Ответы к странице 23

84. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение $\frac{2 - b^2}{(b - 5)^6} - \frac{7 - 3b}{(b - 5)^6} + \frac{7b - 20}{(b - 5)^6}$ принимает отрицательные значения.

Решение:

$\frac{2 - b^2}{(b - 5)^6} - \frac{7 - 3b}{(b - 5)^6} + \frac{7b - 20}{(b - 5)^6} = \frac{2 - b^2 - (7 - 3b) + 7b - 20}{(b - 5)^6} = \frac{2 - b^2 - 7 + 3b + 7b - 20}{(b - 5)^6} = \frac{-b^2 + 10b - 25}{(b - 5)^6} = \frac{-(b^2 - 10b + 25)}{(b - 5)^6} = \frac{-(b - 5)^2}{(b - 5)^6} = -\frac{1}{(b - 5)^4}$
$(b - 5)^6 ≠ 0$
b − 5 ≠ 0
b ≠ 5
так как числитель больше нуля (1 > 0) и знаменатель больше нуля ($(b - 5)^4 > 0$, при b ≠ 5), то дробь $\frac{1}{(b - 5)^4}$при любом допустимом значении переменной принимает положительные значения, следовательно значение выражения $-\frac{1}{(b - 5)^4}$ принимает отрицательные значения.

85. Представьте данную дробь в виде суммы или разности целого и дробного выражений:
1) $\frac{x + 3}{x}$;
2) $\frac{a^2 - 2a - 5}{a - 2}$.

Решение:

1) $\frac{x + 3}{x} = \frac{x}{x} + \frac{3}{x} = 1 + \frac{3}{x}$

2) $\frac{a^2 - 2a - 5}{a - 2} = \frac{(a^2 - 2a) - 5}{a - 2} = \frac{a(a - 2) - 5}{a - 2} = \frac{a(a - 2)}{a - 2} - \frac{5}{a - 2} = a - \frac{5}{a - 2}$

86. Представьте данную дробь в виде суммы или разности целого и дробного выражений:
1) $\frac{4a - b}{a}$;
2) $\frac{b^2 + 7b + 3}{b + 7}$.

Решение:

1) $\frac{4a - b}{a} = \frac{4a}{a} - \frac{b}{a} = 4 - \frac{b}{a}$

2) $\frac{b^2 + 7b + 3}{b + 7} = \frac{(b^2 + 7b) + 3}{b + 7} = \frac{b(b + 7) + 3}{b + 7} = \frac{b(b + 7)}{b + 7} + \frac{3}{b + 7} = b + \frac{3}{b + 7}$

87. Известно, что $\frac{x}{y} = 4$. Найдите значение выражения:
1) $\frac{y}{x}$;
2) $\frac{2x - 3y}{y}$;
3) $\frac{x^2 + y^2}{xy}$.

Решение:

1) т.к. $\frac{x}{y} = 4$, тогда:
$\frac{y}{x} = \frac{1}{4}$

2) $\frac{2x - 3y}{y} = \frac{2x}{y} - \frac{3y}{y} = 2\frac{x}{y} - 3$
т.к. $\frac{x}{y} = 4$, тогда:
$2\frac{x}{y} - 3 = 2 * 4 - 3 = 8 - 3 = 5$

3) $\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$
т.к. $\frac{x}{y} = 4$, тогда:
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 4 + \frac{1}{4} = 4\frac{1}{4}$

88. Известно, что $\frac{a}{b} = -2$. Найдите значение выражения:
1) $\frac{a - b}{a}$;
2) $\frac{4a + 5b}{b}$;
3) $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab}$.

Решение:

1) $\frac{a - b}{a} = \frac{a}{a} - \frac{b}{a} = 1 - \frac{b}{a}$
т.к. $\frac{a}{b} = -2$, тогда:
$1 - \frac{b}{a} = 1 - (-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$

2) $\frac{4a + 5b}{b} = \frac{4a}{b} + \frac{5b}{b} = 4\frac{a}{b} + 5$
т.к. $\frac{a}{b} = -2$, тогда:
$4\frac{a}{b} + 5 = 4 * (-2) + 5 = -8 + 5 = -3$

3) $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab} = \frac{a^2}{ab} - \frac{2ab}{ab} + \frac{b^2}{ab} = \frac{a}{b} - 2 + \frac{b}{a}$
т.к. $\frac{a}{b} = -2$, тогда:
$\frac{a}{b} - 2 + \frac{b}{a} = -2 - 2 + (-\frac{1}{2}) = -4 - \frac{1}{2} = -4\frac{1}{2}$

89. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения является целым числом:
1) $\frac{n + 6}{n}$;
2) $\frac{3n^2 - 4n - 14}{n}$;
3) $\frac{4n + 7}{2n - 3}$.

Решение:

1) $\frac{n + 6}{n} = \frac{n}{n} + \frac{6}{n} = 1 + \frac{n + 6}{n}$ − будет целым числом, если 6 делится нацело на n, следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 1; 2; 3; 6.

2) $\frac{3n^2 - 4n - 14}{n} = \frac{(3n^2 - 4n) - 14}{n} = \frac{n(3n - 4) - 14}{n} = \frac{n(3n - 4)}{n} - \frac{14}{n} = 3n - 4 - \frac{14}{n}$ − будет целым числом, если 14 делится нацело на n, следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 1; 2; 7; 14.

