Ответы к странице 219

868. Докажите, что при всех допустимых значениях a значение выражения
$(\frac{1}{(a - 3)^2} - \frac{6}{9 - a^2} + \frac{9}{(a + 3)^2}) : \frac{4(2a - 3)^2}{(a^2 - 9)(a^2 - 27)} - \frac{2a^2}{9 - a^2}$
не зависит от значения a.

Решение:

$(\frac{1}{(a - 3)^2} - \frac{6}{9 - a^2} + \frac{9}{(a + 3)^2}) : \frac{4(2a - 3)^2}{(a^2 - 9)(a^2 - 27)} - \frac{2a^2}{9 - a^2} = (\frac{1}{(a - 3)^2} + \frac{6}{a^2 - 9} + \frac{9}{(a + 3)^2}) * \frac{(a^2 - 9)(a^2 - 27)}{4(2a - 3)^2} - \frac{2a^2}{9 - a^2} = (\frac{1}{(a - 3)^2} + \frac{6}{(a - 3)(a + 3)} + \frac{9}{(a + 3)^2}) * \frac{(a^2 - 9)(a^2 - 27)}{4(2a - 3)^2} - \frac{2a^2}{9 - a^2} = \frac{(a + 3)^2 + 6(a^2 - 9) + 9(a - 3)^2}{(a - 3)^2(a + 3)^2} * \frac{(a - 3)(a + 3)(a^2 - 27)}{4(2a - 3)^2} - \frac{2a^2}{9 - a^2} = \frac{a^2 + 6a + 9 + 6a^2 - 54 + 9(a^2 - 6a + 9)}{(a - 3)(a + 3)} * \frac{a^2 - 27}{4(2a - 3)^2} - \frac{2a^2}{9 - a^2} = \frac{7a^2 + 6a - 45 + 9a^2 - 54a + 81}{(a - 3)(a + 3)} * \frac{a^2 - 27}{4(2a - 3)^2} - \frac{2a^2}{9 - a^2} = \frac{16a^2 - 48a + 36}{(a - 3)(a + 3)} * \frac{a^2 - 27}{4(2a - 3)^2} - \frac{2a^2}{9 - a^2} = \frac{(4a - 6)^2}{(a - 3)(a + 3)} * \frac{a^2 - 27}{4(2a - 3)^2} + \frac{2a^2}{a^2 - 9} = \frac{(2(2a - 3))^2}{(a - 3)(a + 3)} * \frac{a^2 - 27}{4(2a - 3)^2} + \frac{2a^2}{a^2 - 9} = \frac{4(2a - 3)^2}{(a - 3)(a + 3)} * \frac{a^2 - 27}{4(2a - 3)^2} + \frac{2a^2}{a^2 - 9} = \frac{a^2 - 27}{a^2 - 9} + \frac{2a^2}{a^2 - 9} = \frac{a^2 - 27 + 2a^2}{a^2 - 9} = \frac{3a^2 - 27}{a^2 - 9} = \frac{3(a^2 - 9)}{a^2 - 9} = 3$

869. Упростите выражение:
1) $\frac{a + \frac{25}{a + 10}}{\frac{25}{a} - a}$;
2) $1 - \frac{1}{1 - \frac{a}{1 - \frac{1}{a + 1}}}$.

Решение:

1) $\frac{a + \frac{25}{a + 10}}{\frac{25}{a} - a} = \frac{\frac{a(a + 10) + 25}{a + 10}}{\frac{25 - a^2}{a}} = \frac{\frac{a^2 + 10a + 25}{a + 10}}{\frac{(5 - a)(5 + a)}{a}} = \frac{(a + 5)^2}{a + 10} * \frac{a}{(5 - a)(5 + a)} = \frac{a(a + 5)}{(a + 10)(5 - a)}$

2) $1 - \frac{1}{1 - \frac{a}{1 - \frac{1}{a + 1}}} = 1 - \frac{1}{1 - \frac{a}{\frac{a + 1 - 1}{a + 1}}} = 1 - \frac{1}{1 - \frac{a}{\frac{a}{a + 1}}} = 1 - \frac{1}{1 - \frac{a(a + 1)}{a}} = 1 - \frac{1}{1 - (a + 1)} = 1 - \frac{1}{1 - a - 1} = 1 + \frac{1}{a} = \frac{a + 1}{a}$

870. Решите уравнение:
1) $\frac{2x + 6}{x + 3} = 2$;
2) $\frac{x^2 - 16}{x + 4} = -8$;
3) $\frac{2x - 9}{2x + 5} + \frac{3x}{3x - 2} = 2$;
4) $\frac{5x^2 + 8}{x^2 - 16} = \frac{2x - 1}{x + 4} - \frac{3x - 1}{4 - x}$.

