Ответы к странице 227
929. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 1 меньше соответствующих корней уравнения $x^2 - 3x - 5 = 0$.
Решение:
$x^2 - 3x - 5 = 0$
по теореме Виета:
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 &\\ x_1x_2 = -5 & \end{cases} \end{equation*}$
$y_1 = x_1 - 1$
$y_2 = x_2 - 1$
$y_1 + y_2 = x_1 - 1 + x_2 - 1 = (x_1 + x_2) - 2 = 3 - 2 = 1$
$y_1y_2 = (x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - x_2 - x_1 + 1 = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = -5 - 3 + 1 = -7$
тогда:
$y_1 + y_2 = -b_2$
$b_2 = -(y_1 + y_2)$
$b_2 = -1$
$y_1y_2 = c_2$
$c_2 = -7$
$ax^2 - b_2x + c_2 = 0$
тогда:
$x^2 - x - 7 = 0$
Ответ: $x^2 - x - 7 = 0$
930. Решите уравнение:
1) $\frac{x^2 - 7x}{x + 1} = \frac{8}{x + 1}$;
2) $\frac{3x^2 + 4x}{x^2 - 9} = \frac{3 - 4x}{x^2 - 9}$;
3) $\frac{4 - x}{4x - 3} = \frac{2x - 2}{7 - x}$;
4) $\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 6} = \frac{7}{12}$;
5) $\frac{63}{x^2 + 3x} - \frac{2}{x^2 - 3x} = \frac{7}{x}$;
6) $\frac{2x}{x - 2} + \frac{3}{x + 4} = \frac{4x - 2}{(x + 4)(x - 2)}$;
7) $\frac{1}{x^2 + 2x} - \frac{2}{x^2 - 4} = \frac{x + 4}{5x(2 - x)}$;
8) $\frac{2}{x^2 - 2x + 1} - \frac{1}{x^3 - 1} = \frac{3}{x^2 + x + 1}$.
Решение:
1) $\frac{x^2 - 7x}{x + 1} = \frac{8}{x + 1}$
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
$\frac{x^2 - 7x}{x + 1} - \frac{8}{x + 1} = 0$ | * (x + 1)
$x^2 - 7x - 8 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 1 * (-8) = 49 + 32 = 81 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ − не является решением, так как x ≠ −1
Ответ: 8
2) $\frac{3x^2 + 4x}{x^2 - 9} = \frac{3 - 4x}{x^2 - 9}$
$x^2 - 9 ≠ 0$
(x − 3)(x + 3) ≠ 0
x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
и
x + 3 ≠ 0
x ≠ −3
$\frac{3x^2 + 4x}{x^2 - 9} - \frac{3 - 4x}{x^2 - 9} = 0$ | * $(x^2 - 9)$
$3x^2 + 4x - (3 - 4x) = 0$
$3x^2 + 4x - 3 + 4x = 0$
$3x^2 + 8x - 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 3 * (-3) = 64 + 36 = 100 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 * 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 * 3} = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$ − не является решением, так как x ≠ −3
Ответ: $\frac{1}{3}$
3) $\frac{4 - x}{4x - 3} = \frac{2x - 2}{7 - x}$
4x − 3 ≠ 0
4x ≠ 3
$x ≠ \frac{3}{4}$
и
7 − x ≠ 0
x ≠ 7
$\frac{4 - x}{4x - 3} - \frac{2x - 2}{7 - x} = 0$ | * (4x − 3)(7 − x)
(4 − x)(7 − x) − (2x − 2)(4x − 3) = 0
$28 - 7x - 4x + x^2 - (8x^2 - 8x - 6x + 6) = 0$
$x^2 - 11x + 28 - 8x^2 + 8x + 6x - 6 = 0$
$-7x^2 + 3x + 22 = 0$ | * (−1)
$7x^2 - 3x - 22 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 7 * (-22) = 9 + 616 = 625 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{625}}{2 * 7} = \frac{3 + 25}{14} = \frac{28}{14} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{625}}{2 * 7} = \frac{3 - 25}{14} = \frac{-22}{14} = -\frac{11}{7} = -1\frac{4}{7}$
Ответ: $-1\frac{4}{7}$ и 2
4) $\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 6} = \frac{7}{12}$
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
и
x − 6 ≠ 0
x ≠ 6
$\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 6} - \frac{7}{12} = 0$ | * 12(x + 1)(x − 6)
