Ответы к странице 202

824. В раствор, содержащий 20 г соли, добавили 100 г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10%. Сколько граммов воды содержал раствор первоначально?

Решение:

Пусть x (г) − воды было в растворе первоначально, тогда:
x + 20 (г) − первоначальная масса раствора;
x + 100 (г) − воды стало в растворе;
x + 100 + 20 = x + 120 (г) − полученная масса раствора;
$\frac{20}{x + 20}$ * 100% = $\frac{2000}{x + 20}$ (%) − соли было в первоначальном растворе;
$\frac{2000}{x + 120}$ (%) − соли стало в полученном растворе растворе.
Так как, в полученном растворе концентрация соли уменьшилась на 10%, можно составить уравнение:
$\frac{2000}{x + 20} - \frac{2000}{x + 120} = 10$
x + 20 ≠ 0
x ≠ −20
и
x + 120 ≠ 0
x ≠ −120
$\frac{2000}{x + 20} - \frac{2000}{x + 120} = 10$ | : 10
$\frac{200}{x + 20} - \frac{200}{x + 120} = 1$ | * (x + 20)(x + 120)
$200(x + 120) - 200(x + 20) = (x + 20)(x + 120)$
$200x + 24000 - 200x - 4000 = x^2 + 20x + 120x + 2400$
$20000 = x^2 + 140x + 2400$
$-x^2 - 140x + 20000 - 2400 = 0$
$-x^2 - 140x + 17600 = 0$ | * (−1)
$x^2 + 140x - 17600 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 140^2 - 4 * 1 * (-17600) = 19600 + 70400 = 90000 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-140 + \sqrt{90000}}{2 * 1} = \frac{-140 + 300}{2} = \frac{160}{2} = 80$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-140 - \sqrt{90000}}{2 * 1} = \frac{-140 - 300}{2} = \frac{-440}{2} = -220$ − не является решением, так как масса не может быть отрицательной, тогда:
x = 80 (г) − воды было в растворе первоначально.
Ответ: 80 г

825. Кусок сплава меди и цинка, содержавший 10 кг цинка, сплавили с 10 кг меди. Полученный сплав содержит на 5% меди больше, чем исходный. Сколько килограммов меди содержал исходный кусок сплава?

Решение:

Пусть x (кг) − меди было в исходном сплаве, тогда:
x + 10 (кг) − вес исходного куска сплава;
$\frac{x}{x + 10}$ * 100% = $\frac{100x}{x + 10}$ (%) − содержание меди в исходном сплаве;
x + 10 (кг) меди стало в полученном сплаве;
x + 10 + 10 = x + 20 (кг) − вес полученного куска сплава;
$\frac{x + 10}{x + 20}$ * 100% = $\frac{100(x + 10)}{x + 20}$ (%) − содержание меди в полученном сплаве.
Так как, полученный сплав содержит на 5% меди больше, чем исходный, можно составить уравнение:
$\frac{100(x + 10)}{x + 20} - \frac{100x}{x + 10} = 5$
x + 10 ≠ 0
x ≠ −10
и
x + 10 ≠ 0
x ≠ −10
$\frac{100(x + 10)}{x + 20} - \frac{100x}{x + 10} = 5$ | : 5
$\frac{20(x + 10)}{x + 20} - \frac{20x}{x + 10} = 1$ | * (x + 20)(x + 10)
$20(x + 10)^2 - 20x(x + 20) = (x + 20)(x + 10)$
$20(x^2 + 20x + 100) - 20x^2 - 400x = x^2 + 20x + 10x + 200$
$20x^2 + 400x + 2000 - 20x^2 - 400x = x^2 + 30x + 200$
$2000 - x^2 - 30x - 200 = 0$
$-x^2 - 30x + 1800 = 0$ | * (−1)
$x^2 + 30x - 1800 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 * 1 * (-1800) = 900 + 7200 = 8100 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 + \sqrt{8100}}{2 * 1} = \frac{-30 + 90}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 - \sqrt{8100}}{2 * 1} = \frac{-30 - 90}{2} = \frac{-120}{2} = -60$ − не является решением, так как масса не может быть отрицательной, тогда:
x = 30 (кг) − меди было в исходном сплаве
Ответ: 30 г

826. Через 2 ч 40 мин после отправления плота от пристани A по течению реки навстречу ему от пристани B отошел катер. Найдите скорость течения реки, если плот и катер встретились на расстоянии 14 км от пристани A, скорость катера в стоячей воде равна 12 км/ч, а расстояние между пристанями A и B равно 32 км.

