Ответы к странице 56
206. Составьте уравнение, равносильное данному:
1) 2x − 3 = 4;
2) |x| = 1;
3) x + 6 = x − 2.
Решение:
1) 2x − 3 = 4
Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
Равносильное уравнение:
(2x − 3) + 5 = 4 + 5
2x − 3 + 5 = 9
2x + 2 = 9
Проверка:
2x − 3 = 4
2x = 4 + 3
2x = 7
x = 3,5
2x + 2 = 9
2x = 9 − 2
2x = 7
x = 3,5
2) |x| = 1
Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.
|x| : 5 = 1 : 5
|x|5=15|x|5=15
Проверка:
|x| = 1
x = ±1
|x|5=15|∗5|x|5=15|∗5
|x| = 1
x = ±1
3) x + 6 = x − 2
Если какое−либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
x = x − 2 − 6
x = x − 8
Проверка:
x + 6 = x − 2
x − x = −2 − 6
0 ≠ −8 − нет корней
x = x − 8
x − x = −8
0 ≠ −8 − нет корней
207. Решите уравнение:
1) x−6x−4=0x−6x−4=0;
2) x−2x2−4=0x−2x2−4=0;
3) x2−4x−2=0x2−4x−2=0;
4) x−2x−2=1x−2x−2=1;
5) 2x2+18x2+9=22x2+18x2+9=2;
6) xx−5+2x−9x−5=0xx−5+2x−9x−5=0;
7) 5x−7x+1−x−5x+1=05x−7x+1−x−5x+1=0;
8) 2x+16x+3−1−3xx+3=02x+16x+3−1−3xx+3=0;
9) 2x−1+1x+1=02x−1+1x+1=0;
10) 3x−2=4x+33x−2=4x+3;
11) xx−6=2xx−6=2;
12) x−4x−3=2x+12x−1x−4x−3=2x+12x−1;
13) x+8x−6x−2=0x+8x−6x−2=0;
14) 2xx−5−x2+15xx2−25=02xx−5−x2+15xx2−25=0;
15) 3−2x2−5xx2−3x=03−2x2−5xx2−3x=0.
Решение:
1) x−6x−4=0x−6x−4=0
{x−6=0x−4≠0
{x=6x≠4
Ответ: x = 6
2) x−2x2−4=0
{x−2=0x2−4≠0
{x=2x2≠4
{x=2x≠±2
Ответ: нет корней
3) x2−4x−2=0
{x2−4=0x−2≠0
{x2=4x≠2
{x=±2x≠2
Ответ: x = −2
4) x−2x−2=1
1 = 1
{1=1x−2≠0
{1=1x≠2
Ответ: x − любое число, кроме 2.
5) 2x2+18x2+9=2
2(x2+9)x2+9=2
2 = 2
{2=2x2+9≠0
{2=2x2≠−9
Ответ: x − любое число.
6) xx−5+2x−9x−5=0
x+2x−9x−5=0
3x−9x−5=0
{3x−9=0x−5≠0
{3x=9x≠5
{x=3x≠5
Ответ: x = 3
7) 5x−7x+1−x−5x+1=0
5x−7−(x−5)x+1=0
5x−7−x+5x+1=0
4x−2x+1=0
{4x−2=0x+1≠0
{4x=2x≠−1
{x=0,5x≠−1
Ответ: x = 0,5
8) 2x+16x+3−1−3xx+3=0
2x+16−(1−3x)x+3=0
2x+16−1+3xx+3=0
5x+15x+3=0
5(x+3)x+3=0
5 ≠ 0
Ответ: нет корней
9) 2x−1+1x+1=0
2(x+1)+x−1(x−1)(x+1)=0
2x+2+x−1x2−1=0
3x+1x2−1=0
{3x+1=0x2−1≠0
{3x=−1x2≠1
{x=−13x≠±1
Ответ: x=−13
10) 3x−2=4x+3
3x−2−4x+3=0
3(x+3)−4(x−2)(x−2)(x+3)=0
3x+9−4x+8(x−2)(x+3)=0
17−x(x−2)(x+3)=0
{x−2≠0x+3≠017−x=0
{x≠2x≠−3x=17
Ответ: x = 17
11) xx−6=2
xx−6−2=0
x−2(x−6)x−6=0
x−2x+12x−6=0
12−xx−6=0
{12−x=0x−6≠0
{x=12x≠6
Ответ: x = 12
12) x−4x−3=2x+12x−1
x−4x−3−2x+12x−1=0
(x−4)(2x−1)−(2x+1)(x−3)(x−3)(2x−1)=0
2x2−8x−x+4−(2x2+x−6x−3)(x−3)(2x−1)=0
2x2−9x+4−(2x2−5x−3)(x−3)(2x−1)=0