12(x − 6) − 12(x + 1) − 7(x + 1)(x − 6) = 0
$12x - 72 - 12x - 12 - 7(x^2 + x - 6x - 6) = 0$
$-84 - 7x^2 - 7x + 42x + 42 = 0$
$-7x^2 + 35x - 42 = 0$ | : (−7)
$x^2 - 5x + 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Ответ: 2 и 3
5) $\frac{63}{x^2 + 3x} - \frac{2}{x^2 - 3x} = \frac{7}{x}$
$x^2 + 3x ≠ 0$
x(x + 3) ≠ 0
x ≠ 0
и
x + 3 ≠ 0
x ≠ −3
и
$x^2 - 3x ≠ 0$
x(x − 3) ≠ 0
x ≠ 0
и
x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
$\frac{63}{x(x + 3)} - \frac{2}{x(x - 3)} = \frac{7}{x}$
$\frac{63}{x(x + 3)} - \frac{2}{x(x - 3)} - \frac{7}{x} = 0$ | * x(x + 3)(x − 3)
63(x − 3) − 2(x + 3) − 7(x + 3)(x − 3) = 0
$63x - 189 - 2x - 6 - 7(x^2 - 9) = 0$
$61x - 195 - 7x^2 + 63 = 0$
$-7x^2 + 61x - 132 = 0$ | * (−1)
$7x^2 - 61x + 132 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-61)^2 - 4 * 7 * 132 = 3721 - 3696 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{61 + \sqrt{25}}{2 * 7} = \frac{61 + 5}{14} = \frac{66}{14} = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{61 - \sqrt{25}}{2 * 7} = \frac{61 - 5}{14} = \frac{56}{14} = 4$
Ответ: 4 и $4\frac{5}{7}$
6) $\frac{2x}{x - 2} + \frac{3}{x + 4} = \frac{4x - 2}{(x + 4)(x - 2)}$
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
и
x + 4 ≠ 0
x ≠ −4
$\frac{2x}{x - 2} + \frac{3}{x + 4} - \frac{4x - 2}{(x + 4)(x - 2)} = 0$ | * (x + 4)(x − 2)
$2x(x + 4) + 3(x - 2) - (4x - 2) = 0$
$2x^2 + 8x + 3x - 6 - 4x + 2 = 0$
$2x^2 + 7x - 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 * 2 * (-4) = 49 + 32 = 81 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 * 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 * 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$ − не является решением, так как x ≠ −4.
Ответ: $\frac{1}{2}$
7) $\frac{1}{x^2 + 2x} - \frac{2}{x^2 - 4} = \frac{x + 4}{5x(2 - x)}$
$\frac{1}{x(x + 2)} - \frac{2}{(x - 2)(x + 2)} = -\frac{x + 4}{5x(x - 2)}$
5x ≠ 0
x ≠ 0
и
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
и
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
$\frac{1}{x(x + 2)} - \frac{2}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{x + 4}{5x(x - 2)} = 0$ | * 5x(x + 2)(x − 2)
5(x − 2) − 10x + (x + 4)(x + 2) = 0
$5x -10 - 10x + x^2 + 4x + 2x + 8 = 0$
$-5x - 10 + x^2 + 6x + 8 = 0$
$x^2 + x - 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ − не является решением, так как x ≠ −2.
Ответ: 1
8) $\frac{2}{x^2 - 2x + 1} - \frac{1}{x^3 - 1} = \frac{3}{x^2 + x + 1}$
$\frac{2}{(x - 1)^2} - \frac{1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{3}{x^2 + x + 1} = 0$
$x^3 - 1 ≠ 0$
$x^3 ≠ 1$
x ≠ 1
$\frac{2}{(x - 1)^2} - \frac{1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{3}{x^2 + x + 1} = 0$ | * $(x - 1)^2(x^2 + x + 1)$
$2(x^2 + x + 1) - (x - 1) - 3(x - 1)^2 = 0$
$2x^2 + 2x + 2 - x + 1 - 3(x^2 - 2x + 1) = 0$
$2x^2 + x + 3 - 3x^2 + 6x - 3 = 0$
$-x^2 + 7x = 0$
−x(x − 7) = 0
−x = 0
x = 0
или
x − 7 = 0
x = 7
Ответ: 0 и 7
931. Решите уравнение:
1) $\frac{x - 1}{x + 5} + \frac{x + 5}{x - 1} = \frac{10}{3}$;
2) $\frac{x^2 - 3x + 6}{x} + \frac{2x}{x^2 - 3x + 6} = 3$;
3) $\frac{x^2}{(3x - 1)^2} - \frac{4x}{3x - 1} - 5 = 0$;
4) $\frac{24}{x^2 + 2x - 8} - \frac{15}{x^2 + 2x - 3} = 2$.
