Ответы к странице 171
685. Решите уравнение:
1) $|x^2 + 10x - 4| = 20$;
2) x|x| + 12x − 45 = 0;
3) $\frac{x^3}{|x|} - 14x - 15 = 0$;
4) $x^2 - 8\sqrt{x^2} - 9 = 0$.
Решение:
1) $|x^2 + 10x - 4| = 20$
а)
$x^2 + 10x - 4 = 20$
$x^2 + 10x - 4 - 20 = 0$
$x^2 + 10x - 24 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * 1 * (-24) = 100 + 96 = 196 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{196}}{2 * 1} = \frac{-10 + 14}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{196}}{2 * 1} = \frac{-10 - 14}{2} = \frac{-24}{2} = -12$
б)
$x^2 + 10x - 4 = -20$
$x^2 + 10x - 4 + 20 = 0$
$x^2 + 10x + 16 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * 1 * 16 = 100 - 64 = 36 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
Ответ: −12; −8; −2; 2.
2) x|x| + 12x − 45 = 0
а) x ≥ 0
x * x +12x − 45 = 0
$x^2 + 12x - 45 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 * 1 * (-45) = 144 + 180 = 324 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + \sqrt{324}}{2 * 1} = \frac{-12 + 18}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - \sqrt{324}}{2 * 1} = \frac{-12 - 18}{2} = \frac{-30}{2} = -15 < 0$ − не удовлетворяет условию, так как x ≥ 0
б) x < 0
x * (−x) + 12x − 45 = 0
$-x^2 + 12x - 45 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 * (-1) * (-45) = 144 - 180 = -36 < 0$ − нет корней
Ответ: 3
3) $\frac{x^3}{|x|} - 14x - 15 = 0$
а) x > 0
$\frac{x^3}{x} - 14x - 15 = 0$
$x^2 - 14x - 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 * 1 * (-15) = 196 + 60 = 256 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{256}}{2 * 1} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{256}}{2 * 1} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 < 0$ − не удовлетворяет условию, так как x ≥ 0
б) x < 0
$\frac{x^3}{-x} - 14x - 15 = 0$
$-x^2 - 14x - 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 * (-1) * (-15) = 196 - 60 = 136 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{136}}{2 * (-1)} = \frac{14 + \sqrt{4 * 34}}{-2} = \frac{14 + 2\sqrt{34}}{-2} = \frac{2(7 + \sqrt{34})}{-2} = -7 - \sqrt{34}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{136}}{2 * (-1)} = \frac{14 - \sqrt{4 * 34}}{-2} = \frac{14 - 2\sqrt{34}}{-2} = \frac{2(7 - \sqrt{34})}{-2} = -7 + \sqrt{34}$
Ответ: $-7 - \sqrt{34}; -7 + \sqrt{34}; 15$.
4) $x^2 - 8\sqrt{x^2} - 9 = 0$
$x^2 - 8|x| - 9 = 0$
а) x ≥ 0
$x^2 - 8x - 9 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 1 * (-9) = 64 + 36 = 100 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1 < 0$ − не удовлетворяет условию, так как x ≥ 0
б) x < 0
$x^2 + 8x - 9 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 1 * (-9) = 64 + 36 = 100 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1 > 0$ − не удовлетворяет условию, так как x < 0
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$
Ответ: −9; 9.
686. Решите уравнение:
1) $x^2 + 2x + \frac{3}{x - 8} = \frac{3}{x - 8} + 80$;
2) $x^2 + 8(\sqrt{x})^2 - 33 = 0$.
