Ответы к странице 179

737. Сумма квадратов корней уравнения $3x^2 + ax - 7 = 0$ равна $\frac{46}{9}$. Найдите значение a.

Решение:

$3x^2 + ax - 7 = 0$
$x^2_1 + x^2_2 = \frac{46}{9}$
$x_1 + x_2 = -\frac{a}{3}$
$x_1x_2 = -\frac{7}{3}$
$x^2_1 + x^2_2 = x^2_1 + x^2_2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = (x^2_1 + 2x_1x_2 + x^2_2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = \frac{46}{9}$
$(-\frac{a}{3})^2 - 2 * (-\frac{7}{3}) = \frac{46}{9}$
$\frac{a^2}{9} + \frac{14}{3} = \frac{46}{9}$ |* 9
$a^2 + 42 = 46$
$a^2 = 46 - 42$
$a^2 = 4$
a = ±2
Ответ: a = ±2

738. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - ax + 8 = 0$ удовлетворяют условию $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{5}{2}$. Найдите значение a.

Решение:

$x^2 - ax + 8 = 0$
$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{5}{2}$
$x_1 + x_2 = -(-a) = a$
$x_1x_2 = 8$
$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x^2_1 + x^2_2}{x_1x_2} = \frac{x^2_1 + x^2_2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(x^2_1 + 2x_1x_2 + x^2_2) - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{5}{2}$
$\frac{a^2 - 2 * 8}{8} = \frac{5}{2}$
$\frac{a^2 - 16}{8} = \frac{5}{2}$ |* 8
$a^2 - 16 = 5 * 4$
$a^2 - 16 = 20$
$a^2 = 20 + 16$
$a^2 = 36$
a = ±6
Ответ: a = ±6

739. Верно ли утверждение:
1) уравнение $7x^2 + 4x - a^2 - 1 = 0$ имеет корни разных знаков при любом значении a;
2) если уравнение $x^2 + 6x + a^2 + 4 = 0$ имеет корни, то независимо от значения a они оба отрицательны?

Решение:

1) $7x^2 + 4x - a^2 - 1 = 0$
$x_1x_2 = \frac{-a^2 - 1}{7} = -\frac{a^2 + 1}{7}$
$a^2 + 1 > 0$ при любом a, следовательно $\frac{a^2 + 1}{7} > 0$ при любом a, значит $-\frac{a^2 + 1}{7} < 0$ при любом a.
Отсюда $x_1x_2 < 0$, следовательно при любом значении a, уравнение имеет корни разных знаков.
Ответ: верно

2) $x^2 + 6x + a^2 + 4 = 0$
$x_1x_2 = a^2 + 4$
$a^2 ≥ 0$ при любом a, значит $a^2 + 4 > 0$ при любом a.
т.к. $x_1x_2 > 0$, значит корни уравнения имеют одинаковые знаки.
$x_1 + x_2 = -6 < 0$, значит оба корня отрицательны.
Ответ: верно

740. Найдите все целые значения b, при которых имеет целые корни уравнение:
1) $x^2 + bx + 6 = 0$;
2) $x^2 + bx - 12 = 0$.

Решение:

1) $x^2 + bx + 6 = 0$
$x_1x_2 = 6$
6 = 1 * 6
6 = 2 * 3
6 = −1 * (−6)
6 = −2 * (−3)
$x_1 + x_2 = -b$
$b = -(x_1 + x_2)$
$b_1 = -(x_1 + x_2) = -(1 + 6) = -7$
$b_2 = -(x_1 + x_2) = -(2 + 3) = -5$
$b_3 = -(x_1 + x_2) = -(-1 + (-6)) = -(-7) = 7$
$b_4 = -(x_1 + x_2) = -(-2 + (-3)) = -(-5) = 5$
Ответ: при b = −7; −5; 5; 7.

2) $x^2 + bx - 12 = 0$
$x_1x_2 = -12$
12 = 1 * (−12)
12 = 2 * (−6)
12 = 3 * (−4)
12 = 4 * (−3)
12 = 6 * (−2)
12 = −1 * 12
12 = −2 * 6
12 = −3 * 4
12 = −4 * 3
12 = −6 * 2
12 = −12 * 1
$x_1 + x_2 = -b$
$b = -(x_1 + x_2)$
$b_1 = -(x_1 + x_2) = -(1 + (-12)) = 11$
$b_2 = -(x_1 + x_2) = -(2 + (-6)) = 4$
$b_3 = -(x_1 + x_2) = -(3 + (-4)) = 1$
$b_4 = -(x_1 + x_2) = -(4 + (-3)) = -1$
$b_5 = -(x_1 + x_2) = -(6 + (-2)) = -4$
$b_6 = -(x_1 + x_2) = -(12 + (-1)) = -11$
Ответ: при b = −11; −4; −1; 1; 4; 11.

