Ответы к странице 220
874. Представьте выражение в виде степени с основанием a или произведения степеней с разными основаниями:
1) $a^{-7} * a^{10}$;
2) $a^{-9} * a^5$;
3) $a^{17} * a^{-4} * a^{-11}$;
4) $a^{-2} : a^3$;
5) $a^{12} : a^{-4}$;
6) $a^{-7} : a^{-11}$;
7) $a^{-12} : a^{-10} * a^4$;
8) $(a^3)^{-5}$;
9) $(a^{-12})^{-2}$;
10) $(a^{-3})^4 : (a^{-2})^5 : (a^{-1})^{-7}$;
11) $(m^{-3}n^4p^7)^{-4}$;
12) $(a^{-1}b^{-2})^{-3}$;
13) $(x^3y^{-4})^5 * (x^{-2}y^{-3})^3$;
14) $(\frac{a^{11}b^{-7}}{c^{-3}d^4})^{-3}$;
15) $(\frac{a^{-7}}{b^5})^{-3} * (\frac{a^{4}}{b^{-7}})^{-5}$.
Решение:
1) $a^{-7} * a^{10} = a^{-7 + 10} = a^3$
2) $a^{-9} * a^5 = a^{-9 + 5} = a^{-4}$
3) $a^{17} * a^{-4} * a^{-11} = a^{17 - 4 - 11} = a^{2}$
4) $a^{-2} : a^3 = a^{-2 - 3} = a^{-5}$
5) $a^{12} : a^{-4} = a^{12 - (-4)} = a^{12 + 4} = a^{16}$
6) $a^{-7} : a^{-11} = a^{-7 - (-11)} = a^{-7 + 11} = a^4$
7) $a^{-12} : a^{-10} * a^4 = a^{-12 - (-10) + 4} = a^{-12 + 10 + 4} = a^{2}$
8) $(a^3)^{-5} = a^{3 * (-5)} = a^{-15}$
9) $(a^{-12})^{-2} = a^{-12 * (-2)} = a^{24}$
10) $(a^{-3})^4 : (a^{-2})^5 : (a^{-1})^{-7} = a^{-3 * 4} : a^{-2 * 5} : a^{-1 * (-7)} = a^{-12} : a^{-10} : a^{7} = a^{-12 - (-10) - 7} = a^{-12 + 10 - 7} = a^{-9}$
11) $(m^{-3}n^4p^7)^{-4} = m^{-3 * (-4)}n^{4 * (-4)}p^{7 * (-4)} = m^{12}n^{-16}p^{-28}$
12) $(a^{-1}b^{-2})^{-3} = a^{-1 * (-3)}b^{-2 * (-3)} = a^3b^6$
13) $(x^3y^{-4})^5 * (x^{-2}y^{-3})^3 = x^{3 * 5}y^{-4 * 5} * x^{-2 * 3}y^{-3 * 3} = x^{15}y^{-20} * x^{-6}y^{-9} = x^{15 - 6}y^{-20 - 9} = x^{9}y^{-29}$
14) $(\frac{a^{11}b^{-7}}{c^{-3}d^4})^{-3} = \frac{a^{11 * (-3)}b^{-7 * (-3)}}{c^{-3 * (-3)}d^{4 * (-3)}} = \frac{a^{-33}b^{21}}{c^{9}d^{-12}} = a^{-33}b^{21}c^{-9}d^{12}$
15) $(\frac{a^{-7}}{b^5})^{-3} * (\frac{a^{4}}{b^{-7}})^{-5} = \frac{a^{-7 * (-3)}}{b^{5 * (-3)}} * \frac{a^{4 * (-5)}}{b^{-7 * (-5)}} = \frac{a^{21}}{b^{-15}} * \frac{a^{-20}}{b^{35}} = \frac{a^{21 - 20}}{b^{-15 + 35}} = \frac{a}{b^{20}} = ab^{-20}$
875. Найдите значение выражения:
1) $11^{-23} * 11^{25}$;
2) $3^{17} * 3^{-14}$;
3) $4^{-16} : 4^{-12}$;
4) $10^{-15} : 10^{-14} * 10^{-2}$;
5) $(14^{-10})^5 * (14^{-6})^{-8}$;
6) $\frac{3^{-12} * (3^{-6})^{-3}}{(3^{-3})^{-4} * (3^{-4})^2}$.