Решение:
1) $x^2 + 2x + \frac{3}{x - 8} = \frac{3}{x - 8} + 80$
x − 8 ≠ 0
x ≠ 8
$x^2 + 2x + \frac{3}{x - 8} - \frac{3}{x - 8} - 80 = 0$
$x^2 + 2x - 80 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-80) = 4 + 320 = 324 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{324}}{2 * 1} = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 8$ − не является корнем
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{324}}{2 * 1} = \frac{-2 - 18}{2} = \frac{-20}{2} = -10$
Ответ: −10
2) $x^2 + 8(\sqrt{x})^2 - 33 = 0$
x ≥ 0
$x^2 + 8x - 33 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 1 * (-33) = 64 + 132 = 196 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{196}}{2 * 1} = \frac{-8 + 14}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{196}}{2 * 1} = \frac{-8 - 14}{2} = \frac{-22}{2} = -11 < 0$ − не удовлетворяет условию, так как x ≥ 0
Ответ: 3
687. Решите уравнение:
1) $6x^2 + 5x - \frac{1}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$;
2) $5x^2 - 14(\sqrt{x})^2 - 3 = 0$.
Решение:
1) $6x^2 + 5x - \frac{1}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
$6x^2 + 5x - \frac{1}{x + 1} - 1 + \frac{1}{x + 1} = 0$
$6x^2 + 5x - 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 6 * (-1) = 25 + 24 = 49 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 * 6} = \frac{-5 + 7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 * 6} = \frac{-5 - 7}{12} = \frac{-12}{12} = -1$ − не является корнем
Ответ: $\frac{1}{6}$
2) $5x^2 - 14(\sqrt{x})^2 - 3 = 0$
x ≥ 0
$5x^2 - 14x - 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 * 5 * (-3) = 196 + 60 = 256 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{256}}{2 * 5} = \frac{14 + 16}{10} = \frac{30}{10} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{256}}{2 * 5} = \frac{14 - 16}{10} = \frac{-2}{10} = -0,2 < 0$ − не удовлетворяет условию, так как x ≥ 0
Ответ: 3
688. При каком значении b имеет единственный корень уравнение:
1) $2x^2 + 4x - b = 0$;
2) $3x^2 - bx + 12 = 0$?
Решение:
1) $2x^2 + 4x - b = 0$
уравнение имеет единственный корень при D = 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 2 * (-b) = 16 + 8b$
16 + 8b = 0
8b = −16
b = −2
Ответ: при b = −2
2) $3x^2 - bx + 12 = 0$
уравнение имеет единственный корень при D = 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = (-b)^2 - 4 * 3 * 12 = b^2 - 144$
$b^2 - 144 = 0$
$b^2 = 144$
b = ±12
Ответ: при b = −12 и b = 12
689. При каком значении b имеет единственный корень уравнение:
1) $6x^2 - 18x + b = 0$;
2) $8x^2 + bx + 2 = 0$?
Решение:
1) $6x^2 - 18x + b = 0$
уравнение имеет единственный корень при D = 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 * 6 * b = 324 - 24b$
324 − 24b = 0
−24b = −324
b = 13,5
Ответ: при b = 13,5
2) $8x^2 + bx + 2 = 0$
уравнение имеет единственный корень при D = 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = b^2 - 4 * 8 * 2 = b^2 - 64$
$b^2 - 64 = 0$
$b^2 = 64$
b = ±8
Ответ: при b = −8 и b = 8
690. Докажите, что при любом значении p имеет два корня уравнение:
1) $4x^2 - px - 3 = 0$;
2) $x^2 + px + p - 2 = 0$.
Решение:
1) $4x^2 - px - 3 = 0$
уравнение имеет 2 корня при D > 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4 * 4 * (-3) = p^2 + 48 > 0$
$p^2 ≥ 0$, значит $p^2 + 48 > 0$, поэтому уравнение имеет два корня при любом значении p.
2) $x^2 + px + p - 2 = 0$
уравнение имеет 2 корня при D > 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 * 1 * (p - 2) = p^2 - 4p + 8 = p^2 - 4p + 4 + 4 = (p - 2)^2 + 4$
$(p - 2)^2 ≥ 0$, значит $(p - 2)^2 + 4 > 0$, поэтому уравнение имеет два корня при любом значении p.
691. Докажите, что при любом значении m не имеет корней уравнение:
1) $x^2 + mx + m^2 + 1 = 0$;
2) $x^2 - 2mx + 2m^2 + 9 = 0$.
