Ответы к странице 55

§7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения

Вопросы

1. Какие два уравнения называют равносильными?

Ответ:

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни или каждое из уравнений не имеет корней.

2. С помощью каких преобразований данного уравнения можно получить уравнение, ему равносильное?

Ответ:

Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
Если какое−либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и тоже отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

3. Какое уравнение называют рациональным?

Ответ:

Уравнение, левая и правая часть которого являются рациональными выражениями, называют рациональными.

4. Сформулируйте условие равенства дроби нулю.

Ответ:

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

5. Опишите алгоритм решения уравнения вида $\frac{A}{B} = 0$, где A и B − многочлены.

Ответ:

Чтобы решить уравнение вида $\frac{A}{B} = 0$, нужно потребовать одновременного выполнения двух условий: A = 0 и B ≠ 0. Это значит, что при решении уравнений указанного вида следует руководствоваться таким алгоритмом:
• решить уравнение A = 0;
• проверить, какие из найденных корней удовлетворяют условию B ≠ 0;
• корни, удовлетворяющие условию B ≠ 0, включить в ответ.

Упражнения

205. Истинным или ложным является высказывание:
1) уравнения x + 2 = 10 и 3x = 24 равносильны;
2) уравнения −2x = −6 и $\frac{1}{3}x = 1$ равносильны;
3) уравнения x − 5 = 0 и x(x − 5) = 0 равносильны;
4) уравнения (3x − 12)(x + 2) = 0 и (0,4 − 0,1x)(7x + 14) = 0 равносильны;
5) уравнения $\frac{6}{x} = 0$ и $x^2 = -4$ равносильны;
6) уравнения x + 1 = 1 + x и $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$ равносильны?

Решение:

1) x + 2 = 10
x = 10 − 2
x = 8

3x = 24
x = 8
Ответ: уравнения равносильны

2) −2x = −6
x = 3

$\frac{1}{3}x = 1$
x = 1 * 3
x = 3
Ответ: уравнения равносильны

3) x − 5 = 0
x = 5

x(x − 5) = 0
x = 0
Ответ: уравнения не равносильны

4) (3x − 12)(x + 2) = 0
3x − 12 = 0
3x = 12
x = 4
и
x + 2 = 0
x = −2

(0,4 − 0,1x)(7x + 14) = 0
0,4 − 0,1x = 0
−0,1x = −0,4
x = 4
и
7x + 14 = 0
7x = −14
x = −2
Ответ: уравнения равносильны

5) $\frac{6}{x} = 0$
x ≠ 0
6 ≠ 0
нет корней

$x^2 = -4$
нет корней
Ответ: уравнения равносильны

6) x + 1 = 1 + x
x − x = 1 − 1
0 = 0
x − любое число

$\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$
1 = 1
x − любое число
Ответ: уравнения равносильны.