Ответы к странице 46
186. Упростите выражение:
1) $\frac{a - \frac{a^2}{a + 1}}{a - \frac{a}{a + 1}}$;
2) $\frac{a - \frac{6a - 9}{a}}{1 - \frac{3}{a}}$;
3) $\frac{1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{a}}}$;
4) $\frac{\frac{2a - b}{b} + 1}{\frac{2a + b}{b} - 1} + \frac{3 - \frac{b}{a}}{\frac{3a}{b} - 1}$.
Решение:
1) $\frac{a - \frac{a^2}{a + 1}}{a - \frac{a}{a + 1}} = \frac{\frac{a(a + 1) - a^2}{a + 1}}{\frac{a(a + 1) - a}{a + 1}} = \frac{\frac{a^2 + a - a^2}{a + 1}}{\frac{a^2 + a - a}{a + 1}} = \frac{\frac{a}{a + 1}}{\frac{a^2}{a + 1}} = \frac{a}{a + 1} * \frac{a + 1}{a^2} = \frac{1}{1} * \frac{1}{a} = \frac{1}{a}$
2) $\frac{a - \frac{6a - 9}{a}}{1 - \frac{3}{a}} = \frac{\frac{a^2 - (6a - 9)}{a}}{\frac{a - 3}{a}} = \frac{\frac{a^2 - 6a + 9}{a}}{\frac{a - 3}{a}} = \frac{\frac{(a - 3)^2}{a}}{\frac{a - 3}{a}} = \frac{(a - 3)^2}{a} * \frac{a}{a - 3} = \frac{a - 3}{1} * \frac{1}{1} = a - 3$
3) $\frac{1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{a}}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{a + 1}{a}}} = \frac{1}{1 - \frac{a}{a + 1}} = \frac{1}{\frac{a + 1 - a}{a + 1}} = \frac{1}{\frac{1}{a + 1}} = a + 1$
4) $\frac{\frac{2a - b}{b} + 1}{\frac{2a + b}{b} - 1} + \frac{3 - \frac{b}{a}}{\frac{3a}{b} - 1} = \frac{\frac{2a - b + b}{b}}{\frac{2a + b - b}{b}} + \frac{\frac{3a - b}{a}}{\frac{3a - b}{b}} = \frac{\frac{2a}{b}}{\frac{2a}{b}} + \frac{\frac{3a - b}{a}}{\frac{3a - b}{b}} = 1 +\frac{3a - b}{a} * \frac{b}{3a - b} = 1 + \frac{b}{a} = \frac{a + b}{a}$
187. Упростите выражение:
1) $\frac{\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{a + b} - \frac{a - b}{a}}$;
2) $\frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{a + 1}}}$.
Решение:
1) $\frac{\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{a + b} - \frac{a - b}{a}} = \frac{\frac{a(a - b) + b(a + b)}{a(a + b)}}{\frac{a^2 - (a - b)(a + b)}{a(a + b)}} = \frac{a^2 - ab + ab + b^2}{a^2 - (a^2 - b^2)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - a^2 + b^2} = \frac{a^2 + b^2}{b^2}$
2) $\frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{a + 1}}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{a + 1 - 1}{a + 1}}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{a}{a + 1}}} = \frac{1}{1 - \frac{a + 1}{a}} = \frac{1}{\frac{a - (a + 1)}{a}} = \frac{1}{\frac{a - a - 1}{a}} = \frac{1}{\frac{-1}{a}} = \frac{a}{-1} = -a$
188. Упростите выражение:
1) $(\frac{a^2}{b^3 - ab^2} + \frac{a - b}{b^2} - \frac{1}{b}) : (\frac{a + b}{b - a} - \frac{b - a}{a + b} + \frac{6a^2}{a^2 - b^2})$;
2) $(\frac{a + 2}{4a^3 - 4a^2 + a} - \frac{2 - a}{1 - 8a^3} * \frac{4a^2 + 2a + 1}{2a^2 + a}) : (\frac{1}{1 - 2a})^2 - \frac{8a - 1}{2a^2 + a}$.
