Ответы к странице 56

206. Составьте уравнение, равносильное данному:
1) 2x − 3 = 4;
2) |x| = 1;
3) x + 6 = x − 2.

Решение:

1) 2x − 3 = 4
Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
Равносильное уравнение:
(2x − 3) + 5 = 4 + 5
2x − 3 + 5 = 9
2x + 2 = 9

Проверка:
2x − 3 = 4
2x = 4 + 3
2x = 7
x = 3,5

2x + 2 = 9
2x = 9 − 2
2x = 7
x = 3,5

2) |x| = 1
Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.
|x| : 5 = 1 : 5
|x|5=15|x|5=15

Проверка:
|x| = 1
x = ±1

|x|5=15|5|x|5=15|5
|x| = 1
x = ±1

3) x + 6 = x − 2
Если какое−либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
x = x − 2 − 6
x = x − 8

Проверка:
x + 6 = x − 2
x − x = −2 − 6
0 ≠ −8 − нет корней

x = x − 8
x − x = −8
0 ≠ −8 − нет корней

207. Решите уравнение:
1) x6x4=0x6x4=0;
2) x2x24=0x2x24=0;
3) x24x2=0x24x2=0;
4) x2x2=1x2x2=1;
5) 2x2+18x2+9=22x2+18x2+9=2;
6) xx5+2x9x5=0xx5+2x9x5=0;
7) 5x7x+1x5x+1=05x7x+1x5x+1=0;
8) 2x+16x+313xx+3=02x+16x+313xx+3=0;
9) 2x1+1x+1=02x1+1x+1=0;
10) 3x2=4x+33x2=4x+3;
11) xx6=2xx6=2;
12) x4x3=2x+12x1x4x3=2x+12x1;
13) x+8x6x2=0x+8x6x2=0;
14) 2xx5x2+15xx225=02xx5x2+15xx225=0;
15) 32x25xx23x=032x25xx23x=0.

Решение:

1) x6x4=0x6x4=0
{x6=0x40
{x=6x4
Ответ: x = 6

2) x2x24=0
{x2=0x240
{x=2x24
{x=2x±2
Ответ: нет корней

3) x24x2=0
{x24=0x20
{x2=4x2
{x=±2x2
Ответ: x = −2

4) x2x2=1
1 = 1
{1=1x20
{1=1x2
Ответ: x − любое число, кроме 2.

5) 2x2+18x2+9=2
2(x2+9)x2+9=2
2 = 2
{2=2x2+90
{2=2x29
Ответ: x − любое число.

6) xx5+2x9x5=0
x+2x9x5=0
3x9x5=0
{3x9=0x50
{3x=9x5
{x=3x5
Ответ: x = 3

7) 5x7x+1x5x+1=0
5x7(x5)x+1=0
5x7x+5x+1=0
4x2x+1=0
{4x2=0x+10
{4x=2x1
{x=0,5x1
Ответ: x = 0,5

8) 2x+16x+313xx+3=0
2x+16(13x)x+3=0
2x+161+3xx+3=0
5x+15x+3=0
5(x+3)x+3=0
5 ≠ 0
Ответ: нет корней

9) 2x1+1x+1=0
2(x+1)+x1(x1)(x+1)=0
2x+2+x1x21=0
3x+1x21=0
{3x+1=0x210
{3x=1x21
{x=13x±1
Ответ: x=13

10) 3x2=4x+3
3x24x+3=0
3(x+3)4(x2)(x2)(x+3)=0
3x+94x+8(x2)(x+3)=0
17x(x2)(x+3)=0
{x20x+3017x=0
{x2x3x=17
Ответ: x = 17

11) xx6=2
xx62=0
x2(x6)x6=0
x2x+12x6=0
12xx6=0
{12x=0x60
{x=12x6
Ответ: x = 12

12) x4x3=2x+12x1
x4x32x+12x1=0
(x4)(2x1)(2x+1)(x3)(x3)(2x1)=0
2x28xx+4(2x2+x6x3)(x3)(2x1)=0
2x29x+4(2x25x3)(x3)(2x1)=0
2x29x+42x2+5x+3(x3)(2x1)=0
74x(x3)(2x1)=0
{x302x1074x=0
{x32x14x=7
{x3x12x=74=134
Ответ: x=134