Решение:
1) $x^2 + mx + m^2 + 1 = 0$
уравнение не имеет корней при D < 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = m^2 - 4 * 1 * (m^2 + 1) = m^2 - 4m^2 - 4 = -3m^2 - 4 < 0$
$m^2 ≥ 0$, значит $-3m^2 ≤ 0$ и $-3m^2 - 4 < 0$, поэтому уравнение не имеет корней при любом значении m.
2) $x^2 - 2mx + 2m^2 + 9 = 0$
уравнение не имеет корней при D < 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4 * 1 * (2m^2 + 9) = 4m^2 - 8m^2 - 36 = -4m^2 - 36 < 0$
$m^2 ≥ 0$, значит $-4m^2 ≤ 0$ и $-4m^2 - 36 < 0$, поэтому уравнение не имеет корней при любом значении m.
692. Докажите, что при любом значении b уравнение $x^2 + bx - 7 = 0$ имеет два корня.
Решение:
$x^2 + bx - 7 = 0$.
уравнение имеет 2 корня при D > 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = b^2 - 4 * 1 * (-7) = b^2 + 28 > 0$
$b^2 ≥ 0$, значит $b^2 + 28 > 0$, поэтому уравнение имеет два корня при любом значении b.
693. Для каждого значения a решите уравнение:
1) $x^2 + (3a + 1)x + 2a^2 + a = 0$;
2) $x^2 - (2a + 4)x + 8a = 0$;
3) $a^2x^2 - 24ax - 25 = 0$;
4) $3(2a - 1)x^2 - 2(a + 1)x + 1 = 0$.
Решение:
1) $x^2 + (3a + 1)x + 2a^2 + a = 0$
$D = b^2 - 4ac = (3a + 1)^2 - 4 * 1 * (2a^2 + a) = 9a^2 + 6a + 1 - 8a^2 - 4a = a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$
(a + 1)^2 = 0
a + 1 = 0
a = −1
при a = −1:
$D = (-1 + 1)^2 = 0^2 = 0$
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(3a + 1) + \sqrt{0}}{2 * 1} = \frac{-3a - 1}{2} = \frac{-3 * (-1) - 1}{2} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$
при a ≠ −1:
D > 0
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(3a + 1) + \sqrt{(a + 1)^2}}{2 * 1} = \frac{-3a - 1 + a + 1}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(3a + 1) - \sqrt{(a + 1)^2}}{2 * 1} = \frac{-3a - 1 - a - 1}{2} = \frac{-4a - 2}{2} = \frac{2(-2a - 1)}{2} = -2a - 1$
Ответ:
при a = −1:
x = 1
при a ≠ −1:
x = −2a − 1; x = −a.
2) $x^2 - (2a + 4)x + 8a = 0$
$D = b^2 - 4ac = (2a + 4)^2 - 4 * 1 * 8a = 4a^2 + 16a + 16 - 32a = 4a^2 - 16a + 16 = (2a - 4)^2$
$(2a - 4)^2 = 0$
2a − 4 = 0
2a = 4
a = 2
при a = 2:
$D = (2 * 2 - 4)^2 = (4 - 4)^2 = 0^2 = 0$
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2a + 4 + \sqrt{0}}{2 * 1} = \frac{2a + 4}{2} = \frac{2(a + 2)}{2} = a + 2 = 2 + 2 = 4$
при a ≠ 2:
D > 0
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2a + 4 + \sqrt{(2a - 4)^2}}{2 * 1} = \frac{2a + 4 + 2a - 4}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2a + 4 - \sqrt{(2a - 4)^2}}{2 * 1} = \frac{2a + 4 - (2a - 4)}{2 * 1} = \frac{2a + 4 - 2a + 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Ответ:
при a = 2:
x = 4
при a ≠ 2:
x = 2a; x = 4.