Решение:
1) $11^{-23} * 11^{25} = 11^{-23 + 25} = 11^2 = 121$
2) $3^{17} * 3^{-14} = 3^{17 - 14} = 3^3 = 27$
3) $4^{-16} : 4^{-12} = 4^{-16 - (-12)} = 4^{-16 + 12} = 4^{-4} = \frac{1}{4^4} = \frac{1}{256}$
4) $10^{-15} : 10^{-14} * 10^{-2} = 10^{-15 - (-14) - 2} = 10^{-15 + 14 - 2} = 10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000}$
5) $(14^{-10})^5 * (14^{-6})^{-8} = 14^{-10 * 5} * 14^{-6 * (-8)} = 14^{-50} * 14^{48} = 14^{-50 + 48} = 14^{-2} = \frac{1}{14^2} = \frac{1}{196}$
6) $\frac{3^{-12} * (3^{-6})^{-3}}{(3^{-3})^{-4} * (3^{-4})^2} = \frac{3^{-12} * 3^{-6 * (-3)}}{3^{-3 * (-4)} * 3^{-4 * 2}} = \frac{3^{-12} * 3^{18}}{3^{12} * 3^{-8}} = \frac{3^{-12 + 18}}{3^{12 - 8}} = \frac{3^{6}}{3^{4}} = 3^{6 - 4} = 3^2 = 9$
876. Найдите значение выражения:
1) $25^{-3} * 5^8$;
2) $64^{-3} : 32^{-3}$;
3) $10^{-10} : 1000^{-3} * (0,001)^{-5}$;
4) $\frac{(-27)^{-12} * 9^5}{81^{-4} * 3^{-7}}$;
5) $\frac{15^4 * 5^{-6}}{45^{-3} * 3^9}$;
6) $\frac{(0,125)^{-8}* 16^{-7}}{32^{-2}}$.
Решение:
1) $25^{-3} * 5^8 = (5^2)^{-3} * 5^8 = 5^{-6} * 5^8 = 5^2 = 25$
2) $64^{-3} : 32^{-3} = (2^6)^{-3} : (2^5)^{-3} = 2^{-18} : 2^{-15} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
3) $10^{-10} : 1000^{-3} * (0,001)^{-5} = 10^{-10} : (10^3)^{-3} * (10^{-3})^{-5} = 10^{-10} : 10^{-9} * 10^{15} = 10^{-10 + 9 + 15} = 10^{14} = 100000000000000$
4) $\frac{(-27)^{-12} * 9^5}{81^{-4} * 3^{-7}} = \frac{((-3)^3)^{-12} * (3^2)^5}{(3^4)^{-4} * 3^{-7}} = \frac{(-3)^{-36} * 3^{10}}{3^{-16} * 3^{-7}} = \frac{3^{-26}}{3^{-23}} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$
5) $\frac{15^4 * 5^{-6}}{45^{-3} * 3^9} = \frac{(3 * 5)^4 * 5^{-6}}{(9 * 5)^{-3} * 3^9} = \frac{3^4 * 5^4 * 5^{-6}}{(3^2 * 5)^{-3} * 3^9} = \frac{3^4 * 5^{-2}}{(3^2)^{-3} * 5^{-3} * 3^9} = \frac{3^4 * 5^{-2}}{3^{-6} * 5^{-3} * 3^9} = \frac{3^4 * 5^{-2}}{5^{-3} * 3^3} = 3^{4 - 3} * 5^{-2 + 3} = 3 * 5 = 15$
6) $\frac{(0,125)^{-8}* 16^{-7}}{32^{-2}} = \frac{((0,5)^3)^{-8} * (2^4)^{-7}}{(2^5)^{-2}} = \frac{(\frac{1}{2})^{-24} * 2^{-28}}{2^{-10}} = 2^{24 - 28 + 10} = 2^6 = 64$
877. Упростите выражение:
1) $\frac{3}{5}x^{-3}y^5 * \frac{5}{9}x^4y^{-7}$;
2) $0,2a^{12}b^{-9} * 50a^{-10}b^{10}$;
3) $-0,3a^{10}b^7 * 5a^{-8}b^{-6}$;
4) $0,36a^{-5}b^6c^3 * (-2\frac{2}{9})a^4b^{-4}c^{-5}$;
5) $2x^7 * (-3x^{-2}y^3)^3$;
6) $(a^2b^9)^{-3} * (-2a^4b^{10})$;
7) $(-5a^{-3}b^2c^{-2})^{-2} * (0,1a^2b^{-3}c)^{-3}$;
8) $0,1m^{-5}n^4 * (0,01m^{-3}n)^{-2}$;
9) $-6\frac{1}{4}a^{-7}b^4 * (\frac{5}{2}a^{-2}b^2)^{-3}$;
10) $-(4a^{-4}b^3)^{-2} * (-\frac{1}{8}a^3b^{-3})^{-3}$;
11) $\frac{19a^{-15}}{33b^{-14}} * \frac{11b^{-11}}{76a^{-17}}$;
12) $(\frac{9x^{-3}}{5y^{-2}})^{-2} * (27x^{-2}y^4)^2$.
