Ответы к странице 217

851. Докажите тождество:
1(bc)(ca)1(ab)(cb)+1(ac)(ba)=01(bc)(ca)1(ab)(cb)+1(ac)(ba)=0.

Решение:

1(bc)(ca)1(ab)(cb)+1(ac)(ba)=1(bc)(ac)+1(ab)(bc)1(ac)(ab)=(ab)+ac(bc)(ab)(bc)(ac)=a+b+acb+c(ab)(bc)(ac)=0(ab)(bc)(ac)=0

852. Запишите дробь в виде суммы целого выражения и дроби:
1) a7a;
2) a2+2a2a+2;
3) x2+3x2x3.

Решение:

1) a7a=aa7a=17a

2) a2+2a2a+2=a2+2aa+22a+2=a(a+2)a+22a+2=a2a+2=a2a+2

3) x2+3x2x3=x23x+6x2x3=x23xx3+6x2x3=x(x3)x3+2(3x1)x3=x+2(3x1)x3

853. Известно, что xy=4. Найдите значение выражения.
1) x+yx;
2) 3x+4yx.

Решение:

1) x+yx=xx+yx=1+yx
xy=4
yx=14
тогда:
1+14=114

2) 3x+4yx=3xx+4yx=3+4yx
xy=4
yx=14
тогда:
3+4yx=3+414=3+1=4

854. Найдите все натуральные значения n, при которых является натуральным числом значение выражения:
1) 12n25n+33n;
2) n36n2+54n2;
3) 104nn;
4) 123nn.

Решение:

1) 12n25n+33n=12n2n5nn+33n=12n5+33n
Ответ: при n = 1; 3; 11; 33.

2) n36n2+54n2=n3n26n2n2+54n2=n6+54n2
Ответ: при n = 1; 3.

3) 104nn=10n4nn=10n4
Ответ: при n = 1; 2.

4) 123nn=12n3nn=12n3
Ответ: при n = 1; 2; 3.

855. Выразите переменную x через другие переменные, если:
1) x+ab=1;
2) 1x+1a=b;
3) ab+x4=ba.

Решение:

1) x+ab=1
x=1ab
x=bab

2) 1x+1a=b
1x=b1a
1x=ab1a
x=aab1

3) ab+x4=ba
x4=baab
x4=b2a2ab
x=4(b2a2)ab

856. Докажите тождество:
1) 1a2+12a+36+236a2+1a212a+36=144(a236)2;
2) a2(ab)(ac)+b2(ba)(bc)+c2(ca)(cb)=1.

Решение:

1) 1a2+12a+36+236a2+1a212a+36=1(a+6)2+2(6a)(6+a)+1(a6)2=1(a+6)22(a6)(a+6)+1(a6)2=(a6)22(a6)(a+6)+(a+6)2(a6)2(a+6)2=a212a+362(a236)+a2+12a+36(a6)2(a+6)2=2a2+362a2+72+36((a6)(a+6))2=144(a236)2

2) a2(ab)(ac)+b2(ba)(bc)+c2(ca)(cb)=a2(ab)(ac)b2(ab)(bc)+c2(ac)(bc)=a2(bc)b2(ac)+c2(ab)(a2abac+bc)(bc)=a2ba2cab2+b2c+ac2bc2a2bab2abc+b2ca2c+abc+ac2bc2=a2ba2cab2+b2c+ac2bc2a2ba2cab2+b2c+ac2bc2=1

857. Упростите выражение:
1a(a+3)+1(a+3)(a+6)+1(a+6)(a+9)+1(a+9)(a+12).

Решение:

1a(a+3)+1(a+3)(a+6)+1(a+6)(a+9)+1(a+9)(a+12)=(1a(a+3)+1(a+3)(a+6))+(1(a+6)(a+9)+1(a+9)(a+12))=(a+6)+aa(a+3)(a+6)+(a+12)+(a+6)(a+6)(a+9)(a+12)=a+6+aa(a+3)(a+6)+a+12+a+6(a+6)(a+9)(a+12)=2a+6a(a+3)(a+6)+2a+18(a+6)(a+9)(a+12)=2(a+3)a(a+3)(a+6)+2(a+9)(a+6)(a+9)(a+12)=2a(a+6)+2(a+6)(a+12)=2(a+12)+2aa(a+6)(a+12)=2a+24+2aa(a+6)(a+12)=4a+24a(a+6)(a+12)=4(a+6)a(a+6)(a+12)=4a(a+12)

858. Докажите, что если a+b+ca+bc=ab+cabc, то b = 0 или c = 0.

Решение:

a+b+ca+bc=ab+cabc
произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов, тогда:
(a + b + c)(a − b − c) = (a + b − c)(a − b + c)
(a + (b + c))(a − (b + c)) = (a + (b − c))(a − (b − c))
a2(b+c)2=a2(bc)2
(b+c)2=(bc)2
b + c = b − c
c + c = b − b
2c = 0
c = 0
или
b + c = −(b − c)
b + c = −b + c
b + b = c − c
2b = 0
b = 0

859. Выполните умножение:
1) 9xyy24x;
2) m2n325t(5tmn2);
3) 16a421b59b210a3;
4) 26m23n213m4;
5) 24t716u334u5;
6) 4x5y27a3b21xb210y3a225a5y3x4b.

Решение:

1) 9xyy24x=3118=38

2) m2n325t(5tmn2)=mn5(11)=mn5

3) 16a421b59b210a3=8a7b335=24a35b3

4) 26m23n213m4=23n2m2=6n2m2

5) 24t716u334u5=3t7117u2=51t7u2

6) 4x5y27a3b21xb210y3a225a5y3x4b=21100x6y3a5b22110x4y3a5b2=10x2