Ответы к странице 199

§24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

Упражнения

802. Первые 150 км дороги из города A в город B автомобиль проехал с некоторой скоростью, а остальные 240 км − со скоростью на 5 км/ч большей. Найдите первоначальную скорость автомобиля, если на весь путь из города A в город B он потратил 5 ч.

Решение:

Пусть x (км/ч) − первоначальная скорость автомобиля, тогда:
x + 5 (км/ч) − скорость автомобиля на остальном пути;
$\frac{150}{x}$ (ч) − ехал автомобиль первые 150 км;
$\frac{240}{x + 5}$ (ч) − ехал автомобиль оставшиеся 240 км.
Так как, на весь путь из города A в город B автомобиль потратил 5 ч, можно составить уравнение:
$\frac{150}{x} + \frac{240}{x + 5} = 5$
x ≠ 0
и
x + 5 ≠ 0
x ≠ −5
$\frac{150}{x} + \frac{240}{x + 5} - 5 = 0$ | * x(x + 5)
150(x + 5) + 240x − 5x(x + 5) = 0
$150x + 750 + 240x - 5x^2 - 25x = 0$
$-5x^2 + 365x + 750$ | : (−5)
$x^2 - 73 - 150 = 0$
$D = b^2 - 4ac =(-73)^2 - 4 * 1 * (-150) = 5329 + 600 = 5929 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{73 + \sqrt{5929}}{2 * 1} = \frac{73 + 77}{2} = \frac{150}{2} = 75$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{73 - \sqrt{5929}}{2 * 1} = \frac{73 - 77}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ − не может быть решением, так как скорость не может быть отрицательной, тогда:
x = 75 (км/ч) − первоначальная скорость автомобиля.
Ответ: 75 км/ч

803. Первый мотоциклист проезжает 90 км на 18 мин быстрее второго, поскольку его скорость на 10 км/ч больше скорости второго мотоциклиста. Найдите скорость каждого мотоциклиста.

Решение:

Пусть x (км/ч) − скорость первого мотоциклиста, тогда:
x − 10 (км/ч) − скорость второго мотоциклиста;
$\frac{90}{x}$ (ч) − время, за которое 90 км проезжает первый мотоциклист;
$\frac{90}{x - 10}$ (ч) − время, за которое 90 км проезжает второй мотоциклист;
18 мин = $\frac{18}{60}$ ч = $\frac{3}{10}$ ч.
Так как, первый мотоциклист проезжает 90 км на 18 мин быстрее второго, можно составить уравнение:
$\frac{90}{x} - \frac{90}{x - 10} = \frac{3}{10}$
x ≠ 0
и
x − 10 ≠ 0
x ≠ 10
$\frac{90}{x - 10} - \frac{90}{x} - \frac{3}{10} = 0$ | * 10x(x − 10)
$900x - 900(x - 10) - 3x(x - 10) = 0$
$900x - 900x + 9000 - 3x^2 + 30x = 0$
$-3x^2 + 30x + 9000 = 0$ | : (−3)
$x^2 - 10x - 3000 = 0$
$D = b^2 - 4ac =(-10)^2 - 4 * 1 * (-3000) = 100 + 12000 = 12100 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{12100}}{2 * 1} = \frac{10 + 110}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{12100}}{2 * 1} = \frac{10 - 110}{2} = \frac{-100}{2} = -50$ − не может быть решением, так как скорость не может быть отрицательной, тогда:
x = 60 (км/ч) − скорость первого мотоциклиста, тогда:
x − 10 = 60 − 10 = 50 (км/ч) − скорость второго мотоциклиста.
Ответ: 60 км/ч и 50 км/ч