3) $\frac{4n + 7}{2n - 3} = \frac{4n - 6 + 6 + 7}{2n - 3} = \frac{(4n - 6) + (6 + 7)}{2n - 3} = \frac{(4n - 6) + 13}{2n - 3} = \frac{2(2n - 3) + 13}{2n - 3} = \frac{2(2n - 3)}{2n - 3} + \frac{13}{2n - 3} = 2 + \frac{13}{2n - 3}$ − будет целым числом, если 13 делится нацело на 2n − 3, то есть 2n − 3 равно либо ±1, либо ±13.
Тогда:
2n − 3 = −13
2n = −13 + 3
2n = −10
n = −5 − не подходит, так как −5 не является натуральным числом −5 ∉ N.

2n − 3 = −1
2n = −1 + 3
2n = 2
n = 1

2n − 3 = 1
2n = 1 + 3
2n = 4
n = 2

2n − 3 = 13
2n = 13 + 3
2n = 16
n = 8
следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 1; 2; 8.

90. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения является целым числом:
1) $\frac{8n - 9}{n}$;
2) $\frac{n^2 + 2n - 8}{n}$;
3) $\frac{9n - 4}{3n - 5}$.

Решение:

1) $\frac{8n - 9}{n} = \frac{8n}{n} - \frac{9}{n} = 8 - \frac{9}{n}$ − будет целым числом, если 9 делится нацело на n, следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 1; 3; 9.

2) $\frac{n^2 + 2n - 8}{n} = \frac{n^2 + 2n - 8}{n} = \frac{(n^2 + 2n) - 8}{n} = \frac{n(n + 2) - 8}{n} = \frac{n(n + 2)}{n} - \frac{8}{n} = n + 2 - \frac{8}{n}$ − будет целым числом, если 8 делится нацело на n, следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 1; 2; 4; 8.

3) $\frac{9n - 4}{3n - 5} = \frac{9n - 15 + 15 + 4}{3n - 5} = \frac{(9n - 15) + (15 - 4)}{3n - 5} = \frac{3(3n - 5) + 11}{3n - 5} = \frac{3(3n - 5)}{3n - 5} + \frac{11}{3n - 5} = 3 + \frac{11}{3n - 5}$ − будет целым числом, если 11 делится нацело на 3n − 5, то есть 3n − 5 равно либо ±1, либо ±11.
Тогда:
3n − 5 = −11
3n = −11 + 5
3n = −6
n = −2 − не подходит, так как −2 не является натуральным числом −2 ∉ N.

3n − 5 = −1
3n − 5 = −1 + 5
3n = 4
$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$ − не подходит, так как $1\frac{1}{3}$ не является натуральным числом $1\frac{1}{3}$ ∉ N.

3n − 5 = 1
3n = 1 + 5
3n = 6
n = 2

3n − 5 = 11
3n = 11 + 5
3n = 16
$n = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$ − не подходит, так как $5\frac{1}{3}$ не является натуральным числом $5\frac{1}{3}$ ∉ N.
следовательно значение выражения будет целым числом при:
n = 2.

91. Из двух сел, расстояние между которыми 9 км, одновременно навстречу дргу другу выехали два велосипедиста и встретились через 20 мин. Если бы велосипедисты ехали в одном направлении, то один из них догнал бы другого через 3 ч. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Решение:

Пусть:
x (км/ч) − скорость первого велосипедиста;
y (км/ч) − скорость второго велосипедиста.
Тогда:
$\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ (ч) − ехали велосипедисты при встречном движении.

При встречном движении:

                                    V          t             S
Велосипедист №1 x км/ч $\frac{1}{3}$ ч $\frac{1}{3}x$ км
Велосипедист №2 y км/ч $\frac{1}{3}$ ч $\frac{1}{3}y$ км

При движении в одном направлении:

                                  V        t       S
Велосипедист №1 x км/ч  3 ч  3x км
Велосипедист №2 y км/ч  3 ч  3y км

Так как, и в первом и во втором случае велосипедисты до встречи сократили между собой расстояние в 9 км, составим систему уравнений:
$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}y = 9 |* 3 &\\ 3x - 3y = 9 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x + y = 27 &\\ 3x - 3y = 9 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 27 - y &\\ 3x - 3y = 9 & \end{cases} \end{equation*}$
3(27 − y) − 3y = 9
81 − 3y − 3y = 9
−6y = 9 − 81
−6y = −72
y = 12 (км/ч) − скорость второго велосипедиста.
x = 27 − y = 27 − 12 = 15 − (км/ч) − скорость первого велосипедиста.
Ответ: 15 км/ч и 12 км/ч.

92. Решите уравнение:
1) 1 − 4(x + 1) = 1,8 − 1,6x;
2) 3(0,5x − 4) + 8,5x = 10x − 11.

Решение:

1) 1 − 4(x + 1) = 1,8 − 1,6x
1 − 4x − 4 = 1,8 − 1,6x
−4x + 1,6x = 1,8 − 1 + 4
−2,4x = 4,8
x = −2

2) 3(0,5x − 4) + 8,5x = 10x − 11
1,5x − 12 + 8,5x = 10x − 11
10x − 10x = −11 + 12
0 = 1
Уравнение не имеет решений.

93. Докажите, что выражение (a + 4)(a − 8) + 4(2a + 9) при всех значениях a принимает неотрицательные значения.

Решение:

$(a + 4)(a - 8) + 4(2a + 9) = a^2 + 4a - 8a - 32 + 8a + 36 = a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2 ≥ 0$, следовательно при всех значениях a выражение принимает неотрицательные значения.