Ответы к странице 57
211. Составьте пару равносильных уравнений, каждое из которых:
1) имеет один корень;
2) имеет два корня;
3) имеет бесконечно много корней;
4) не имеет корней.
Решение:
1) Первое уравнение:
x + 8 = 10
x = 10 − 8
x = 2
Второе уравнение:
(x + 8) + 5 = 10 + 5
x + 13 = 15
x = 15 − 13
x = 2
Ответ:
x + 8 = 10 и x + 13 = 15
2) Первое уравнение:
$x^2 + x = 0$
x(x + 1) = 0
x = 0
или
x + 1 = 0
x = −1
Второе уравнение:
$(x^2 + x) * 2 = 0 * 2$
$2x^2 + 2x = 0$
2x(x + 1) = 0
2x = 0
x = 0
или
x + 1 = 0
x = −1
Ответ:
$x^2 + x = 0$ и $2x^2 + 2x = 0$
3) Первое уравнение:
2(x + 4) = 6x − 4(x − 2)
2x + 8 = 6x − 4x + 8
2x + 8 = 2x + 8
2x − 2x = 8 − 8
0 = 0
x − любое число
Второе уравнение:
2(x + 4) + 8x = 6x − 4(x − 2) + 8x
2x + 8 + 8x = 6x − 4x + 8 + 8x
10x + 8 = 10x + 8
10x − 10x = 8 − 8
0 = 0
x − любое число
Ответ:
2(x + 4) = 6x − 4(x − 2) и 2(x + 4) + 8x = 6x − 4(x − 2) + 8x
4) Первое уравнение:
$2x(x - 8) = x^2 - 16x - 9$
$2x^2 - 16x = x^2 - 16x - 9$
$2x^2 - x^2 - 16x + 16x = -9$
$x^2 = -9$
нет корней
Второе уравнение:
$x^2 - 9 - (x - 3)(x +3) = 5$
$x^2 - 9 - (x^2 - 9) = 5$
$x^2 - 9 - x^2 + 9 = 5$
0 ≠ 5
нет корней
Ответ:
$2x(x - 8) = x^2 - 16x - 9$ и $x^2 - 9 - (x - 3)(x +3) = 5$
212. Решите уравнение:
1) $\frac{5}{x^2 - 4} + \frac{2x}{x + 2} = 2$;
2) $\frac{2}{6x + 1} + \frac{3}{6x - 1} = \frac{30x + 9}{36x^2 - 1}$;
3) $\frac{6x + 14}{x^2 - 9} + \frac{7}{x^2 + 3x} = \frac{6}{x - 3}$;
4) $\frac{2y^2 + 5}{1 - y^2} + \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{4}{y + 1}$;
5) $\frac{2x - 1}{2x + 1} = \frac{2x + 1}{2x - 1} + \frac{4}{1 - 4x^2}$;
6) $\frac{7}{(x + 2)(x - 3)} - \frac{4}{(x - 3)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2}$;
7) $\frac{2x - 1}{x + 4} - \frac{3x - 1}{4 - x} = \frac{6x + 64}{x^2 - 16} + 4$;
8) $\frac{2x - 6}{x^2 - 36} - \frac{x - 3}{x^2 - 6x} - \frac{x - 1}{x^2 + 6x} = 0$.