Решение:
1) $\frac{3}{5}x^{-3}y^5 * \frac{5}{9}x^4y^{-7} = \frac{3}{5} * \frac{5}{9}x^{-3 + 4}y^{5 - 7} = \frac{1}{3}xy^{-2}$
2) $0,2a^{12}b^{-9} * 50a^{-10}b^{10} = 0,2 * 50a^{12 - 10}b^{-9 + 10} = 10a^2b$
3) $-0,3a^{10}b^7 * 5a^{-8}b^{-6} = -0,3 * 5a^{10 - 8}b^{7 - 6} = -1,5a^2b$
4) $0,36a^{-5}b^6c^3 * (-2\frac{2}{9})a^4b^{-4}c^{-5} = \frac{36}{100} * (-\frac{20}{9})a^{-5 + 4}b^{6 - 4}c^{3 - 5} = \frac{9}{25} * (-\frac{20}{9})a^{-1}b^{2}c^{-2} = -\frac{4}{5}a^{-1}b^{2}c^{-2}$
5) $2x^7 * (-3x^{-2}y^3)^3 = 2x^7 * (-27x^{-6}y^9) = -54xy^9$
6) $(a^2b^9)^{-3} * (-2a^4b^{10}) = a^{-6}b^{-27} * (-2a^4b^{10}) = -2a^{-2}b^{-17}$
7) $(-5a^{-3}b^2c^{-2})^{-2} * (0,1a^2b^{-3}c)^{-3} = \frac{1}{25}a^{6}b^{-4}c^{4} * 1000a^{-6}b^9c^{-3} = 40b^5c$
8) $0,1m^{-5}n^4 * (0,01m^{-3}n)^{-2} = 0,1m^{-5}n^4 * 10000m^6n^{-2} = 1000mn^2$
9) $-6\frac{1}{4}a^{-7}b^4 * (\frac{5}{2}a^{-2}b^2)^{-3} = -\frac{25}{4}a^{-7}b^4 * (\frac{5}{2})^{-3}a^{6}b^{-6} = -(\frac{5}{2})^{2}a^{-7}b^4 * (\frac{5}{2})^{-3}a^{6}b^{-6} = -(\frac{5}{2})^{-1}a^{-1}b^{-2} = -\frac{2}{5}a^{-1}b^{-2}$
10) $-(4a^{-4}b^3)^{-2} * (-\frac{1}{8}a^3b^{-3})^{-3} = -((2^2)a^{-4}b^3)^{-2} * (-(2^{-3})a^3b^{-3})^{-3} = -2^{-4}a^8b^{-6} * (-2^9a^{-9}b^9) = 2^5a^{-1}b^3 = 32a^{-1}b^3$
11) $\frac{19a^{-15}}{33b^{-14}} * \frac{11b^{-11}}{76a^{-17}} = \frac{a^{-15}}{3b^{-14}} * \frac{b^{-11}}{4a^{-17}} = \frac{a^{-15}b^{-11}}{12a^{-17}b^{-14}} = \frac{1}{2}a^{-15 + 17}b^{-11 + 14} = \frac{1}{2}a^{2}b^{3}$
12) $(\frac{9x^{-3}}{5y^{-2}})^{-2} * (27x^{-2}y^4)^2 = (\frac{5y^{-2}}{9x^{-3}})^{2} * ((3^3)x^{-2}y^4)^2 = (\frac{5y^{-2}}{3^2x^{-3}})^{2} * 3^6x^{-4}y^8 = \frac{25y^{-4}}{3^4x^{-6}} * 3^6x^{-4}y^8 = 25 * 3^{6 - 4}x^{-4 + 6}y^{-4 + 8} = 25 * 3^2x^2y^4 = 25 * 9x^2y^4 = 225x^2y^4$
878. Упростите выражение:
1) $(a^{-5} - 1)(a^{-5} + 1) - (a^{-5} - 2)^2$;
2) $\frac{y^{-2} - x^{-2}}{x + y}$;
3) $\frac{a^{-3} - 3b^{-6}}{a^{-6} - 2a^{-3}b^{-6} + b^{-12}} - \frac{a^{-3} + 3b^{-6}}{a^{-6} - b^{-12}}$;