3) $a^2x^2 - 24ax - 25 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-24a)^2 - 4 * a^2 * (-25) = 576a^2 + 100a^2 = 676a^2$
$676a^2 = 0$
$a^2 = 0$
a = 0
при a = 0:
$0^2 * x^2 - 24 * 0 * x - 25 = 0$
−25 ≠ 0 − нет корней
при a ≠ 0:
D > 0
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24a + \sqrt{676a^2}}{2a^2} = \frac{24a + 26a}{2a^2} = \frac{50a}{2a^2} = \frac{25}{a}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24a - \sqrt{676^2}}{2a^2} = \frac{24a - 26a}{2a^2} = \frac{-2a}{2a^2} = -\frac{1}{a}$
Ответ:
при a = 0:
нет корней
при a ≠ 0:
$x = \frac{25}{a}; x = -\frac{1}{a}$.
4) $3(2a - 1)x^2 - 2(a + 1)x + 1 = 0$
2a − 1 = 0
2a = 1
a = 0,5
при a = 0,5: уравнение будет линейным и будет иметь 1 корень:
$3(2 * 0,5 - 1)x^2 - 2(0,5 + 1)x + 1 = 0$
$3(1 - 1)x^2 - (1 + 2)x + 1 = 0$
−3x + 1 = 0
−3x = −1
$x = \frac{1}{3}$
при a ≠ 0,5: уравнение будет квадратным:
$D = b^2 - 4ac = (-2(a + 1))^2 - 4 * 3(2a - 1) * 1 = 4(a^2 + 2a + 1) - 12(2a - 1) = 4a^2 + 8a + 4 - 24a + 12 = 4a^2 - 16a + 16 = (2a - 4)^2$
$(2a - 4)^2 = 0$
2a − 4 = 0
2a = 4
a = 2
при a = 2:
$D = (2 * 2 - 4)^2 = (4 - 4)^2 = 0^2 = 0$
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2(a + 1) + \sqrt{0}}{2 * 3(2a - 1)} = \frac{2(a + 1)}{6(2a - 1)} = \frac{2 * (2 + 1)}{6 * (2 * 2 - 1)} = \frac{2 * 3}{6 * (4 - 1)} = \frac{6}{6 * 3} = \frac{1}{3}$
при a ≠ 2:
D > 0
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2(a + 1) + \sqrt{(2a - 4)^2}}{2 * 3(2a - 1)} = \frac{2a + 2 + 2a - 4}{6(2a - 1)} = \frac{4a - 2}{6(2a - 1)} = \frac{2(2a - 1)}{6(2a - 1)} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2(a + 1) - \sqrt{(2a - 4)^2}}{2 * 3(2a - 1)} = \frac{2a + 2 - (2a - 4)}{6(2a - 1)} = \frac{2a + 2 - 2a + 4}{6(2a - 1)} = \frac{6}{6(2a - 1)} = \frac{1}{2a - 1}$
Ответ:
при a = 0,5:
$x = \frac{1}{3}$
при a = 2:
$x = \frac{1}{3}$
при a ≠ 2:
$x = \frac{1}{3}; x = \frac{1}{2a - 1}$.
694. Для каждого значения a решите уравнение:
1) $x^2 - (2a - 5)x - 3a^2 + 5a = 0$;
2) $x^2 + (3a - 4)x - 12a = 0$;
3) $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0$.
Решение:
1) $x^2 - (2a - 5)x - 3a^2 + 5a = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-(2a - 5))^2 - 4 * 1 * (-3a^2 + 5a) = 4a^2 - 20a + 25 + 12a^2 - 20a = 16a^2 - 40a + 25 = (4a - 5)^2$
$(4a - 5)^2 = 0$
4a − 5 = 0
4a = 5
a = 1,25
при a = 1,25:
$D = (4 * 1,25 - 5)^2 = (5 - 5)^2 = 0^2 = 0$
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2a - 5 + \sqrt{0}}{2 * 1} = \frac{2a - 5}{2} = \frac{2 * 1,25 - 5}{2} = \frac{2,5 - 5}{2} = \frac{-2,5}{2} = -1,25$
при a ≠ 1,25:
D > 0
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2a - 5 + \sqrt{(4a - 5)^2}}{2 * 1} = \frac{2a - 5 + 4a - 5}{2} = \frac{6a - 10}{2} = \frac{2(3a - 5)}{2} = 3a - 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2a - 5 - \sqrt{(4a - 5)^2}}{2 * 1} = \frac{2a - 5 - (4a - 5)}{2} = \frac{2a - 5 - 4a + 5}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$
Ответ:
при a = 1,25:
x = −1,25
при a ≠ 1,25:
x = 3a − 5; x = −a.