Решение:
1) $(\frac{a^2}{b^3 - ab^2} + \frac{a - b}{b^2} - \frac{1}{b}) : (\frac{a + b}{b - a} - \frac{b - a}{a + b} + \frac{6a^2}{a^2 - b^2}) = (\frac{a^2}{b^2(b - a)} + \frac{a - b}{b^2} - \frac{1}{b}) : (\frac{a + b}{b - a} - \frac{b - a}{b + a} - \frac{6a^2}{b^2 - a^2}) = \frac{a^2 + (a - b)(b - a) - b(b - a)}{b^2(b - a)} : (\frac{a + b}{b - a} - \frac{b - a}{b + a} - \frac{6a^2}{(b - a)(b + a)}) = \frac{a^2 + ab - b^2 - a^2 + ab - b^2 + ab}{b^2(b - a)} : \frac{(a + b)(a + b) - (b - a)(b - a) - 6a^2}{(b - a)(b + a)} = \frac{3ab - 2b^2}{b^2(b - a)} : \frac{a^2 + 2ab + b^2 - (b^2 - 2ab + a^2) - 6a^2}{(b - a)(b + a)} = \frac{b(3a - 2b)}{b^2(b - a)} : \frac{a^2 + 2ab + b^2 - b^2 + 2ab - a^2 - 6a^2}{(b - a)(b + a)} = \frac{3a - 2b}{b(b - a)} : \frac{4ab - 6a^2}{(b - a)(b + a)} = \frac{3a - 2b}{b(b - a)} : \frac{2a(2b - 3a)}{(b - a)(b + a)} = \frac{3a - 2b}{b(b - a)} * \frac{(b - a)(b + a)}{2a(2b - 3a)} = \frac{3a - 2b}{b} * (-\frac{b + a}{2a(3a - 2b)}) = \frac{1}{b} * (-\frac{b + a}{2a}) = -\frac{a + b}{2ab}$
2) $(\frac{a + 2}{4a^3 - 4a^2 + a} - \frac{2 - a}{1 - 8a^3} * \frac{4a^2 + 2a + 1}{2a^2 + a}) : (\frac{1}{1 - 2a})^2 - \frac{8a - 1}{2a^2 + a} = (\frac{a + 2}{a(4a^2 - 4a + 1)} + \frac{2 - a}{8a^3 - 1} * \frac{4a^2 + 2a + 1}{a(2a + 1)}) : (\frac{1}{1 - 2a})^2 - \frac{8a - 1}{a(2a + 1)} = (\frac{a + 2}{a(4a^2 - 4a + 1)} + \frac{2 - a}{(2a - 1)(4a^2 + 2a + 1)} * \frac{4a^2 + 2a + 1}{a(2a + 1)}) : \frac{1}{(1 - 2a)^2} - \frac{8a - 1}{a(2a + 1)} = (\frac{a + 2}{a(4a^2 - 4a + 1)} + \frac{2 - a}{2a - 1} * \frac{1}{a(2a + 1)}) : \frac{1}{(1 - 2a)^2} - \frac{8a - 1}{a(2a + 1)} = (\frac{a + 2}{a(2a - 1)^2} + \frac{2 - a}{a(2a - 1)(2a + 1)}) : \frac{1}{(1 - 2a)^2} - \frac{8a - 1}{a(2a + 1)} = \frac{(a + 2)(2a + 1) + (2 - a)(2a - 1)}{a(2a - 1)^2(2a + 1)} * \frac{(1 - 2a)^2}{1} - \frac{8a - 1}{a(2a + 1)} = \frac{2a^2 + 4a + a + 2 + 4a - 2a^2 - 2 + a}{a(2a + 1)} - \frac{8a - 1}{a(2a + 1)} = \frac{10a}{a(2a + 1)} - \frac{8a - 1}{a(2a + 1)} = \frac{10a - (8a - 1)}{a(2a + 1)} = \frac{10a - 8a + 1}{a(2a + 1)} = \frac{2a + 1}{a(2a + 1)} = \frac{1}{a}$
189. Упростите выражение:
$(\frac{18y^2 + 3y}{27y^3 - 1} - \frac{3y + 1}{9y^2 + 3y + 1}) : (1 - \frac{3y - 1}{y} - \frac{5 - 6y}{3y - 1})$.
