Ответы к странице 116

461. В саду растет более 80, но менее 100 деревьев. Каждое третье дерево − яблоня, а каждое восьмое − груша. Сколько деревьев растет в саду?

Решение:

Общее количество деревьев кратно числу 24 (3 * 8), так как каждое третье дерево − яблоня, а каждое восьмое − груша.
Так как деревьев более 80 и менее 100, то среди данных чисел есть только одно число кратное 24, это число 96 = 24 * 4.
Ответ: 96 деревьев

462. Известно, что $\frac{a}{b} = 3$. Найдите значение выражения $\frac{2a - 3b}{a}$.

Решение:

$\frac{2a - 3b}{a} = \frac{2a}{a} - \frac{3b}{a} = 2 - 3 * \frac{b}{a} = 2 - 3 * \frac{1}{3} = 2 - 1 = 1$
Ответ: 1

463. Сравните:
1) 2,4578 и 2,4569;
2) −1,9806 и −1,981.

Решение:

1) 2,4578 > 2,4569

2) −1,9806 > −1,981

464. Прочитайте периодическую дробь и назовите ее период:
1) 0,(5);
2) 1,(32);
3) 8,4(65);
4) 3,424242... .

Решение:

1) 0,(5) − ноль целых пять в периоде
5 − период дроби

2) 1,(32) − одна целая тридцать два в периоде
32 − период дроби

3) 8,4(65) − восемь целых четыре десятых и шестьдесят пять в периоде
65 − период дроби

4) 3,424242... = 3,(42) − три целых сорок два в периоде
42 − период дроби

465. Преобразуйте в десятичную дробь:
1) $\frac{4}{5}$;
2) $\frac{3}{8}$;
3) $\frac{7}{16}$;
4) $\frac{97}{80}$;
5) $\frac{42}{15}$.

Решение:

1) $\frac{4}{5} = \frac{4 * 2}{5 * 2} = \frac{8}{10} = 0,8$

2) $\frac{3}{8}= \frac{3 * 125}{8 * 125} = \frac{375}{1000} = 0,375$

3) $\frac{7}{16} = \frac{7 * 625}{16 * 625} = \frac{4375}{10000} = 0,4375$

4) $\frac{97}{80} = 1\frac{17}{80} = 1 + \frac{17 * 125}{80 * 125} = 1 + \frac{2125}{10000} = 1 + 0,2125 = 1,2125$

5) $\frac{42}{15} = 2\frac{12}{15} = 2\frac{4}{5} = 2 + \frac{4 * 2}{5 * 2} = 2 + \frac{8}{10} = 2 + 0,8 = 2,8$

466. Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и определите ее период:
1) $\frac{5}{6}$;
2) $\frac{11}{15}$;
3) $\frac{9}{11}$;
4) $\frac{31}{33}$.

Решение:

1) $\frac{5}{6} = 5 : 6 = 0,8333... = 0,8(3)$
3 − период дроби

2) $\frac{11}{15} = 11 : 15 = 0,7333... = 0,7(3)$
3 − период дроби

3) $\frac{9}{11} = 9 : 11 = 0,8181... = 0,(81)$
81 − период дроби

4) $\frac{31}{33} = 31 : 33 = 0,9393... = 0,(93)$
93 − период дроби

№467. Попарно различные числа a, b, с удовлетворяют условию a²(b + c) = b²(c + a). Докажите, что a²(b + c) = c²(a + b).

Решение:

$a^2(b + c) = b^2(c + a)$
$a^2(b + c) - b^2(c + a) = 0$
$a^2b + a^2c - b^2c - b^2a = 0$
$(a^2c - b^2c) + (a^2b - b^2a) = 0$
$c(a^2 - b^2) + ab(a - b) = 0$
c(a − b)(a + b) + ab(a − b) = 0
(a − b)(c(a + b) + ab) = 0
(a − b)(cа + сb + ab) = 0

$a^2(b + c) = c^2(a + b)$
$a^2(b + c) - c^2(a + b) = 0$
$a^2b + a^2c - ac^2 - bc^2 = 0$
$(a^2b - bc^2) + (a^2c - ac^2) = 0$
$b(a^2 - c^2) + ac(a - c) = 0$
$b(a - c)(a + c) + ac(a - c) = 0$
(a − c)(b(a + c) + ac) = 0
(a − c)(bа + bc + ac) = 0

Поскольку a, b, с попарно различные, a − b ≠ 0, и a − c ≠ 0 значит
cа + сb + ab = 0  и
bа + bc + ac = 0

cа + сb + ab = bа + bc + ac
Утверждение доказано.