4) $\frac{m^{-4} + n^{-4}}{n^{-10}} : \frac{m^{-4}n^{-6} + n^{-10}}{n^{-2}}$;
5) $\frac{x^{-2}}{x^{-2} - y^{-2}} : (\frac{x^{-2}}{x^{-2} - y^{-2}} - \frac{x^{-2} + y^{-2}}{x^{-2}})$;
6) $\frac{x^{-10} - 4}{x^{-5}} * \frac{1}{x^{-5} + 2} - \frac{x^{-5} + 2}{x^{-5}}$;
7) $(\frac{4c^{-6}}{c^{-6} + 1} - \frac{c^{-6}}{c^{-12} + 2c^{-6} + 1}) : \frac{4c^{-6} + 3}{c^{-12} - 1} + \frac{2c^{-6}}{c^{-6} + 1}$.
Решение:
1) $(a^{-5} - 1)(a^{-5} + 1) - (a^{-5} - 2)^2 = (a^{-5})^2 - 1 - ((a^{-5})^2 - 4a^{-5} + 4) = a^{-10} - 1 - (a^{-10} - 4a^{-5} + 4) = a^{-10} - 1 - a^{-10} + 4a^{-5} - 4 = 4a^{-5} - 5$
2) $\frac{y^{-2} - x^{-2}}{x + y} = \frac{\frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2}}{x + y} = \frac{\frac{x^2 - y^2}{x^2y^2}}{x + y} = \frac{x^2 - y^2}{x^2y^2} * \frac{1}{x + y} = \frac{(x - y)(x + y)}{x^2y^2} * \frac{1}{x + y} = \frac{x - y}{x^2y^2}$
3) $\frac{a^{-3} - 3b^{-6}}{a^{-6} - 2a^{-3}b^{-6} + b^{-12}} - \frac{a^{-3} + 3b^{-6}}{a^{-6} - b^{-12}} = \frac{a^{-3} - 3b^{-6}}{(a^{-3} - b^{-6})^2} - \frac{a^{-3} + 3b^{-6}}{(a^{-3} - b^{-6})(a^{-3} + b^{-6})} = \frac{(a^{-3} - 3b^{-6})(a^{-3} + b^{-6}) - (a^{-3} - b^{-6})(a^{-3} + 3b^{-6})}{(a^{-3} - b^{-6})^2(a^{-3} + b^{-6})} = \frac{a^{-6} - 3a^{-3}b^{-6} + a^{-3}b^{-6} - 3b^{-12} - (a^{-6} - a^{-3}b^{-6} + 3a^{-3}b^{-6} - 3b^{-12})}{(a^{-3} - b^{-6})^2(a^{-3} + b^{-6})} = \frac{a^{-6} - 3a^{-3}b^{-6} + a^{-3}b^{-6} - 3b^{-12} - a^{-6} + a^{-3}b^{-6} - 3a^{-3}b^{-6} + 3b^{-12}}{(a^{-3} - b^{-6})^2(a^{-3} + b^{-6})} = \frac{- 4a^{-3}b^{-6}}{(a^{-3} - b^{-6})^2(a^{-3} + b^{-6})}$
4) $\frac{m^{-4} + n^{-4}}{n^{-10}} : \frac{m^{-4}n^{-6} + n^{-10}}{n^{-2}} = \frac{m^{-4} + n^{-4}}{n^{-10}} * \frac{n^{-2}}{m^{-4}n^{-6} + n^{-10}} = \frac{m^{-4} + n^{-4}}{n^{-10}} * \frac{n^{-2}}{n^{-6}(m^{-4} + n^{-4})} = \frac{1}{n^{-10}} * \frac{n^{-2}}{n^{-6}} = n^{10 - 2 + 6} = n^{14}$