Решение:
$(\frac{18y^2 + 3y}{27y^3 - 1} - \frac{3y + 1}{9y^2 + 3y + 1}) : (1 - \frac{3y - 1}{y} - \frac{5 - 6y}{3y - 1}) = (\frac{18y^2 + 3y}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} - \frac{3y + 1}{9y^2 + 3y + 1}) : \frac{y(3y - 1) - (3y - 1)^2 - y(5 - 6y)}{y(3y - 1)} = \frac{18y^2 + 3y - (3y - 1)(3y + 1)}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} : \frac{3y^2 - y - (9y^2 - 6y + 1) - 5y + 6y^2}{y(3y - 1)} = \frac{18y^2 + 3y - (9y^2 - 1)}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} : \frac{3y^2 - y - 9y^2 + 6y - 1 - 5y + 6y^2}{y(3y - 1)} = \frac{18y^2 + 3y - 9y^2 + 1}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} : \frac{-1}{y(3y - 1)} = \frac{9y^2 + 3y + 1}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} * (-\frac{y(3y - 1)}{1}) = \frac{1}{1} * (-\frac{y}{1}) = -y$
190. Докажите тождество:
1) $\frac{16}{(a - 2)^4} : (\frac{1}{(a - 2)^2} - \frac{2}{(a^2 - 4)} + \frac{1}{(a + 2)^2}) - \frac{8a}{(a - 2)^2} = 1$;
2) $\frac{a + 11}{a + 9} - (\frac{a + 5}{a^2 - 81} + \frac{a + 7}{a^2 - 18a + 81}) : (\frac{a + 3}{a - 9})^2 = 1$.
Решение:
1) $\frac{16}{(a - 2)^4} : (\frac{1}{(a - 2)^2} - \frac{2}{(a^2 - 4)} + \frac{1}{(a + 2)^2}) - \frac{8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{16}{(a - 2)^4} : (\frac{1}{(a - 2)^2} - \frac{2}{(a - 2)(a + 2)} + \frac{1}{(a + 2)^2}) - \frac{8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{16}{(a - 2)^4} : \frac{(a + 2)^2 - 2(a - 2)(a + 2) + (a - 2)^2}{(a - 2)^2(a + 2)^2} - \frac{8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{16}{(a - 2)^4} : \frac{(a + 2 - (a - 2))^2}{(a - 2)^2(a + 2)^2} - \frac{8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{16}{(a - 2)^4} : \frac{(a + 2 - a + 2)^2}{(a - 2)^2(a + 2)^2} - \frac{8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{16}{(a - 2)^4} : \frac{4^2}{(a - 2)^2(a + 2)^2} - \frac{8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{16}{(a - 2)^4} * \frac{(a - 2)^2(a + 2)^2}{16} - \frac{8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{1}{(a - 2)^2} * \frac{(a + 2)^2}{1} - \frac{8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{(a + 2)^2 - 8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{a^2 + 4a + 4 - 8a}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{a^2 - 4a + 4}{(a - 2)^2} = 1$
$\frac{(a - 2)^2}{(a - 2)^2} = 1$
1 = 1
2) $\frac{a + 11}{a + 9} - (\frac{a + 5}{a^2 - 81} + \frac{a + 7}{a^2 - 18a + 81}) : (\frac{a + 3}{a - 9})^2 = 1$
$\frac{a + 11}{a + 9} - (\frac{a + 5}{(a - 9)(a + 9)} + \frac{a + 7}{(a - 9)^2}) : \frac{(a + 3)^2}{(a - 9)^2} = 1$
$\frac{a + 11}{a + 9} - \frac{(a + 5)(a - 9) + (a + 7)(a + 9)}{(a - 9)^2(a + 9)} * \frac{(a - 9)^2}{(a + 3)^2} = 1$
$\frac{a + 11}{a + 9} - \frac{a^2 + 5a - 9a - 45 + a^2 + 7a + 9a + 63}{a + 9} * \frac{1}{(a + 3)^2} = 1$
$\frac{a + 11}{a + 9} - \frac{2a^2 + 12a + 18}{a + 9} * \frac{1}{(a + 3)^2} = 1$
$\frac{a + 11}{a + 9} - \frac{2(a^2 + 6a + 9)}{a + 9} * \frac{1}{(a + 3)^2} = 1$
$\frac{a + 11}{a + 9} - \frac{2(a + 3)^2}{a + 9} * \frac{1}{(a + 3)^2} = 1$
$\frac{a + 11}{a + 9} - \frac{2}{a + 9} = 1$
$\frac{a + 11 - 2}{a + 9} = 1$
$\frac{a + 9}{a + 9} = 1$
1 = 1
191. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение
$\frac{b^2 + 9}{3b^2 - b^3} + (\frac{b + 3}{b - 3})^2 * (\frac{1}{b - 3} + \frac{6}{9 - b^2} - \frac{3}{b^2 + 3b})$
принимает положительные значения.