2x2−9x+4−2x2+5x+3(x−3)(2x−1)=0
7−4x(x−3)(2x−1)=0
{x−3≠02x−1≠07−4x=0
{x≠32x≠14x=7
{x≠3x≠12x=74=134
Ответ: x=134
13) x+8x−6x−2=0
(x+8)(x−2)−6xx(x−2)=0
x2+8x−2x−16−6xx(x−2)=0
x2−16x(x−2)=0
{x≠0x−2≠0x2−16=0
{x≠0x≠2x2=16
{x≠0x≠2x=±4
Ответ: x = ±4
14) 2xx−5−x2+15xx2−25=0
2xx−5−x2+15x(x−5)(x+5)=0
2x(x+5)−(x2+15x)(x−5)(x+5)=0
2x2+10x−x2−15x(x−5)(x+5)=0
x2−5x(x−5)(x+5)=0
x(x−5)(x−5)(x+5)=0
xx+5=0
{x=0x+5≠0
{x=0x≠−5
Ответ: x = 0
15) 3−2x2−5xx2−3x=0
3(x2−3x)−(2x2−5x)x2−3x=0
3x2−9x−2x2+5xx2−3x=0
x2−4xx2−3x=0
x(x−4)x(x−3)=0
x−4x−3=0
{x−4=0x−3≠0
{x=4x≠3
Ответ: x = 4
208. Решите уравнение:
1) x2−1x2−2x+1=0;
2) x2−2x+1x2−1=0;
3) x+7x−7−2x−3x−7=0;
4) 10−3xx+8+5x+6x+8=0;
5) x−6x−2−x−8x=0;
6) 2x−4x−3x+1x+x+5x=0;
7) xx+6−36x2+6x=0;
8) 2x2+3x+12x+1−x=1;
9) 4x−1−4x+1=1.
Решение:
1) x2−1x2−2x+1=0
(x−1)(x+1)(x−1)2=0
x+1x−1=0
{x+1=0x−1≠0
{x=−1x≠1
Ответ: x = −1
2) x2−2x+1x2−1=0
(x−1)2(x−1)(x+1)=0
x−1x+1=0
{x−1=0x2−1≠0
{x=1x2≠1
{x=1x≠±1
Ответ: нет корней
3) x+7x−7−2x−3x−7=0
x+7−(2x−3)x−7=0
x+7−2x+3x−7=0
10−xx−7=0
{10−x=0x−7≠0
{x=10x≠7
Ответ: x = 10
4) 10−3xx+8+5x+6x+8=0
10−3x+5x+6x+8=0
2x+16x+8=0
2(x+8)x+8=0
2 ≠ 0
Ответ: нет корней
5) x−6x−2−x−8x=0
x(x−6)−(x−8)(x−2)x(x−2)=0
x2−6x−(x2−8x−2x+16)x(x−2)=0
x2−6x−x2+8x+2x−16x(x−2)=0
4x−16x(x−2)=0
{4x−16=0x−2≠0x≠0
{4x=16x≠2x≠0
{x=4x≠2x≠0
Ответ: x = 4
6) 2x−4x−3x+1x+x+5x=0
2x−4−(3x+1)+x+5x=0
2x−4−3x−1+x+5x=0
0x=0
{0=0x≠0
Ответ: x − любое число, кроме 0.
7) xx+6−36x2+6x=0
xx+6−36x(x+6)=0
x2−36x(x+6)=0
{x2−36=0x≠0x+6≠0
{x2=36x≠0x≠−6
{x=±6x≠0x≠−6
Ответ: x = 6
8) 2x2+3x+12x+1−x=1
2x2+3x+1−x(2x+1)2x+1=1
2x2+3x+1−2x2−x2x+1=1
2x+12x+1=1
1 = 1
{1=12x+1≠0
{1=12x≠−1
{1=1x≠−0,5
Ответ: x − любое число, кроме −0,5.
9) 4x−1−4x+1=1
4x−1−4x+1−1=0
4(x+1)−4(x−1)−(x−1)(x+1)(x−1)(x+1)=0
4x+4−4x+4−(x2−1)(x−1)(x+1)=0
8−x2+1(x−1)(x+1)=0
9−x2x2−1=0
{9−x2=0x2−1≠0
{x2=9x2≠1
{x=±3x≠±1
Ответ: x = ±3
209. Какое число нужно вычесть из числителя и знаменателя дроби 1519, чтобы получить дробь, равную 23?
Решение:
15−x19−x=23
15−x19−x−23=0
3(15−x)−2(19−x)3(19−x)=0
45−3x−38+2x3(19−x)=0
7−x3(19−x)=0
{7−x=03(19−x)≠0
{x=719−x≠0
{x=7x≠19
Ответ: x = 7
210. Какое число нужно прибавить к числителю и знаменателю дроби 2532, чтобы получить дробь, равную 56?
Решение:
25+x32+x=56
25+x32+x−56=0
6(25+x)−5(32+x)6(32+x)=0
150+6x−160−5x6(32+x)=0
x−106(32+x)=0
{x−10=06(32+x)≠0
{x=1032+x≠0
{x=10x≠−32
Ответ: x = 10