Решение:
1) $\frac{5}{x^2 - 4} + \frac{2x}{x + 2} = 2$
$\frac{5}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{2x}{x + 2} - 2 = 0$
$\frac{5 + 2x(x - 2) - 2(x^2 - 4)}{(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{2x^2 - 4x + 5 - 2x^2 + 8}{(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{13 - 4x}{(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 2 ≠ 0 &\\ x + 2 ≠ 0 &\\ 13 - 4x = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 2 &\\ x ≠ -2 &\\ 4x = 13 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 2 &\\ x ≠ -2 &\\ x = \frac{13}{4} = 3\frac{1}{4} & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: $x = 3\frac{1}{4}$
2) $\frac{2}{6x + 1} + \frac{3}{6x - 1} = \frac{30x + 9}{36x^2 - 1}$
$\frac{2}{6x + 1} + \frac{3}{6x - 1} - \frac{30x + 9}{(6x - 1)(6x + 1)} = 0$
$\frac{2(6x - 1) + 3(6x + 1) - (30x + 9)}{(6x - 1)(6x + 1)} = 0$
$\frac{12x - 2 + 18x + 3 - 30x - 9}{(6x - 1)(6x + 1)} = 0$
$\frac{-8}{(6x - 1)(6x + 1)} = 0$
−8 ≠ 0
Ответ: нет корней
3) $\frac{6x + 14}{x^2 - 9} + \frac{7}{x^2 + 3x} = \frac{6}{x - 3}$
$\frac{6x + 14}{(x - 3)(x + 3)} + \frac{7}{x(x + 3)} - \frac{6}{x - 3} = 0$
$\frac{x(6x + 14) + 7(x - 3) - 6x(x + 3)}{x(x - 3)(x + 3)} = 0$
$\frac{6x^2 + 14x + 7x - 21 - 6x^2 - 18x}{x(x - 3)(x + 3)} = 0$
$\frac{3x - 21}{x(x - 3)(x + 3)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x - 3 ≠ 0 &\\ x + 3 ≠ 0 &\\ 3x - 21 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x ≠ 3 &\\ x ≠ -3 &\\ 3x = 21 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x ≠ 3 &\\ x ≠ -3 &\\ x = 7 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 7
4) $\frac{2y^2 + 5}{1 - y^2} + \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{4}{y + 1}$
$\frac{-(2y^2 + 5)}{y^2 - 1} + \frac{y + 1}{y - 1} - \frac{4}{y + 1} = 0$
$\frac{-2y^2 - 5}{(y - 1)(y + 1)} + \frac{y + 1}{y - 1} - \frac{4}{y + 1} = 0$
$\frac{-2y^2 - 5 + (y + 1)^2 - 4(y - 1)}{(y - 1)(y + 1)} = 0$
$\frac{-2y^2 - 5 + y^2 + 2y + 1 - 4y + 4}{(y - 1)(y + 1)} = 0$
$\frac{-y^2 - 2y}{(y - 1)(y + 1)} = 0$
$\frac{-(y^2 + 2y)}{(y - 1)(y + 1)} = 0$
$\frac{-y(y + 2)}{(y - 1)(y + 1)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} y - 1 ≠ 0 &\\ y + 1 ≠ 0 &\\ -y = 0 &\\ y + 2 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} y ≠ 1 &\\ y ≠ -1 &\\ y = 0 &\\ y = -2 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: y = −2, y = 0.
5) $\frac{2x - 1}{2x + 1} = \frac{2x + 1}{2x - 1} + \frac{4}{1 - 4x^2}$
$\frac{2x - 1}{2x + 1} - \frac{2x + 1}{2x - 1} - \frac{4}{1 - 4x^2} = 0$
$\frac{2x - 1}{2x + 1} - \frac{2x + 1}{2x - 1} + \frac{4}{4x^2 - 1} = 0$
$\frac{2x - 1}{2x + 1} - \frac{2x + 1}{2x - 1} + \frac{4}{(2x - 1)(2x + 1)} = 0$
$\frac{(2x - 1)^2 - (2x + 1)^2 + 4}{(2x - 1)(2x + 1)} = 0$
$\frac{4x^2 - 4x + 1 - (4x^2 + 4x + 1) + 4}{(2x - 1)(2x + 1)} = 0$
$\frac{4x^2 - 4x + 1 - 4x^2 - 4x - 1 + 4}{(2x - 1)(2x + 1)} = 0$