2) $x^2 + (3a - 4)x - 12a = 0$
$D = b^2 - 4ac = (3a - 4)^2 - 4 * 1 * (-12a) = 9a^2 - 24a + 16 + 48a = 9a^2 + 24a + 16 = (3a + 4)^2$
$(3a + 4)^2 = 0$
3a + 4 = 0
3a = −4
$a = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$
при $a = -1\frac{1}{3}$:
$D = (3 * (-\frac{4}{3}) + 4)^2 = (-4 + 4)^2 = 0^2 = 0$
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(3a - 4) + \sqrt{0}}{2 * 1} = \frac{-3a + 4}{2} = \frac{-3 * (-\frac{4}{3}) + 4}{2} = \frac{4 + 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$
при $a ≠ -1\frac{1}{3}$:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(3a - 4) + \sqrt{(3a + 4)^2}}{2 * 1} = \frac{-3a + 4 + 3a + 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(3a - 4) - \sqrt{(3a + 4)^2}}{2 * 1} = \frac{-3a + 4 - (3a + 4)}{2} = \frac{-3a + 4 - 3a - 4}{2} = \frac{-6a}{2} = -3a$
Ответ:
при $a = -1\frac{1}{3}$:
x = 4
при $a ≠ -1\frac{1}{3}$:
x = −3a; x = 4.
3) $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0$
при a = 0: уравнение будет линейным и будет иметь 1 корень:
$0 * x^2 - (0 + 1)x + 1 = 0$
−x + 1 = 0
−x = −1
x = 1
$D = b^2 - 4ac = (-(a + 1))^2 - 4 * a * 1 = a^2 + 2a + 1 - 4a = a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$
a − 1 = 0
a = 1
при a = 1:
$D = (1 - 1)^2 = 0^2 = 0$
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{a + 1 + \sqrt{0}}{2a} = \frac{a + 1}{2a} = \frac{1 + 1}{2 * 1} = \frac{2}{2} = 1$
при a ≠ 1:
D > 0
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{a + 1 + \sqrt{(a - 1)^2}}{2a} = \frac{a + 1 + a - 1}{2a} = \frac{2a}{2a} =1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{a + 1 - \sqrt{(a - 1)^2}}{2a} = \frac{a + 1 - (a - 1)}{2a} = \frac{a + 1 - a + 1}{2a} = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a}$
Ответ:
при a = 0:
x = 1
при a = 1:
x = 1
при a ≠ 1:
$x = 1; x = \frac{1}{a}.$
695. При каком значении b имеет единственный корень уравнение:
1) $bx^2 - 6x - 7 = 0$;
2) $(b + 5)x^2 - (b + 6)x + 3 = 0$;
3) $(b - 4)x^2 + (2b - 8)x + 15 = 0$?
Решение:
1) $bx^2 - 6x - 7 = 0$
а)
b = 0:
$0 * x^2 - 6x - 7 = 0$
линейное уравнение, которое имеет 1 корень.
б)
b ≠ 0:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * b * (-7) = 36 + 28b$
при D = 0 квадратное уравнение будет иметь 1 корень:
36 + 28b = 0
28b = −36
$b = -\frac{36}{28} = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7}$
Ответ: при b = 0 и $b = -1\frac{2}{7}$
2) $(b + 5)x^2 - (b + 6)x + 3 = 0$
а)
b + 5 = 0:
b = −5
$(-5 + 5)x^2 - (-5 + 6)x + 3 = 0$
$0 * x^2 - x + 3 = 0$
−x + 3 = 0
линейное уравнение, которое имеет 1 корень.
