + 2}$
при x = −5, y = 6:
$\frac{-5 + 3}{6} - \frac{6}{-5 + 2} = \frac{-2}{6} - \frac{6}{-3} = -\frac{1}{3} + 2 = -\frac{1}{3} + 1\frac{3}{3} = 1\frac{2}{3}$