$\frac{-8x + 4}{(2x - 1)(2x + 1)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 2x - 1 ≠ 0 &\\ 2x + 1 ≠ 0 &\\ -8x + 4 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 2x ≠ 1 &\\ 2x ≠ -1 &\\ -8x = -4 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0,5 &\\ x ≠ -0,5 &\\ x = 0,5 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: нет корней
6) $\frac{7}{(x + 2)(x - 3)} - \frac{4}{(x - 3)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2}$
$\frac{7}{(x + 2)(x - 3)} - \frac{4}{(x - 3)^2} - \frac{3}{(x + 2)^2} = 0$
$\frac{7(x + 2)(x - 3) - 4(x + 2)^2 - 3(x - 3)^2}{(x + 2)^2(x - 3)^2} = 0$
$\frac{7(x^2 + 2x - 3x - 6) - 4(x^2 + 4x + 4) - 3(x^2 - 6x + 9)}{(x + 2)^2(x - 3)^2} = 0$
$\frac{7(x^2 - x - 6) - 4(x^2 + 4x + 4) - 3(x^2 - 6x + 9)}{(x + 2)^2(x - 3)^2} = 0$
$\frac{7x^2 - 7x - 42 - 4x^2 - 16x - 16 - 3x^2 + 18x - 27}{(x + 2)^2(x - 3)^2} = 0$
$\frac{-5x - 85}{(x + 2)^2(x - 3)^2} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x + 2 ≠ 0 &\\ x - 3 ≠ 0 &\\ -5x - 85 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ -2 &\\ x ≠ 3 &\\ -5x = 85 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ -2 &\\ x ≠ 3 &\\ x = -17 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = −17
7) $\frac{2x - 1}{x + 4} - \frac{3x - 1}{4 - x} = \frac{6x + 64}{x^2 - 16} + 4$
$\frac{2x - 1}{x + 4} + \frac{3x - 1}{x - 4} - \frac{6x + 64}{(x - 4)(x + 4)} - 4 = 0$
$\frac{(2x - 1)(x - 4) + (3x - 1)(x + 4) - (6x + 64) - 4(x^2 - 16)}{(x - 4)(x + 4)} = 0$
$\frac{2x^2 - x - 8x + 4 + 3x^2 - x + 12x - 4 - 6x - 64 - 4x^2 + 64}{(x - 4)(x + 4)} = 0$
$\frac{x^2 - 4x}{(x - 4)(x + 4)} = 0$
$\frac{x(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 4 ≠ 0 &\\ x + 4 ≠ 0 &\\ x = 0 &\\ x - 4 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 4 &\\ x ≠ -4 &\\ x = 0 &\\ x = 4 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 0
8) $\frac{2x - 6}{x^2 - 36} - \frac{x - 3}{x^2 - 6x} - \frac{x - 1}{x^2 + 6x} = 0$
$\frac{2x - 6}{(x - 6)(x + 6)} - \frac{x - 3}{x(x - 6)} - \frac{x - 1}{x(x + 6)} = 0$
$\frac{x(2x - 6) - (x - 3)(x + 6) - (x - 1)(x - 6)}{x(x - 6)(x + 6)} = 0$
$\frac{2x^2 - 6x - (x^2 - 3x + 6x - 18) - (x^2 - x - 6x + 6)}{x(x - 6)(x + 6)} = 0$
$\frac{2x^2 - 6x - x^2 + 3x - 6x + 18 - x^2 + x + 6x - 6}{x(x - 6)(x + 6)} = 0$
$\frac{-2x + 12}{x(x - 6)(x + 6)} = 0$
$\frac{-2(x - 6)}{x(x - 6)(x + 6)} = 0$
$\frac{-2}{x(x + 6)} = 0$
−2 ≠ 0
Ответ: нет корней
213. Решите уравнение:
1) $\frac{x - 2}{x + 1} - \frac{5}{1 - x} = \frac{x^2 + 27}{x^2 - 1}$;
2) $\frac{3x + 1}{3x - 1} - \frac{3x - 1}{3x + 1} = \frac{6}{1 - 9x^2}$;
3) $\frac{4}{x - 3} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x - 2}$;
4) $\frac{2x^2 - 2x}{x^2 - 4} + \frac{6}{x + 2} = \frac{x + 2}{x - 2}$;
5) $\frac{7}{x^2 + 2x} + \frac{x + 1}{x^2 - 2x} = \frac{x + 4}{x^2 - 4}$;
6) $\frac{x^2 - 9x + 50}{x^2 - 5x} = \frac{x + 1}{x - 5} + \frac{x - 5}{x}$.