Решение:
$\frac{b^2 + 9}{3b^2 - b^3} + (\frac{b + 3}{b - 3})^2 * (\frac{1}{b - 3} + \frac{6}{9 - b^2} - \frac{3}{b^2 + 3b}) = \frac{b^2 + 9}{b^2(3 - b)} + \frac{(b + 3)^2}{(b - 3)^2} * (\frac{1}{b - 3} - \frac{6}{b^2 - 9} - \frac{3}{b(b + 3)}) = \frac{b^2 + 9}{b^2(3 - b)} + \frac{(b + 3)^2}{(b - 3)^2} * (\frac{1}{b - 3} - \frac{6}{(b - 3)(b + 3)} - \frac{3}{b(b + 3)}) = \frac{b^2 + 9}{b^2(3 - b)} + \frac{(b + 3)^2}{(b - 3)^2} * \frac{b(b + 3) - 6b - 3(b - 3)}{b(b - 3)(b + 3)} = \frac{b^2 + 9}{b^2(3 - b)} + \frac{(b + 3)^2}{(b - 3)^2} * \frac{b^2 + 3b - 6b - 3b + 9}{b(b - 3)(b + 3)} = \frac{b^2 + 9}{b^2(3 - b)} + \frac{(b + 3)^2}{(b - 3)^2} * \frac{b^2 - 6b + 9}{b(b - 3)(b + 3)} = \frac{b^2 + 9}{b^2(3 - b)} + \frac{(b + 3)^2}{(b - 3)^2} * \frac{(b - 3)^2}{b(b - 3)(b + 3)} = \frac{b^2 + 9}{b^2(3 - b)} + \frac{b + 3}{1} * \frac{1}{b(b - 3)} = \frac{b^2 + 9}{b^2(3 - b)} + \frac{b + 3}{b(b - 3)} = \frac{b^2 + 9}{b^2(3 - b)} - \frac{b + 3}{b(3 - b)} = \frac{b^2 + 9 - b(b + 3)}{b^2(3 - b)} = \frac{b^2 + 9 - b^2 - 3b}{b^2(3 - b)} = \frac{9 - 3b}{b^2(3 - b)} = \frac{3(3 - b)}{b^2(3 - b)} = \frac{3}{b^2}$
Ответ: выражение принимает положительные значения при любом b, так как 3 > 0 и $b^2 > 0$, так как квадрат любого числа больше или равен нулю. А частное двух положительных чисел есть число положительное.
192. Подставьте вместо x данное выражение и упростите полученное выражение:
1) $\frac{x - a}{x - b}$, если $x = \frac{ab}{a + b}$;
2) $\frac{a - bx}{b + ax}$, если $x = \frac{a - b}{a + b}$.
Решение:
1) $\frac{x - a}{x - b}$, если $x = \frac{ab}{a + b}$:
$\frac{\frac{ab}{a + b} - a}{\frac{ab}{a + b} - b} = \frac{\frac{ab - a(a + b)}{a + b}}{\frac{ab - b(a + b)}{a + b}} = \frac{ab - a(a + b)}{ab - b(a + b)} = \frac{ab - a^2 - ab}{ab - ab - b^2} = \frac{-a^2}{-b^2} = \frac{a^2}{b^2}$
2) $\frac{a - bx}{b + ax}$, если $x = \frac{a - b}{a + b}$:
$\frac{a - b * \frac{a - b}{a + b}}{b + a * \frac{a - b}{a + b}} = \frac{a - \frac{b(a - b)}{a + b}}{b + \frac{a(a - b)}{a + b}} = \frac{\frac{a(a + b) - b(a - b)}{a + b}}{\frac{b(a + b) + a(a - b)}{a + b}} = \frac{a(a + b) - b(a - b)}{b(a + b) + a(a - b)} = \frac{a^2 + ab - ab + b^2}{ab + b^2 + a^2 - ab} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1$