13) x+8x6x2=0
(x+8)(x2)6xx(x2)=0
x2+8x2x166xx(x2)=0
x216x(x2)=0
{x0x20x216=0
{x0x2x2=16
{x0x2x=±4
Ответ: x = ±4

14) 2xx5x2+15xx225=0
2xx5x2+15x(x5)(x+5)=0
2x(x+5)(x2+15x)(x5)(x+5)=0
2x2+10xx215x(x5)(x+5)=0
x25x(x5)(x+5)=0
x(x5)(x5)(x+5)=0
xx+5=0
{x=0x+50
{x=0x5
Ответ: x = 0

15) 32x25xx23x=0
3(x23x)(2x25x)x23x=0
3x29x2x2+5xx23x=0
x24xx23x=0
x(x4)x(x3)=0
x4x3=0
{x4=0x30
{x=4x3
Ответ: x = 4

208. Решите уравнение:
1) x21x22x+1=0;
2) x22x+1x21=0;
3) x+7x72x3x7=0;
4) 103xx+8+5x+6x+8=0;
5) x6x2x8x=0;
6) 2x4x3x+1x+x+5x=0;
7) xx+636x2+6x=0;
8) 2x2+3x+12x+1x=1;
9) 4x14x+1=1.

Решение:

1) x21x22x+1=0
(x1)(x+1)(x1)2=0
x+1x1=0
{x+1=0x10
{x=1x1
Ответ: x = −1

2) x22x+1x21=0
(x1)2(x1)(x+1)=0
x1x+1=0
{x1=0x210
{x=1x21
{x=1x±1
Ответ: нет корней

3) x+7x72x3x7=0
x+7(2x3)x7=0
x+72x+3x7=0
10xx7=0
{10x=0x70
{x=10x7
Ответ: x = 10

4) 103xx+8+5x+6x+8=0
103x+5x+6x+8=0
2x+16x+8=0
2(x+8)x+8=0
2 ≠ 0
Ответ: нет корней

5) x6x2x8x=0
x(x6)(x8)(x2)x(x2)=0
x26x(x28x2x+16)x(x2)=0
x26xx2+8x+2x16x(x2)=0
4x16x(x2)=0
{4x16=0x20x0
{4x=16x2x0
{x=4x2x0
Ответ: x = 4

6) 2x4x3x+1x+x+5x=0
2x4(3x+1)+x+5x=0
2x43x1+x+5x=0
0x=0
{0=0x0
Ответ: x − любое число, кроме 0.

7) xx+636x2+6x=0
xx+636x(x+6)=0
x236x(x+6)=0
{x236=0x0x+60
{x2=36x0x6
{x=±6x0x6
Ответ: x = 6

8) 2x2+3x+12x+1x=1
2x2+3x+1x(2x+1)2x+1=1
2x2+3x+12x2x2x+1=1
2x+12x+1=1
1 = 1
{1=12x+10
{1=12x1
{1=1x0,5
Ответ: x − любое число, кроме −0,5.

9) 4x14x+1=1
4x14x+11=0
4(x+1)4(x1)(x1)(x+1)(x1)(x+1)=0
4x+44x+4(x21)(x1)(x+1)=0
8x2+1(x1)(x+1)=0
9x2x21=0
{9x2=0x210
{x2=9x21
{x=±3x±1
Ответ: x = ±3

209. Какое число нужно вычесть из числителя и знаменателя дроби 1519, чтобы получить дробь, равную 23?

Решение:

15x19x=23
15x19x23=0
3(15x)2(19x)3(19x)=0
453x38+2x3(19x)=0
7x3(19x)=0
{7x=03(19x)0
{x=719x0
{x=7x19
Ответ: x = 7

210. Какое число нужно прибавить к числителю и знаменателю дроби 2532, чтобы получить дробь, равную 56?

Решение:

25+x32+x=56
25+x32+x56=0
6(25+x)5(32+x)6(32+x)=0
150+6x1605x6(32+x)=0
x106(32+x)=0
{x10=06(32+x)0
{x=1032+x0
{x=10x32
Ответ: x = 10