5) $\frac{x^{-2}}{x^{-2} - y^{-2}} : (\frac{x^{-2}}{x^{-2} - y^{-2}} - \frac{x^{-2} + y^{-2}}{x^{-2}}) = \frac{x^{-2}}{x^{-2} - y^{-2}} : \frac{x^{-4} - (x^{-2} - y^{-2})(x^{-2} + y^{-2})}{x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})} = \frac{x^{-2}}{x^{-2} - y^{-2}} : \frac{x^{-4} - (x^{-4} - y^{-4})}{x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})} = \frac{x^{-2}}{x^{-2} - y^{-2}} : \frac{x^{-4} - x^{-4} + y^{-4}}{x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})} = \frac{x^{-2}}{x^{-2} - y^{-2}} * \frac{x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})}{y^{-4}} = \frac{x^{-2}}{1} * \frac{x^{-2}}{y^{-4}} = \frac{x^{-4}}{y^{-4}} = \frac{y^4}{x^4} = (\frac{y}{x})^4$
6) $\frac{x^{-10} - 4}{x^{-5}} * \frac{1}{x^{-5} + 2} - \frac{x^{-5} + 2}{x^{-5}} = \frac{(x^{-5} - 2)(x^{-5} + 2)}{x^{-5}} * \frac{1}{x^{-5} + 2} - \frac{x^{-5} + 2}{x^{-5}} = \frac{x^{-5} - 2}{x^{-5}} - \frac{x^{-5} + 2}{x^{-5}} = \frac{x^{-5} - 2 - (x^{-5} + 2)}{x^{-5}} = \frac{x^{-5} - 2 - x^{-5} - 2}{x^{-5}} = \frac{-4}{x^{-5}} = -4x^5$
7) $(\frac{4c^{-6}}{c^{-6} + 1} - \frac{c^{-6}}{c^{-12} + 2c^{-6} + 1}) : \frac{4c^{-6} + 3}{c^{-12} - 1} + \frac{2c^{-6}}{c^{-6} + 1} = (\frac{4c^{-6}}{c^{-6} + 1} - \frac{c^{-6}}{(c^{-6} + 1)^2}) * \frac{c^{-12} - 1}{4c^{-6} + 3} + \frac{2c^{-6}}{c^{-6} + 1} = \frac{4c^{-6}(c^{-6} + 1) - c^{-6}}{(c^{-6} + 1)^2} * \frac{(c^{-6} - 1)(c^{-6} + 1)}{4c^{-6} + 3} + \frac{2c^{-6}}{c^{-6} + 1} = \frac{4c^{-12} + 4c^{-6} - c^{-6}}{c^{-6} + 1} * \frac{c^{-6} - 1}{4c^{-6} + 3} + \frac{2c^{-6}}{c^{-6} + 1} = \frac{4c^{-12} + 3c^{-6}}{c^{-6} + 1} * \frac{c^{-6} - 1}{4c^{-6} + 3} + \frac{2c^{-6}}{c^{-6} + 1} = \frac{c^{-6}(4c^{-6} + 3)}{c^{-6} + 1} * \frac{c^{-6} - 1}{4c^{-6} + 3} + \frac{2c^{-6}}{c^{-6} + 1} = \frac{c^{-6}}{c^{-6} + 1} * \frac{c^{-6} - 1}{1} + \frac{2c^{-6}}{c^{-6} + 1} = \frac{c^{-6}(c^{-6} - 1) + 2c^{-6}}{c^{-6} + 1} = \frac{c^{-12} - c^{-6} + 2c^{-6}}{c^{-6} + 1} = \frac{c^{-12} + c^{-6}}{c^{-6} + 1} = \frac{c^{-6}(c^{-6} + 1)}{c^{-6} + 1} = c^{-6} = \frac{1}{c^6}$
