Ответы к странице 26

§4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями

Вопросы

1. Как выполнить сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями?

Ответ:

Чтоб сложить или вычесть рациональные дроби с разными знаменателями, нужно привести данные дроби к общему знаменателю и выполнить сложение и вычитание дробей с общими знаменателями.

2. Что является суммой и разностью двух рациональных дробей?

Ответ:

Суммой и разностью рациональных дробей является рациональная дробь.

Упражнения

98. Выполните действия:
1) $\frac{x}{4} + \frac{2x}{3}$;
2) $\frac{5b}{14} - \frac{b}{7}$;
3) $\frac{m}{8} - \frac{n}{6}$;
4) $\frac{4}{x} - \frac{3}{y}$;
5) $\frac{m}{4n} + \frac{m}{6n}$;
6) $\frac{c}{b} - \frac{d}{3b}$;
7) $\frac{a}{b^2} + \frac{1}{ab^4}$;
8) $\frac{11}{5a} - \frac{2c}{15ab}$;
9) $\frac{m}{abc} + \frac{c}{abm}$.

Решение:

1) $\frac{x}{4} + \frac{2x}{3} = \frac{x * 3 + 2x * 4}{12} = \frac{3x + 8x}{12} = \frac{11x}{12}$

2) $\frac{5b}{14} - \frac{b}{7} = \frac{5b - b * 2}{14} = \frac{5b - 2b}{14} = \frac{3b}{14}$

3) $\frac{m}{8} - \frac{n}{6} = \frac{m * 3 - n * 4}{24} = \frac{3m - 4n}{24}$

4) $\frac{4}{x} - \frac{3}{y} = \frac{4y - 3x}{xy}$

5) $\frac{m}{4n} + \frac{m}{6n} = \frac{3m + 2m}{12n} = \frac{5m}{12n}$

6) $\frac{c}{b} - \frac{d}{3b} = \frac{3c - d}{3b}$

7) $\frac{a}{b^2} + \frac{1}{ab^4} = \frac{a * ab^2 + 1}{ab^4} = \frac{a^2b^2 + 1}{ab^4}$

8) $\frac{11}{5a} - \frac{2c}{15ab} = \frac{11 * 3b - 2c}{15ab} = \frac{33b - 2c}{15ab}$

9) $\frac{m}{abc} + \frac{c}{abm} = \frac{m * m + c * c}{abcm} = \frac{m^2 + c^2}{abcm}$

99. Представьте в виде дроби выражение:
1) $\frac{x}{8} - \frac{y}{12}$;
2) $\frac{4a}{7} + \frac{a}{4}$;
3) $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$;
4) $\frac{x^2}{2y} + \frac{y}{8x}$;
5) $\frac{7}{cd} + \frac{k}{cp}$;
6) $\frac{6a}{35c^5} - \frac{9b}{14c^2}$.

Решение:

1) $\frac{x}{8} - \frac{y}{12} = \frac{3x - 2y}{24}$

2) $\frac{4a}{7} + \frac{a}{4} = \frac{4a * 4 + a * 7}{28} = \frac{16a + 7a}{28} = \frac{23a}{28}$

3) $\frac{m}{n} - \frac{n}{m} = \frac{m * m - n * n}{mn} = \frac{m^2 - n^2}{mn}$

4) $\frac{x^2}{2y} + \frac{y}{8x} = \frac{x^2 * 4x + y * y}{8xy} = \frac{4x^3 + y^2}{8xy}$

5) $\frac{7}{cd} + \frac{k}{cp} = \frac{7p + dk}{cdp}$

6) $\frac{6a}{35c^5} - \frac{9b}{14c^2} = \frac{6a * 2 - 9b * 5c^3}{70c^5} = \frac{12a - 45bc^3}{70c^5}$

100. Упростите выражение:
1) $\frac{a + 7}{12} + \frac{a - 4}{9}$;
2) $\frac{2b - 7c}{6} - \frac{3b + 2c}{15}$;
3) $\frac{3x - 2}{x} - \frac{3y - 1}{y}$;
4) $\frac{6p + 1}{p} - \frac{2p + 8}{3p}$;
5) $\frac{5m - n}{14m} - \frac{m - 6n}{7m}$;
6) $\frac{x + 4}{11x} - \frac{y - 3}{11y}$;
7) $\frac{a + b}{ab} + \frac{a - c}{ac}$;
8) $\frac{2}{p^2} + \frac{p - 1}{p}$;
9) $\frac{k + 4}{k} - \frac{3k - 4}{k^2}$;
10) $\frac{x - y}{x^3} - \frac{y - x^2}{x^2y}$;
11) $\frac{2m - 3n}{m^2n} + \frac{7m - 2n}{mn^2}$;
12) $\frac{c + d}{cd^4} - \frac{c^2 - 8d}{c^3d^3}$.

