Ответы к странице 14
§2. Основное свойство рациональной дроби
Вопросы
1. Какие выражения называют тождественно равными?
Ответ:
Выражения, соответствующие значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных, называют тождественно равными.
2. Что называют тождеством?
Ответ:
Равенство, которое выполняется при любых допустимых значения входящих в него переменных, называют тождеством.
3. Сформулируйте основное свойство рациональной дроби.
Ответ:
Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получим дробь, тождественно равную данной.
Упражнения
27. Какому из приведенных выражений тождественно равна дробь $\frac{6a^2}{24a}$:
1) $\frac{a^2}{4}$;
2) $\frac{a}{4}$;
3) $\frac{12a^3}{48a}$;
4) $\frac{3a^4}{12a^2}$?
Решение:
1) $\frac{a^2}{4} = \frac{6 * a^2}{6 * 4} = \frac{6a^2}{24} ≠ \frac{6a^2}{24a}$
2) $\frac{a}{4} = \frac{6a * a}{6a * 4} = \frac{6a^2}{24a}$
3) $\frac{12a^3}{48a} = \frac{6a^2 * 2a}{24 * 2a} = \frac{6a^2}{24} ≠ \frac{6a^2}{24a}$
4) $\frac{3a^4}{12a^2} = \frac{3a^2 * a^2}{3a^2 * 4} = \frac{a^2}{4} = \frac{6 * a^2}{6 * 4} = \frac{6a^2}{24} ≠ \frac{6a^2}{24a}$
Ответ: дробь $\frac{6a^2}{24a}$ тождественно равна выражению 2) $\frac{a}{4}$
28. Является ли тождеством равенство:
1\ $\frac{3m^2}{7m} = \frac{3m}{7}$;
2) $\frac{4x^8}{16x^4} = \frac{x^2}{4}$;
3) $\frac{2b}{5c^3} = \frac{8b}{20c^5}$;
4) $\frac{8m^2}{9n} = \frac{8m^5}{9nm^3}$?
Решение:
1) $\frac{3m^2}{7m} = \frac{3m}{7}$
$\frac{3m^2}{7m} = \frac{3m * m}{7 * m} = \frac{3m}{7}$
Равенство является тождеством.
2) $\frac{4x^8}{16x^4} = \frac{x^2}{4}$
$\frac{4x^8}{16x^4} = \frac{4x^4 * x^4}{4x^4 * 4} = \frac{x^4}{4} ≠ \frac{x^2}{4}$
Равенство не является тождеством.
3) $\frac{2b}{5c^3} = \frac{8b}{20c^5}$
$\frac{2b}{5c^3} = \frac{4 * 2b}{4 * 5c^3} = \frac{8b}{20c^3} ≠ \frac{8b}{20c^5}$
Равенство не является тождеством.
4) $\frac{8m^2}{9n} = \frac{8m^5}{9nm^3}$
$\frac{8m^2}{9n} = \frac{8m^2 * m^3}{9n * m^3} = \frac{8m^5}{9nm^3}$
Равенство является тождеством.
29. Сократите дробь:
1) $\frac{14a^3}{21a}$;
2) $\frac{8b^3c^2}{12bc^3}$;
3) $\frac{5x}{20x}$;
4) $\frac{24x^2y^2}{32xy}$;
5) $\frac{4abc}{16ab^4}$;
6) $\frac{56m^5n^7}{42m^5n^{10}}$;
7) $\frac{-10n^{10}}{5n^4}$;
8) $\frac{3p^4q^6}{-9p^8q^7}$.
Решение:
1) $\frac{14a^3}{21a} = \frac{7a * 2a^2}{7a * 3} = \frac{2a^2}{3}$
2) $\frac{8b^3c^2}{12bc^3} = \frac{4bc^2 * 2b^2}{4bc^2 * 3c} = \frac{2b^2}{3c}$
3) $\frac{5x}{20x} = \frac{5x * 1}{5x * 4} = \frac{1}{4}$
4) $\frac{24x^2y^2}{32xy} = \frac{8xy * 3xy}{8xy * 4} = \frac{3xy}{4}$
5) $\frac{4abc}{16ab^4} = \frac{4ab * c}{4ab * 4b^3} = \frac{c}{4b^3}$
6) $\frac{56m^5n^7}{42m^5n^{10}} = \frac{2m^5n^7 * 28}{2m^5n^7 * 21n^{3}} = \frac{28}{21n^{3}}$
7) $\frac{-10n^{10}}{5n^4} = -\frac{5n^4 * 2n^{6}}{5n^4 * 1} = -2n^6$
8) $\frac{3p^4q^6}{-9p^8q^7} = -\frac{3p^4q^6 * 1}{3p^4q^6 * 3p^4q} = -\frac{1}{3p^4q}$
30. Представьте частное в виде дроби и сократите полученную дробь:
1) $6a : (18a^5)$;
2) $16b^7 : (48b^4)$;
3) $35a^8b^6 : (-49a^6b^8)$.
Решение:
1) $6a : (18a^5) = \frac{6a}{18a^5} = \frac{6a * 1}{6a * 3a^4} = \frac{1}{3a^4}$
2) $16b^7 : (48b^4) = \frac{16b^4 * b^3}{16b^4 * 3} = \frac{b^3}{3}$
3) $35a^8b^6 : (-49a^6b^8) = -\frac{7a^6b^6 * 5a^2}{7a^6b^6 * 7b^2} = -\frac{5a^2}{7b^2}$
31. Сократите дробь:
1) $\frac{3x}{21y}$;
2) $\frac{5x^2}{6x}$;
3) $\frac{5c^4}{10c^5}$;
4) $\frac{2m^4}{m^3}$;
5) $\frac{16ab^4}{40ab^2}$;
6) $\frac{63x^5y^4}{42x^4y^5}$;
7) $\frac{12a^8}{-42a^2}$;
8) $\frac{-13a^5b^5}{26a^4b^3}$.
Решение:
1) $\frac{3x}{21y} = \frac{3 * x}{3 * 7y} = \frac{x}{7y}$
2) $\frac{5x^2}{6x} = \frac{x * 5x}{x * 6} = \frac{5x}{6}$
3) $\frac{5c^4}{10c^5} = \frac{5c^4 * 1}{5c^4 * 2c} = \frac{1}{2c}$
4) $\frac{2m^4}{m^3} = \frac{m^3 * 2m}{m^3 * 1} = 2m$
5) $\frac{16ab^4}{40ab^2} = \frac{8ab^2 * 2b^2}{8ab^2 * 5} = \frac{2b^2}{5}$
6) $\frac{63x^5y^4}{42x^4y^5} = \frac{21x^4y^4 * 3x}{21x^4y^4 * 2y} = \frac{3x}{2y}$
7) $\frac{12a^8}{-42a^2} = -\frac{6a^2 * 2a^6}{6a^2 * 7} = -\frac{2a^6}{7}$
8) $\frac{-13a^5b^5}{26a^4b^3} = -\frac{13a^4b^3 * ab^2}{13a^4b^3 * 2} = -\frac{ab^2}{2}$