б)
b ≠ −5
$D = b^2 - 4ac = (-(b + 6))^2 - 4 * (b + 5) * 3 = b^2 + 12b + 36 - 12b - 60 = b^2 - 24$
при D = 0 квадратное уравнение будет иметь 1 корень:
$b^2 - 24 = 0$
$b^2 = 24$
$b = ±\sqrt{24}$
$b = ±\sqrt{4 * 6}$
$b = ±2\sqrt{6}$
Ответ: при b = −5 и $b = ±2\sqrt{6}$
3) $(b - 4)x^2 + (2b - 8)x + 15 = 0$
а)
b − 4 = 0
b = 4
$(4 - 4)x^2 + (2 * 4 - 8)x + 15 = 0$
$0 * x^2 + (8 - 8)x + 15 = 0$
$0 * x^2 + 0 * x + 15 = 0$
15 ≠ 0 нет корней
б)
b ≠ 4
$D = (2b - 8)^2 - 4 * (b - 4) * 15 = 4b^2 - 32b + 64 - 60b + 240 = 4b^2 - 92b + 304 = 0$
при D = 0 квадратное уравнение будет иметь 1 корень:
$4b^2 - 92b + 304 = 0$ |:4
$b^2 - 23b + 76 = 0$
$D = (-23)^2 - 4 * 1 * 76 = 529 - 304 = 225$
$b_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + \sqrt{225}}{2 * 1} = \frac{23 + 15}{2} = \frac{38}{2} = 19$
$b_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - \sqrt{225}}{2 * 1} = \frac{23 - 15}{2} = \frac{8}{2} = 4$ − не является решением.
Ответ: при b = 19
696. При каком значении b имеет единственный корень уравнение:
1) $bx^2 + x + b = 0$;
2) $(b + 3)x^2 + (b + 1)x - 2 = 0$?
Решение:
1) $bx^2 + x + b = 0$
а)
b = 0:
$0 * x^2 + x + 0 = 0$
x = 0 − один корень.
б)
b ≠ 0:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * b * b = 1 - 4b^2$
при D = 0 квадратное уравнение будет иметь 1 корень:
$1 - 4b^2 = 0$
(1 − 2b)(1 + 2b) = 0
1 − 2b = 0
−2b = −1
b = 0,5
или
1 + 2b = 0
2b = −1
b = −0,5
Ответ: при b = −0,5, b = 0 и b = 0,5.
2) $(b + 3)x^2 + (b + 1)x - 2 = 0$
а)
b + 3 = 0
b = −3
$(-3 + 3)x^2 + (-3 + 1)x - 2 = 0$
$0 * x^2 - 2x - 2 = 0$
−2x − 2 = 0
линейное уравнение, которое имеет 1 корень.
б)
b ≠ −3
$D = b^2 - 4ac = (b + 1)^2 - 4 * (b + 3) * (-2) = b^2 + 2b + 1 + 8b + 24 = b^2 + 10b + 25 = (b + 5)^2$
при D = 0 квадратное уравнение будет иметь 1 корень:
$(b + 5)^2 = 0$
b + 5 = 0
b = −5
Ответ: при b = −5 и b = −3
697. Упростите выражение:
$(\frac{a + b}{a} - \frac{4b}{a + b}) * \frac{a + b}{a - b}$.
Решение:
$(\frac{a + b}{a} - \frac{4b}{a + b}) * \frac{a + b}{a - b} = \frac{(a + b)^2 - 4ab}{a(a + b)} * \frac{a + b}{a - b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{a} * \frac{1}{a - b} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a} * \frac{1}{a - b} = \frac{(a - b)^2}{a} * \frac{1}{a - b} = \frac{a - b}{a}$
698. Найдите значение выражения $\frac{(a^{-3})^3}{a^{-2} * a^{-5}}$ при $a = \frac{1}{3}$.
Решение:
$\frac{(a^{-3})^3}{a^{-2} * a^{-5}} = \frac{a^{-3 * 3}}{a^{-2 + (-5)}} = \frac{a^{-9}}{a^{-7}} = a^{-9 - (-7)} = a^{-9 + 7} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$
при $a = \frac{1}{3}$:
$\frac{1}{(\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$