Решение:
1) $\frac{x - 1}{x + 5} + \frac{x + 5}{x - 1} = \frac{10}{3}$
x + 5 ≠ 0
x ≠ −5
и
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
$\frac{x - 1}{x + 5} + \frac{x + 5}{x - 1} - \frac{10}{3} = 0$ | * 3(x + 5)(x − 1)
$3(x - 1)^2 + 3(x + 5)^2 - 10(x + 5)(x - 1) = 0$
$3(x^2 - 2x + 1) + 3(x^2 + 10x + 25) - 10(x^2 + 5x - x - 5) = 0$
$3x^2 - 6x + 3 + 3x^2 + 30x + 75 - 10x^2 - 50x + 10x + 50 = 0$
$-4x^2 - 16x + 128 = 0$ | : (−4)
$x^2 + 4x - 32 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * (-32) = 16 + 128 = 144 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{144}}{2 * 1} = \frac{-4 + 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{144}}{2 * 1} = \frac{-4 - 12}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
Ответ: −8 и 4
2) $\frac{x^2 - 3x + 6}{x} + \frac{2x}{x^2 - 3x + 6} = 3$
x ≠ 0
и
$x^2 - 3x + 6 ≠ 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * 6 = 9 - 24 = -15 < 0$ − нет корней.
$y = \frac{x^2 - 3x + 6}{x} ≠ 0$
$y + \frac{2}{y} = 3$ | * y
$y^2 + 2 = 3y$
$y^2 - 3y + 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$\frac{x^2 - 3x + 6}{x} = 1$
или
$\frac{x^2 - 3x + 6}{x} = 2$
а)
$\frac{x^2 - 3x + 6}{x} = 1$ | * x
$x^2 - 3x + 6 = x$
$x^2 - 3x + 6 - x = 0$
$x^2 - 4x + 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * 6 = 16 - 24 = -8 < 0$ − нет корней
б)
$\frac{x^2 - 3x + 6}{x} = 2$ | * x
$x^2 - 3x + 6 = 2x$
$x^2 - 3x + 6 - 2x = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Ответ: 2 и 3
3) $\frac{x^2}{(3x - 1)^2} - \frac{4x}{3x - 1} - 5 = 0$
3x − 1 ≠ 0
3x ≠ 1
$x ≠ \frac{1}{3}$
$y = \frac{x}{3x - 1}$
$y^2 - 4y - 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$\frac{x}{3x - 1} = 5$
или
$\frac{x}{3x - 1} = -1$
а)
$\frac{x}{3x - 1} = 5$
x = 5(3x − 1)
x = 15x − 5
x − 15x = −5
−14x = −5
$x = \frac{5}{14}$
б)
$\frac{x}{3x - 1} = -1$
x = −(3x − 1)
x = −3x + 1
x + 3x = 1
4x = 1
$x = \frac{1}{4}$
Ответ: $x = \frac{1}{4}$ и $x = \frac{5}{14}$
4) $\frac{24}{x^2 + 2x - 8} - \frac{15}{x^2 + 2x - 3} = 2$
$x^2 + 2x - 8 ≠ 0$
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * 8 = 4 + 32 = 36 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} ≠ 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} ≠ -4$
и
$x^2 + 2x - 3 ≠ 0$
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} ≠ 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} ≠ -3$
$y = x^2 + 2x$
$\frac{24}{y - 8} - \frac{15}{y - 3} = 2$ | * (y − 8)(y − 3)
24(y − 3) − 15(y − 8) = 2(y − 8)(y − 3)
$24y - 72 - 15y + 120 = 2(y^2 - 8y - 3y + 24)$
$9y + 48 = 2y^2 - 16y - 6y + 48$
$9y + 48 = 2y^2 - 22y + 48$
$-2y^2 + 9y + 22y + 48 - 48 = 0$
$-2y^2 + 31y = 0$
−y(2y − 31) = 0
−y = 0
y = 0
или
2y − 31 = 0
2y = 31
y = 15,5
$x^2 + 2x = 0$
или
$x^2 + 2x = 15,5$
а)
$x^2 + 2x = 0$
x(x + 2) = 0
x = 0
или
x + 2 = 0
x = −2
б)
$x^2 + 2x = 15,5$
$x^2 + 2x - 15,5 = 0$ | * 2
$2x^2 + 4x - 31 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 2 * (-31) = 16 + 248 = 264 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{264}}{2 * 2} = \frac{-4 + \sqrt{4 * 66}}{4} = \frac{-4 + 2\sqrt{66}}{4} = \frac{2(-2 + \sqrt{66})}{4} = \frac{-2 + \sqrt{66}}{2} = -1 + \frac{\sqrt{66}}{2}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{264}}{2 * 2} = \frac{-4 - \sqrt{4 * 66}}{4} = \frac{-4 - 2\sqrt{66}}{4} = \frac{2(-2 - \sqrt{66})}{4} = \frac{-2 - \sqrt{66}}{2} = -1 - \frac{\sqrt{66}}{2}$
Ответ: $-2; 0; -1 - \frac{\sqrt{66}}{2}; -1 + \frac{\sqrt{66}}{2}$.