Решение:

Пусть x (км/ч) − скорость течения реки, тогда:
12 − x (км/ч) − скорость катера против течения;
32 − 14 = 18 (км) − прошел катер до встречи;
$\frac{14}{x}$ (ч) − время движения плота;
$\frac{18}{12 - x}$ (ч) − время движения катера;
2 ч 40 мин = $2\frac{40}{60}$ (ч) = $2\frac{2}{3}$ (ч) = $\frac{8}{3}$ (ч).
Так как, плот двигался на 2 ч 40 мин дольше катера, можно составить уравнение:
$\frac{14}{x} - \frac{18}{12 - x} = \frac{8}{3}$
x ≠ 0
и
12 − x ≠ 0
x ≠ 12
$\frac{14}{x} - \frac{18}{12 - x} = \frac{8}{3}$ | * 3x(12 − x)
42(12 − x) − 54x = 8x(12 − x)
$504 - 42x - 54x = 96x - 8x^2$
$504 - 96x - 96x + 8x^2 = 0$
$8x^2 - 192x + 504 = 0$ | : 8
$x^2 - 24x + 63 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 * 1 * 63 = 576 - 252 = 324 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + \sqrt{324}}{2 * 1} = \frac{24 + 18}{2} = \frac{42}{2} = 21$ − на является решением, так как:
12 − x = 12 − 21 = −9 (км/ч) − скорость не может быть отрицательной.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - \sqrt{324}}{2 * 1} = \frac{24 - 18}{2} = \frac{6}{2} = 3$ (км/ч) − скорость течения реки.
Ответ: 3 км/ч

827. К бассейну подведены две трубы. Через одну трубу воду наливают в бассейн, а через другую сливают, причем на слив воды требуется на 1 ч больше, чем на его наполнение. Если же открыть обе трубы одновременно, то бассейн наполнится водой за 30 ч. За сколько часов можно наполнить пустой бассейн водой через первую трубу?

Решение:

Пусть x (ч) − заполняет бассейн первая труба, тогда:
x + 1 (ч) − время слива воды через вторую трубу;
$\frac{1}{x}$ (бассейна) − заполнит первая труба за 1 час;
$\frac{1}{x + 1}$ (бассейна) − сольет вторая труба за 1 час;
$\frac{1}{30}$ (бассейна) − заполнят обе трубы за 1 час.
Так как, если открыть обе трубы одновременно, то бассейн наполнится водой за 30 ч, можно составить уравнение:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{30}$
x ≠ 0
и
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{30}$ | * 30x(x + 1)
30(x + 1) − 30x = x(x + 1)
$30x + 30 - 30x = x^2 + x$
$-x^2 - x + 30 = 0$ | * (−1)
$x^2 + x - 30 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-30) = 1 + 120 = 121 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 * 1} = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 * 1} = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6$ − не является решением, так как скорость заполнения не может быть отрицательной, тогда:
x = 5 (ч) − заполняет бассейн первая труба.
Ответ: за 5 часов

828. Для наполнения бассейна через первую трубу требуется столько же времени, сколько для наполнения через вторую и третью трубы одновременно. Через первую трубу бассейн наполняется на 2 ч быстрее, чем через вторую, и на 8 ч быстрее, чем через третью. Сколько времени требуется для наполнения бассейна через каждую трубу?