Решение:
1) $\frac{x - 2}{x + 1} - \frac{5}{1 - x} = \frac{x^2 + 27}{x^2 - 1}$
$\frac{x - 2}{x + 1} + \frac{5}{x - 1} - \frac{x^2 + 27}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\frac{(x - 2)(x - 1) + 5(x + 1) - (x^2 + 27)}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\frac{x^2 - 2x - x + 2 + 5x + 5 - x^2 - 27}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\frac{2x - 20}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 1 ≠ 0 &\\ x + 1 ≠ 0 &\\ 2x - 20 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 1 &\\ x ≠ -1 &\\ 2x = 20 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 1 &\\ x ≠ -1 &\\ x = 10 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = 10
2) $\frac{3x + 1}{3x - 1} - \frac{3x - 1}{3x + 1} = \frac{6}{1 - 9x^2}$
$\frac{3x + 1}{3x - 1} - \frac{3x - 1}{3x + 1} - \frac{6}{1 - 9x^2} = 0$
$\frac{3x + 1}{3x - 1} - \frac{3x - 1}{3x + 1} + \frac{6}{9x^2 - 1} = 0$
$\frac{3x + 1}{3x - 1} - \frac{3x - 1}{3x + 1} + \frac{6}{(3x - 1)(3x + 1)} = 0$
$\frac{(3x + 1)^2 - (3x - 1)^2 + 6}{(3x - 1)(3x + 1)} = 0$
$\frac{9x^2 + 6x + 1 - (9x^2 - 6x + 1) + 6}{(3x - 1)(3x + 1)} = 0$
$\frac{9x^2 + 6x + 1 - 9x^2 + 6x - 1 + 6}{(3x - 1)(3x + 1)} = 0$
$\frac{12x + 6}{(3x - 1)(3x + 1)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 3x - 1 ≠ 0 &\\ 3x + 1 ≠ 0 &\\ 12x + 6 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 3x ≠ 1 &\\ 3x ≠ -1 &\\ 12x = -6 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ \frac{1}{3} &\\ x ≠ -\frac{1}{3} &\\ x = -\frac{1}{2} & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: $x = -\frac{1}{2}$
3) $\frac{4}{x - 3} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x - 2}$
$\frac{4}{x - 3} + \frac{1}{x} - \frac{5}{x - 2} = 0$
$\frac{4x(x - 2) + (x - 3)(x - 2) - 5x(x - 3)}{x(x - 3)(x - 2)} = 0$
$\frac{4x^2 - 8x + x^2 - 3x - 2x + 6 - 5x^2 + 15x}{x(x - 3)(x - 2)} = 0$
$\frac{2x + 6}{x(x - 3)(x - 2)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x - 3 ≠ 0 &\\ x - 2 ≠ 0 &\\ 2x + 6 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x ≠ 3 &\\ x ≠ 2 &\\ 2x = -6 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x ≠ 3 &\\ x ≠ 2 &\\ x = -3 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = −3
4) $\frac{2x^2 - 2x}{x^2 - 4} + \frac{6}{x + 2} = \frac{x + 2}{x - 2}$
$\frac{2x^2 - 2x}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{6}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 2} = 0$
$\frac{2x^2 - 2x + 6(x - 2) - (x + 2)^2}{(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{2x^2 - 2x + 6x - 12 - (x^2 + 4x + 4)}{(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{2x^2 + 4x - 12 - x^2 - 4x - 4}{(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{x^2 - 16}{(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 2 ≠ 0 &\\ x + 2 ≠ 0 &\\ x^2 - 16 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 2 &\\ x ≠ -2 &\\ x^2 = 16 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 2 &\\ x ≠ -2 &\\ x = ±4 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = ±4
5) $\frac{7}{x^2 + 2x} + \frac{x + 1}{x^2 - 2x} = \frac{x + 4}{x^2 - 4}$
$\frac{7}{x^2 + 2x} + \frac{x + 1}{x^2 - 2x} - \frac{x + 4}{x^2 - 4} = 0$
$\frac{7}{x(x + 2)} + \frac{x + 1}{x(x - 2)} - \frac{x + 4}{(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{7(x - 2) + (x + 1)(x + 2) - x(x + 4)}{x(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{7x - 14 + x^2 + x + 2x + 2 - x^2 - 4x}{x(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{6x - 12}{x(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{6(x - 2)}{x(x - 2)(x + 2)} = 0$
$\frac{6}{x(x - 2)(x + 2)} = 0$
6 ≠ 0
Ответ: нет корней
6) $\frac{x^2 - 9x + 50}{x^2 - 5x} = \frac{x + 1}{x - 5} + \frac{x - 5}{x}$
$\frac{x^2 - 9x + 50}{x(x - 5)} - \frac{x + 1}{x - 5} - \frac{x - 5}{x} = 0$
$\frac{x^2 - 9x + 50 - x(x + 1) - (x - 5)^2}{x(x - 5)} = 0$
$\frac{x^2 - 9x + 50 - x^2 - x - (x^2 - 10x + 25)}{x(x - 5)} = 0$
$\frac{x^2 - 9x + 50 - x^2 - x - x^2 + 10x - 25}{x(x - 5)} = 0$
$\frac{-x^2 + 25}{x(x - 5)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x - 5 ≠ 0 &\\ -x^2 + 25 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x ≠ 5 &\\ x^2 = 25 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 0 &\\ x ≠ 5 &\\ x = ±5 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: x = −5
214. Моторная лодка проплыла 8 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 54 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 18 км/ч.