Решение:

1) $\frac{a + 7}{12} + \frac{a - 4}{9} = \frac{3(a + 7) + 4(a - 4)}{36} = \frac{3a + 21 + 4a - 16}{36} = \frac{7a + 5}{36}$

2) $\frac{2b - 7c}{6} - \frac{3b + 2c}{15} = \frac{5(2b - 7c) - 2(3b + 2c)}{30} = \frac{10b - 35c - 6b - 4c}{30} = \frac{4b - 39c}{30}$

3) $\frac{3x - 2}{x} - \frac{3y - 1}{y} = \frac{y(3x - 2) - x(3y - 1)}{xy} = \frac{3xy - 2y - 3xy + x}{xy} = \frac{x - 2y}{xy}$

4) $\frac{6p + 1}{p} - \frac{2p + 8}{3p} = \frac{3(6p + 1) - (2p + 8)}{3p} = \frac{18p + 3 - 2p - 8}{3p} = \frac{16p - 5}{3p}$

5) $\frac{5m - n}{14m} - \frac{m - 6n}{7m} = \frac{5m - n - 2(m - 6n)}{14m} = \frac{5m - n - 2m + 12n}{14m} = \frac{3m + 11n}{14m}$

6) $\frac{x + 4}{11x} - \frac{y - 3}{11y} = \frac{y(x + 4) - x(y - 3)}{11xy} = \frac{xy + 4y - xy + 3x}{11xy} = \frac{4y + 3x}{11xy}$

7) $\frac{a + b}{ab} + \frac{a - c}{ac} = \frac{c(a + b) + b(a - c)}{abc} = \frac{ac + bc + ab - bc}{abc} = \frac{ac + ab}{abc} = \frac{a(b + c)}{abc} = \frac{b + c}{bc}$

8) $\frac{2}{p^2} + \frac{p - 1}{p} = \frac{2 + p(p - 1)}{p^2} = \frac{p^2 - p + 2}{p^2}$

9) $\frac{k + 4}{k} - \frac{3k - 4}{k^2} = \frac{k(k + 4) - (3k - 4)}{k^2} = \frac{k^2 + 4k - 3k + 4}{k^2} = \frac{k^2 + k + 4}{k^2}$

10) $\frac{x - y}{x^3} - \frac{y - x^2}{x^2y} = \frac{y(x - y) - x(y - x^2)}{x^3y} = \frac{xy - y^2 - xy + x^3}{x^3y} = \frac{x^3 - y^2}{x^3y}$

11) $\frac{2m - 3n}{m^2n} + \frac{7m - 2n}{mn^2} = \frac{n(2m - 3n) + m(7m - 2n)}{m^2n^2} = \frac{2mn - 3n^2 + 7m^2 - 2mn}{m^2n^2} = \frac{7m^2 - 3n^2}{m^2n^2}$

12) $\frac{c + d}{cd^4} - \frac{c^2 - 8d}{c^3d^3} = \frac{c^2(c + d) - d(c^2 - 8d)}{c^3d^4} = \frac{c^3 + c^2d - c^2d + 8d^2}{c^3d^4} = \frac{c^3 + 8d^2}{c^3d^4}$

101. Выполните сложение или вычитание дробей:
1) $\frac{9 - 5b}{b} - \frac{7 - 5c}{c}$;
2) $\frac{4d + 7}{7d} - \frac{d - 6}{6d}$;
3) $\frac{5 - k}{5p} - \frac{p + 10}{5k}$;
4) $\frac{m - n}{mn} - \frac{p - n}{np}$;
5) $\frac{6a + 2}{ab} - \frac{2a + 4}{a^2b}$;
6) $\frac{c^2 - 16}{c^6} - \frac{c - 9}{c^5}$;
7) $\frac{1}{x^3} - \frac{1 + x^2}{x^5}$;
8) $\frac{1 - ab}{abc} - \frac{1 - ad}{acd}$.

Решение:

1) $\frac{9 - 5b}{b} - \frac{7 - 5c}{c} = \frac{c(9 - 5b) - b(7 - 5c)}{bc} = \frac{9c - 5bc - 7b + 5bc}{bc} = \frac{9c - 7b}{bc}$

2) $\frac{4d + 7}{7d} - \frac{d - 6}{6d} = \frac{6(4d + 7) - 7(d - 6)}{42d} = \frac{24d + 42 - 7d + 42}{42d} = \frac{17d + 84}{42d}$

3) $\frac{5 - k}{5p} - \frac{p + 10}{5k} = \frac{k(5 - k) - p(p + 10)}{5kp} = \frac{5k - k^2 - p^2 - 10p}{5kp}$

4) $\frac{m - n}{mn} - \frac{p - n}{np} = \frac{p(m - n) - m(p - n)}{mnp} = \frac{mp - np - mp + mn}{mnp} = \frac{mn - np}{mnp} = \frac{n(m - p)}{mnp} = \frac{m - p}{mp}$

5) $\frac{6a + 2}{ab} - \frac{2a + 4}{a^2b} = \frac{a(6a + 2) - (2a + 4)}{a^2b} = \frac{6a^2 + 2a - 2a - 4}{a^2b} = \frac{6a^2 - 4}{a^2b}$

6) $\frac{c^2 - 16}{c^6} - \frac{c - 9}{c^5} = \frac{c^2 - 16 - c(c - 9)}{c^6} = \frac{c^2 - 16 - c^2 + 9c}{c^6} = \frac{9c - 16}{c^6}$

7) $\frac{1}{x^3} - \frac{1 + x^2}{x^5} = \frac{x^2 - (1 + x^2)}{x^5} = \frac{x^2 - 1 - x^2}{x^5} = \frac{-1}{x^5} = -\frac{1}{x^5}$

8) $\frac{1 - ab}{abc} - \frac{1 - ad}{acd} = \frac{d(1 - ab) - b(1 - ad)}{abcd} = \frac{d - abd - b + abd}{abcd} = \frac{d - b}{abcd}$