741. Найдите все целые значения b, при которых имеет целые корни уравнение:
1) $x^2 + bx + 8 = 0$;
2) $x^2 + bx - 18 = 0$.

Решение:

1) $x^2 + bx + 8 = 0$
$x_1x_2 = 8$
8 = 1 * 8
8 = 2 * 4
8 = −1 * (−8)
8 = −2 * (−4)
$x_1 + x_2 = -b$
$b = -(x_1 + x_2)$
$b_1 = -(x_1 + x_2) = -(1 + 8) = -9$
$b_2 = -(x_1 + x_2) = -(2 + 4) = -6$
$b_3 = -(x_1 + x_2) = -(-1 + (-8)) = -(-9) = 9$
$b_4 = -(x_1 + x_2) = -(-2 + (-4)) = -(-6) = 6$
Ответ: при b = −9; −6; 6; 9.

2) $x^2 + bx - 18 = 0$
$x_1x_2 = -18$
−18 = 1 * (−18)
−18 = 2 * (−9)
−18 = 3 * (−6)
−18 = 6 * (−3)
−18 = 9 * (−2)
−18 = 18 * (−1)
−18 = −2 * 9
−18 = −3 * 6
−18 = −6 * 3
−18 = −9 * 2
−18 = −18 * 1
$x_1 + x_2 = -b$
$b = -(x_1 + x_2)$
$b_1 = -(x_1 + x_2) = -(1 + (-18)) = -(-17) = 17$
$b_2 = -(x_1 + x_2) = -(2 + (-9)) = -(-7) = 7$
$b_3 = -(x_1 + x_2) = -(3 + (-6)) = = -(-3) = 3$
$b_4 = -(x_1 + x_2) = -(6 + (-3)) = = -3$
$b_5 = -(x_1 + x_2) = -(9 + (-2)) = -7$
$b_6 = -(x_1 + x_2) = -(18 + (-1)) = -17$
Ответ: при b = −17; −7; −3; 3; 7; 17.

742. Корни уравнения $x^2 + bx + c = 0$ равны его коэффициентам b и c. Найдите b и c.

Решение:

$x^2 + bx + c = 0$
$x_1 = b$
$x_2 = c$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} b + c = -b &\\ bc = c & \end{cases} \end{equation*}$
bc = c
bc − c = 0
c(b − 1) = 0
c = 0
или
b − 1 = 0
b = 1
Тогда:
$\begin{equation*} \begin{cases} 2b + c = 0 &\\ c = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 2b + 0 = 0 &\\ c = 0 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} b = 0 &\\ c = 0 & \end{cases} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{cases} 2b + c = 0 &\\ b = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} c = -2b &\\ b = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} c = -2 &\\ b = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: b = c = 0; b = 1 и c = −2.

743. При каком значении a сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 4x + a = 0$ равна:
1) 12;
2) 6?

Решение:

1) $x^2 - 4x + a = 0$
$x^2_1 + x^2_2 = 12$
$x^2_1 + x^2_2 = x^2_1 + x^2_2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 12$
$x_1x_2 = a$
$x_1 + x_2 = 4$
подставим данные выражения в условие:
$4^2 - 2a = 12$
16 − 2a = 12
−2a = −4
2a = 4
a = 2
проверим, имеет ли при этом a уравнение корни:
$D = (-4)^2 - 4 * 1 * 2 = 8 > 0$ имеет 2 корня
Ответ: при a = 2

2) $x^2 - 4x + a = 0$
$x^2_1 + x^2_2 = 6$
$x^2_1 + x^2_2 = x^2_1 + x^2_2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2) - 2x_1x_2 = 6$
$x_1x_2 = a$
$x_1 + x_2 = 4$
подставим данные выражения в условие:
$4^2 - 2a = 6$
16 − 2a = 6
2a = 10
a = 5
проверим, имеет ли при этом a уравнение корни:
$D = (-4)^2 - 4 * 1 * 5 = -4 < 0$ − корней нет
Ответ: таких значений a не существует.

744. При каком значении a сумма квадратов корней уравнения $x^2 + (a - 1)x - 2a = 0$ равна 9?

