Ответы к странице 217
851. Докажите тождество:
1(b−c)(c−a)−1(a−b)(c−b)+1(a−c)(b−a)=01(b−c)(c−a)−1(a−b)(c−b)+1(a−c)(b−a)=0.
Решение:
1(b−c)(c−a)−1(a−b)(c−b)+1(a−c)(b−a)=−1(b−c)(a−c)+1(a−b)(b−c)−1(a−c)(a−b)=−(a−b)+a−c−(b−c)(a−b)(b−c)(a−c)=−a+b+a−c−b+c(a−b)(b−c)(a−c)=0(a−b)(b−c)(a−c)=0
852. Запишите дробь в виде суммы целого выражения и дроби:
1) a−7a;
2) a2+2a−2a+2;
3) x2+3x−2x−3.
Решение:
1) a−7a=aa−7a=1−7a
2) a2+2a−2a+2=a2+2aa+2−2a+2=a(a+2)a+2−2a+2=a−2a+2=a−2a+2
3) x2+3x−2x−3=x2−3x+6x−2x−3=x2−3xx−3+6x−2x−3=x(x−3)x−3+2(3x−1)x−3=x+2(3x−1)x−3
853. Известно, что xy=4. Найдите значение выражения.
1) x+yx;
2) 3x+4yx.
Решение:
1) x+yx=xx+yx=1+yx
xy=4
yx=14
тогда:
1+14=114
2) 3x+4yx=3xx+4yx=3+4∗yx
xy=4
yx=14
тогда:
3+4∗yx=3+4∗14=3+1=4
854. Найдите все натуральные значения n, при которых является натуральным числом значение выражения:
1) 12n2−5n+33n;
2) n3−6n2+54n2;
3) 10−4nn;
4) 12−3nn.
Решение:
1) 12n2−5n+33n=12n2n−5nn+33n=12n−5+33n
Ответ: при n = 1; 3; 11; 33.
2) n3−6n2+54n2=n3n2−6n2n2+54n2=n−6+54n2
Ответ: при n = 1; 3.
3) 10−4nn=10n−4nn=10n−4
Ответ: при n = 1; 2.
4) 12−3nn=12n−3nn=12n−3
Ответ: при n = 1; 2; 3.
855. Выразите переменную x через другие переменные, если:
1) x+ab=1;
2) 1x+1a=b;
3) ab+x4=ba.
Решение:
1) x+ab=1
x=1−ab
x=b−ab
2) 1x+1a=b
1x=b−1a
1x=ab−1a
x=aab−1
3) ab+x4=ba
x4=ba−ab
x4=b2−a2ab
x=4(b2−a2)ab
856. Докажите тождество:
1) 1a2+12a+36+236−a2+1a2−12a+36=144(a2−36)2;
2) a2(a−b)(a−c)+b2(b−a)(b−c)+c2(c−a)(c−b)=1.
Решение:
1) 1a2+12a+36+236−a2+1a2−12a+36=1(a+6)2+2(6−a)(6+a)+1(a−6)2=1(a+6)2−2(a−6)(a+6)+1(a−6)2=(a−6)2−2(a−6)(a+6)+(a+6)2(a−6)2(a+6)2=a2−12a+36−2(a2−36)+a2+12a+36(a−6)2(a+6)2=2a2+36−2a2+72+36((a−6)(a+6))2=144(a2−36)2
2) a2(a−b)(a−c)+b2(b−a)(b−c)+c2(c−a)(c−b)=a2(a−b)(a−c)−b2(a−b)(b−c)+c2(a−c)(b−c)=a2(b−c)−b2(a−c)+c2(a−b)(a2−ab−ac+bc)(b−c)=a2b−a2c−ab2+b2c+ac2−bc2a2b−ab2−abc+b2c−a2c+abc+ac2−bc2=a2b−a2c−ab2+b2c+ac2−bc2a2b−a2c−ab2+b2c+ac2−bc2=1
857. Упростите выражение:
1a(a+3)+1(a+3)(a+6)+1(a+6)(a+9)+1(a+9)(a+12).
Решение:
1a(a+3)+1(a+3)(a+6)+1(a+6)(a+9)+1(a+9)(a+12)=(1a(a+3)+1(a+3)(a+6))+(1(a+6)(a+9)+1(a+9)(a+12))=(a+6)+aa(a+3)(a+6)+(a+12)+(a+6)(a+6)(a+9)(a+12)=a+6+aa(a+3)(a+6)+a+12+a+6(a+6)(a+9)(a+12)=2a+6a(a+3)(a+6)+2a+18(a+6)(a+9)(a+12)=2(a+3)a(a+3)(a+6)+2(a+9)(a+6)(a+9)(a+12)=2a(a+6)+2(a+6)(a+12)=2(a+12)+2aa(a+6)(a+12)=2a+24+2aa(a+6)(a+12)=4a+24a(a+6)(a+12)=4(a+6)a(a+6)(a+12)=4a(a+12)
858. Докажите, что если a+b+ca+b−c=a−b+ca−b−c, то b = 0 или c = 0.
Решение:
a+b+ca+b−c=a−b+ca−b−c
произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов, тогда:
(a + b + c)(a − b − c) = (a + b − c)(a − b + c)
(a + (b + c))(a − (b + c)) = (a + (b − c))(a − (b − c))
a2−(b+c)2=a2−(b−c)2
(b+c)2=(b−c)2
b + c = b − c
c + c = b − b
2c = 0
c = 0
или
b + c = −(b − c)
b + c = −b + c
b + b = c − c
2b = 0
b = 0
859. Выполните умножение:
1) 9xy∗y24x;
2) m2n325t∗(−5tmn2);
3) 16a421b5∗9b210a3;
4) 26m2∗3n213m4;
5) 24t716u3∗34u5;
6) 4x5y27a3b∗21xb210y3a2∗25a5y3x4b.
Решение:
1) 9xy∗y24x=31∗18=38
2) m2n325t∗(−5tmn2)=mn5∗(−11)=−mn5
3) 16a421b5∗9b210a3=8a7b3∗35=24a35b3
4) 26m2∗3n213m4=2∗3n2m2=6n2m2
5) 24t716u3∗34u5=3t71∗17u2=51t7u2
6) 4x5y27a3b∗21xb210y3a2∗25a5y3x4b=21∗100x6y3a5b221∗10x4y3a5b2=10x2