Решение:

Пусть x (ч) − заполняет бассейн первая труба, тогда:
x + 2 (ч) − заполняет бассейн вторая труба;
x + 8 (ч) − заполняет бассейн третья труба;
$\frac{1}{x}$ (бассейна) − заполнит за 1 ч первая труба;
$\frac{1}{x + 2}$ (бассейна) − заполнит за 1 ч вторая труба;
$\frac{1}{x + 8}$ (бассейна) − заполнит за 1 ч третья труба.
Так как, для наполнения бассейна через первую трубу требуется столько же времени, сколько для наполнения через вторую и третью трубы одновременно, можно составить уравнение:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 8}$
x ≠ 0
и
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
и
x + 8 ≠ 0
x ≠ −8
$\frac{1}{x} = \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 8}$ | * x(x + 2)(x + 8)
$(x + 2)(x + 8) = x(x + 8) + x(x + 2)$
$x^2 + 2x + 8x + 16 = x^2 + 8x + x^2 + 2x$
$x^2 + 10x + 16 = 2x^2 + 10x$
$x^2 - 2x^2 + 10x - 10x + 16 = 0$
$-x^2 + 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$
$x_2 = -4$ − не является решением, так как время заполнения не может быть отрицательным, тогда:
x = 4 (ч) − заполняет бассейн первая труба, тогда:
x + 2 = 4 + 2 = 6 (ч) − заполняет бассейн вторая труба;
x + 8 = 4 + 8 = 12 (ч) − заполняет бассейн третья труба.
Ответ: 4 ч, 6 ч, 12 ч.

829. Автобус должен был проехать рассстояние между двумя городами, равное 400 км, с некоторой скоростью. Проехав 2 ч с запланированной скоростью, он остановился на 20 мин и, чтобы прибыть в пункт назначения вовремя, увеличил скорость движения на 10 км/ч. С какой скоростью автобус должен был проехать расстояние между городами?

Решение:

Пусть x (км/ч) − запланированная скорость автобуса, тогда:
$\frac{400}{x}$ (ч) − запланированное время в пути;
2x (км) − проехал автобус до остановки;
x + 10 (км/ч) − скорость автобуса после остановки;
400 − 2x (км) − ехал автобус после остановки;
$\frac{400 - 2x}{x + 10}$ (ч) − ехал автобус после остановки;
20 мин = $\frac{20}{60}$ (ч) = $\frac{1}{3}$ (ч).
Так как, несмотря на остановки, автобус проехал расстояние за планируемое время, можно составить уравнение:
$2 + \frac{1}{3} + \frac{400 - 2x}{x + 10} = \frac{400}{x}$
x ≠ 0
и
x + 10 ≠ 0
x ≠ −10
$2\frac{1}{3} + \frac{400 - 2x}{x + 10} = \frac{400}{x}$
$\frac{7}{3} + \frac{400 - 2x}{x + 10} - \frac{400}{x} = 0$ | * 3x(x + 10)
7x(x + 10) + 3x(400 − 2x) − 1200(x + 10) = 0
$7x^2 + 70x + 1200x - 6x^2 - 1200x - 12000 = 0$
$x^2 + 70x - 12000 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 70^2 - 4 * 1 * (-12000) = 4900 + 48000 = 52900 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-70 + \sqrt{52900}}{2 * 1} = \frac{-70 + 230}{2} = \frac{160}{2} = 80$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-70 - \sqrt{52900}}{2 * 1} = \frac{-70 - 230}{2} = \frac{-300}{2} = -150$ − не является решением, так как скорость не может быть отрицательной, тогда:
x = 80 (км/ч) − запланированная скорость автобуса.
Ответ: 80 км/ч

830. Рабочий должен был за некоторое время изготовить 360 деталей. Первые 5 дней он ежедневно изготавливал запланированное количество деталей, а затем ежедневно изготавливал на 4 детали больше, и уже за день до срока изготовил 372 детали. Сколько деталей ежедневно должен был изготавливать рабочий по плану?