Решение:

$x^2 + (a - 1)x - 2a = 0$
$x^2_1 + x^2_2 = 9$
$x^2_1 + x^2_2 = x^2_1 + x^2_2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9$
$x_1x_2 = -2a$
$x_1 + x_2 = -(a - 1)$
тогда:
$(-(a - 1))^2 - 2 * (-2a) = 9$
$a^2 - 2a + 1 + 4a = 9$
$a^2 + 2a - 8 = 0$
по теореме Виета:
$a_1 = 2$
$a_2 = -4$
если a = 2, то:
$x^2 + (2 - 1)x - 2 * 2 = 0$
$x^2 + x - 4 = 0$
проверим, имеет ли при этом a уравнение корни:
$D = 1^2 - 4 * 1 * (-4) = 17 > 0$ − имеет 2 корня
если a = −4, то:
$x^2 + (-4 - 1)x - 2 * (-4) = 0$
$x^2 - 5x + 8 = 0$
проверим, имеет ли при этом a уравнение корни:
$D = (-5)^2 - 4 * 1 * 8 = 25 - 32 = -8 < 0$ − корней нет.
Ответ: при a = 2

745. Сократите дробь:
1) $\frac{4a - 16}{a^2 - 16}$;
2) $\frac{12b^3 - 8b^2}{2 - 3b}$;
3) $\frac{c^2 + 10c + 25}{5c + 25}$;
4) $\frac{4 - m^2}{m^2 - 4m + 4}$;
5) $\frac{n^3 - n^5}{n^3 - n}$;
6) $\frac{2 - 2x^2}{4x^2 - 8x + 4}$.

Решение:

1) $\frac{4a - 16}{a^2 - 16} = \frac{4(a - 4)}{(a - 4)(a + 4)} = \frac{4}{a + 4}$

2) $\frac{12b^3 - 8b^2}{2 - 3b} = \frac{4b^2(3b - 2)}{2 - 3b} = -\frac{4b^2(3b - 2)}{3b - 2} = -4b^2$

3) $\frac{c^2 + 10c + 25}{5c + 25} = \frac{(c + 5)^2}{5(c + 5)} = \frac{c + 5}{5}$

4) $\frac{4 - m^2}{m^2 - 4m + 4} = \frac{(2 - m)(2 + m)}{(m - 2)^2} = \frac{(2 - m)(2 + m)}{(2 - m)^2} = \frac{2 + m}{2 - m}$

5) $\frac{n^3 - n^5}{n^3 - n} = \frac{n^3(1 - n^2)}{n(n^2 - 1)} = \frac{n^2(1 - n^2)}{n^2 - 1} = -\frac{n^2(1 - n^2)}{1- n^2} = -n^2$

6) $\frac{2 - 2x^2}{4x^2 - 8x + 4} = \frac{2(1 - x^2)}{4(x^2 - 2x + 1)} = \frac{2(1 - x)(1 + x)}{4(x - 1)^2} = \frac{2(1 - x)(1 + x)}{4(1 - x)^2} = \frac{1 + x}{2(1 - x)}$

746. В саду посадили рядами 48 деревьев с одинаковым количество деревьев в каждом ряду. Рядов оказалось на 8 меньше, чем деревьев в каждом из них. Сколько деревьев посадили в каждом ряду и сколько было рядов?

Решение:

Пусть x (деревьев) − было в каждом ряду, тогда:
x − 8 (рядов) − посадили всего.
Так как, всего в саду посадили 48 деревьев, можно составить уравнение:
x(x − 8) = 48
$x^2 - 8x - 48 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -(-8) &\\ x_1x_2 = -48 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 8 &\\ x_1x_2 = -48 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = 12 &\\ x_2 = -4 & \end{cases} \end{equation*}$
$x = -4$ − не удовлетворяет условию задачи, так как количество деревьев не может быть отрицательным, тогда:
x = 12 (деревьев) − было в каждом ряду, тогда:
12 − 8 = 4 (ряда) − посадили всего.
Ответ: 12 деревьев, 4 ряда.

747. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и y = x + 2. Начертите графики данных функций и отметьте найденные точки.

Решение:

$y = x^2$ и y = x + 2
$x^2 = x + 2$
$x^2 - x - 2 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -(-1) &\\ x_1x_2 = -2 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 1 &\\ x_1x_2 = -2 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = 2 &\\ x_2 = -1 & \end{cases} \end{equation*}$
$y_1 = x_1 + 2 = 2 + 2 = 4$
$y_2 = x_2 + 2 = -1 + 2 = 1$
Тогда:
$(x_1; y_1) = (2; 4)$ и $(x_2; y_2) = (-1; 1)$ − точки пересечения графиков.

$y = x^2$

y = x + 2

748. В саду 60% деревьев составляют вишни и сливы, из них 30% составляют сливы. Какой процент всех деревьев сада составляют сливы?

Решение:

30% − 0,3
60% − 0,6
0,3 * 0,6 = 0,18 или 18% − всех деревьев сада составляют сливы.
Ответ: 18%