Решение:
54 (мин) = $\frac{54}{60}$ (ч) = $\frac{9}{10}$ (ч)
Пусть x (км/ч) − скорость течения реки, тогда:
v (км/ч) t (ч)
по течению 18 + x $\frac{8}{18 + x}$
против течения 18 − x $\frac{8}{18 - x}$
Зная, что моторная лодка на весь путь затратила 54 мин, можно составить уравнение:
$\frac{8}{18 + x} + \frac{8}{18 - x} = \frac{9}{10}$
$\frac{8(18 - x) + 8(18 + x)}{(18 + x)(18 - x)} - \frac{9}{10} = 0$
$\frac{144 - 8x + 144 + 8x}{(18 + x)(18 - x)} - \frac{9}{10} = 0$
$\frac{288}{(18 + x)(18 - x)} - \frac{9}{10} = 0$
$\frac{288 * 10 - 9(324 - x^2)}{10(18 + x)(18 - x)} = 0$
$\frac{2880 - 2916 + 9x^2}{10(18 + x)(18 - x)} = 0$
$\frac{9x^2 - 36}{(18 + x)(18 - x)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} 18 + x ≠ 0 &\\ 18 - x ≠ 0 &\\ 9x^2 - 36 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ -18 &\\ x ≠ 18 &\\ 9x^2 = 36 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ -18 &\\ x ≠ 18 &\\ x^2 = 4 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ -18 &\\ x ≠ 18 &\\ x = ±2 & \end{cases} \end{equation*}$
x = − 2 − не подходит, так как скорость течения реки не может быть отрицательной, тогда:
x = 2 (км/ч) − скорость течения реки.
Ответ: 2 км/ч.
215. Теплоход прошел 28 км против течения реки и вернулся обратно, потратив на обратный путь на 4 мин меньше. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.
Решение:
4 (мин) = $\frac{4}{60}$ (ч) = $\frac{1}{15}$ (ч)
Пусть x (км/ч) − скорость теплохода в стоячей воде, тогда:
v (км/ч) t (ч)
по течению x + 1 $\frac{28}{x + 1}$
против течения x − 1 $\frac{28}{x - 1}$
Зная, что теплоход потратил на обратный путь на 4 минуты меньше, можно составить уравнение:
$\frac{28}{x - 1} - \frac{28}{x + 1} = \frac{1}{15}$
$\frac{28}{x - 1} - \frac{28}{x + 1} - \frac{1}{15} = 0$
$\frac{28 * 15(x + 1) - 28 * 15(x - 1) - (x - 1)(x + 1)}{15(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\frac{420(x + 1) - 420(x - 1) - (x^2 - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\frac{420x + 420 - 420x + 420 - x^2 + 1}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\frac{841 - x^2}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x - 1 ≠ 0 &\\ x + 1 ≠ 0 &\\ 841 - x^2 = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 1 &\\ x ≠ -1 &\\ x^2 = 841 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ 1 &\\ x ≠ -1 &\\ x = ±29 & \end{cases} \end{equation*}$
x = −29 − не подходит, так как скорость теплохода не может быть отрицательной, тогда:
x = 29 (км/ч) − скорость теплохода в стоячей воде.
Ответ: 29 км/ч.
216. Лодка прошла 6 км против течения реки и 12 км по течению, потратив на весь путь 2 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки составляет 3 км/ч.
Решение:
Пусть x (км/ч) − скорость лодки в стоячей воде, тогда:
v (км/ч) t (ч)
по течению x + 3 $\frac{12}{x + 3}$
против течения x − 3 $\frac{6}{x - 3}$
Зная, что лодка потратила на весь путь 2 ч, можно составить уравнение:
$\frac{12}{x + 3} + \frac{6}{x - 3} = 2$
$\frac{12}{x + 3} + \frac{6}{x - 3} - 2 = 0$
$\frac{12(x - 3) + 6(x + 3) - 2(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 0$
$\frac{12(x - 3) + 6(x + 3) - 2(x^2 - 9)}{(x + 3)(x - 3)} = 0$
$\frac{12x - 36 + 6x + 18 - 2x^2 + 18}{(x + 3)(x - 3)} = 0$
$\frac{18x - 2x^2}{(x + 3)(x - 3)} = 0$
$\frac{2x(9 - x)}{(x + 3)(x - 3)} = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x + 3 ≠ 0 &\\ x - 3 ≠ 0 &\\ 2x = 0 &\\ 9 - x = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x ≠ -3 &\\ x ≠ 3 &\\ x = 0 &\\ x = 9 & \end{cases} \end{equation*}$
x = 0 − не подходит, так как скорость лодки не может быть равна 0, тогда:
x = 9 (км/ч) − скорость лодки в стоячей воде.
Ответ: 9 км/ч.