Решение:

Пусть x (деталей) − в день должен был изготавливать рабочий, тогда:
$\frac{360}{x}$ (дней) − должен был работать рабочий;
5x (деталей) − изготовил рабочий за первые 5 дней;
x + 4 (деталей) − в день стал изготавливать рабочий;
372 − 5x (деталей) − изготовил рабочий после увеличения производительности;
$\frac{372 - 5x}{x + 4}$ (дней) − работал рабочий после увеличения производительности.
Так как, рабочий закончил работу за 1 день до срока, можно составить уравнение:
$\frac{360}{x} - (5 + \frac{372 - 5x}{x + 4}) = 1$
x ≠ 0
и
x + 4 ≠ 0
x ≠ −4
$\frac{360}{x} - 5 - \frac{372 - 5x}{x + 4} - 1 = 0$
$\frac{360}{x} - \frac{372 - 5x}{x + 4} - 6 = 0$ | * x(x + 4)
360(x + 4) − x(372 − 5x) − 6x(x + 4) = 0
$360x + 1440 - 372x + 5x^2 - 6x^2 - 24x = 0$
$-x^2 - 36x + 1440 = 0$ | * (−1)
$x^2 + 36x - 1440 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 36^2 - 4 * 1 * (-1440) = 1296 + 5760 = 7056 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-36 + \sqrt{7056}}{2 * 1} = \frac{-36 + 84}{2} = \frac{48}{2} = 24$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-36 - \sqrt{7056}}{2 * 1} = \frac{-36 - 84}{2} = \frac{-120}{2} = -60$ − не является решением, так как количество деталей не может быть отрицательным, тогда:
x = 24 (детали) − в день должен был изготавливать рабочий.
Ответ: 24 детали

831. Чтобы выполнить некоторое производственное задание, одному рабочему требуется на 12 ч меньше, чем другому, и на 4 больше, чем обоим рабочим для совместного выполнения задания. За сколько часов может выполнить это задание первый рабочий?

Решение:

Пусть x (ч) − выполняет задание первый рабочий, тогда:
x + 12 (ч) − выполняет задание второй рабочий;
x − 4 (ч) − выполняют задание оба рабочих одновременно;
$\frac{1}{x}$ (задания) − в час выполняет первый рабочий;
$\frac{1}{x + 12}$ (задания) − в час выполняет второй рабочий;
$\frac{1}{x - 4}$ (задания) − в час выполняют оба рабочих одновременно.
Так как, одному рабочему требуется на 12 ч меньше, чем другому, и на 4 больше, чем обоим рабочим для совместного выполнения задания, можно составить уравнение:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 12} = \frac{1}{x - 4}$
x ≠ 0
и
x + 12 ≠ 0
x ≠ −12
и
x − 4 ≠ 0
x ≠ 4
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 12} - \frac{1}{x - 4} = 0$ | * x(x + 12)(x − 4)
(x + 12)(x − 4) + x(x − 4) − x(x + 12) = 0
$x^2 + 12x - 4x - 48 + x^2 - 4x - x^2 - 12x = 0$
$x^2 - 8x - 48 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 1 * (-48) = 64 + 192 = 256 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{256}}{2 * 1} = \frac{8 + 16}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{256}}{2 * 1} = \frac{8 - 16}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ − не является решением, так как время не может быть отрицательным, тогда:
x = 12 (детали) − выполняет задание первый рабочий.
Ответ: за 12 часов

832. Вычислите:
1) $(27 * 3^{-4})^{2}$;
2) $\frac{7^{-4} * 7^{-9}}{7^{-12}}$;
3) $(10^9)^2 * 1000^{-6}$.

Решение:

1) $(27 * 3^{-4})^{2} = (3^3 * 3^{-4})^2 = (3^{-1})^2 = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

2) $\frac{7^{-4} * 7^{-9}}{7^{-12}} = \frac{7^{-13}}{7^{-12}} = 7^{(-13 - (-12))} = 7^{(-13 + 12)} = 7^{-1} = \frac{1}{7^1} = \frac{1}{7}$

3) $(10^9)^2 * 1000^{-6} = 10^{18} * (10^3)^{-6} = 10^{18} * 10^{-18} = 10^0 = 1$