Решение:

1) $\frac{2x + 6}{x + 3} = 2$
x + 3 ≠ 0
x ≠ −3
$\frac{2(x + 3)}{x + 3} = 2$
2 = 2
Ответ: x − любое число, кроме x = −3

2) $\frac{x^2 - 16}{x + 4} = -8$
x + 4 ≠ 0
x ≠ −4
$\frac{(x - 4)(x + 4)}{x + 4} = -8$
x − 4 = −8
x = −8 + 4
x = −4 − не является решением, так как x ≠ −4.
Ответ: нет корней

3) $\frac{2x - 9}{2x + 5} + \frac{3x}{3x - 2} = 2$
2x + 5 ≠ 0
2x ≠ −5
x ≠ −2,5
и
3x − 2 ≠ 0
3x ≠ 2
$x ≠ \frac{2}{3}$
$\frac{2x - 9}{2x + 5} + \frac{3x}{3x - 2} = 2$ | * (2x + 5)(3x − 2)
$(2x - 9)(3x - 2) + 3x(2x + 5) = 2(2x + 5)(3x - 2)$
$6x^2 - 27x - 4x + 18 + 6x^2 + 15x = 2(6x^2 + 15x - 4x - 10)$
$12x^2 -16x + 18 = 12x^2 + 30x - 8x - 20$
$12x^2 -16x + 18 = 12x^2 + 22x - 20$
$12x^2 - 12x^2 - 16x - 22x = -20 - 18$
−38x = −38
x = 1
Ответ: x = 1

4) $\frac{5x^2 + 8}{x^2 - 16} = \frac{2x - 1}{x + 4} - \frac{3x - 1}{4 - x}$
$\frac{5x^2 + 8}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{2x - 1}{x + 4} + \frac{3x - 1}{x - 4}$
x + 4 ≠ 0
x ≠ −4
и
x − 4 ≠ 0
x ≠ 4
$\frac{5x^2 + 8}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{2x - 1}{x + 4} + \frac{3x - 1}{x - 4}$ | * (x − 4)(x + 4)
$5x^2 + 8 = (2x - 1)(x - 4) + (3x - 1)(x + 4)$
$5x^2 + 8 = 2x^2 - x - 8x + 4 + 3x^2 - x + 12x - 4$
$5x^2 + 8 = 5x^2 + 2x$
2x = 8
x = 4 − не является решением, так как x ≠ 4.
Ответ: нет корней

871. Для каждого значения a решите уравнение:
1) $\frac{x + 2}{x + a} = 0$;
2) $\frac{x - a}{x - 1} = 0$.

Решение:

1) $\frac{x + 2}{x + a} = 0$
x + a ≠ 0
a ≠ −x
при a = −x:
нет корней;
при a ≠ −x:
x + 2 = 0
x = −2
Ответ:
при a = 2: нет корней;
при a ≠ 2: x = −2.

2) $\frac{x - a}{x - 1} = 0$
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
при a = 1:
нет корней
при a = x:
$\frac{x - x}{x - 1}$
$\frac{0}{x - 1} = 0$
0 = 0
x − любое число, кроме x = 1.
при a ≠ x и a ≠ 1
x − a = 0
x = a
Ответ:
при a = 1: нет корней;
при a ≠ 1: x = a.

872. Найдите значение выражения:
1) $2^{-3} + 4^{-2}$;
2) $(\frac{3}{5})^{-2} + (-1,8)^0 - 5^{-1}$;
3) $(\frac{1}{3})^{-3} * (\frac{2}{3})^2$;
4) $2^{-3} - 6^{-1} + 3^{-2}$.

Решение:

1) $2^{-3} + 4^{-2} = \frac{1}{2^3} + \frac{1}{4^2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{2 + 1}{16} = \frac{3}{16}$

2) $(\frac{3}{5})^{-2} + (-1,8)^0 - 5^{-1} = (\frac{5}{3})^2 + 1 - \frac{1}{5} = \frac{25}{9} + \frac{4}{5} = \frac{125 + 36}{45} = \frac{161}{45} = 3\frac{26}{45}$

3) $(\frac{1}{3})^{-3} * (\frac{2}{3})^2 = 3^3 * \frac{2^2}{3^2} = 3 * 4 = 12$

4) $2^{-3} - 6^{-1} + 3^{-2} = \frac{1}{2^3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3^2} = \frac{1}{8} - \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{9 - 12 + 8}{72} = \frac{5}{72}$

873. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями:
1) $\frac{3x^{-8}y^5z^{-12}}{7a^0b^{-3}c^4}$;
2) $\frac{1,001^0m^{-15}n^{-7}p^{-4}}{2^{-3}a^{-11}b^{16}c^{-22}}$.

Решение:

1) $\frac{3x^{-8}y^5z^{-12}}{7a^0b^{-3}c^4} = \frac{3b^3y^5}{7x^8c^4z^{12}}$

2) $\frac{1,001^0m^{-15}n^{-7}p^{-4}}{2^{-3}a^{-11}b^{16}c^{-22}} = \frac{2^3a^{11}c^{22}}{b^{16}m^{15}n^7p^4} = \frac{8a^{11}c^{22}}{b^{16}m^{15}n^7p^4}$