932. При каких значениях a уравнение $\frac{x^2 - 2ax + 3}{x - 2} = 0$ имеет единственный корень?
Решение:
$\frac{x^2 - 2ax + 3}{x - 2} = 0$
уравнение будет иметь единственный корень, если его разложение на линейные множители числителя $x^2 - 2ax + 3$ будет содержать множитель x − 2, для дальнейшего сокращения дробного выражения. то есть линейное разложение будет иметь вид:
$x^2 - 2ax + 3 = (x - 2)(x - x_2)$
тогда:
$x_1 = 2$
по теореме Виета:
$x_1x_2 = c = 3$
$2x_2 = 3$
$x_2 = 1,5$
по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -b$
2 +1,5 = −(−2a)
2a = 3,5
a = 1,75
Ответ: при a = 1,75
933. Верно ли утверждение (ответ обоснуйте):
1) если число m является корнем квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то число −m является корнем уравнения $ax^2 - bx + c = 0$;
2) если число m является корнем квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где c ≠ 0, то $\frac{1}{m}$ является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$?
Решение:
1) Пусть m − корень уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, тогда получим уравнение:
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
$x_1 = m$
по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$m + x_2 = -\frac{b}{a}$
по теореме Виета:
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
$mx_2 = \frac{c}{a}$.
Пусть −m − корень уравнения $ax^2 - bx + c = 0$, тогда получим уравнение:
$x^2 - \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
$x_3 = -m$
по теореме Виета:
$x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}$
$-m + x_4 = -(-\frac{b}{a})$
$-m + x_4 = \frac{b}{a}$
по теореме Виета:
$x_3x_4 = \frac{c}{a}$
$-mx_4 = \frac{c}{a}$
отсюда видно, что:
$m + x_2 = -(-m + x_4)$
$m + x_2 = m - x_4$
$x_2 = -x_4$
и
$mx_2 = -mx_4$
$x_2 = -x_4$
Ответ: утверждение верно
2) Пусть m − корень уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, тогда получим уравнение:
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
$x_1 = m$
по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$m + x_2 = -\frac{b}{a}$
по теореме Виета:
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
$mx_2 = \frac{c}{a}$
Пусть $\frac{1}{m}$ − корень уравнения $cx^2 + bx + a = 0$, тогда получим уравнение:
$x^2 + \frac{b}{c}x + \frac{a}{c} = 0$
$x_3 = \frac{1}{m}$
по теореме Виета:
$x_3 + x_4 = -\frac{b}{c}$
$\frac{1}{m} + x_4 = -\frac{b}{c}$
по теореме Виета:
$x_3x_4 = \frac{a}{c}$
$\frac{1}{m}x_4 = \frac{a}{c}$
имеем:
$\begin{equation*} \begin{cases} a(m + x_2) = c(\frac{1}{m} + x_4) &\\ \frac{1}{mx_2} = \frac{x_4}{m} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} a(m + x_2) = c(\frac{1}{m} + x_4) &\\ x_4 = \frac{m}{mx_2} = \frac{1}{x_2} & \end{cases} \end{equation*}$
$a(m + x_2) = c(\frac{1}{m} + \frac{1}{x_2})$ − равенство неверно
Ответ: утверждение неверно
934. Найдите все целые значения b, при которых имеет целые корни уравнение:
1) $x^2 + bx - 6 = 0$;
2) $x^2 + bx + 21 = 0$.
Решение:
1) $x^2 + bx - 6 = 0$
квадратное уравнение имеет корни, если D ≥ 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = b^2 - 4 * 1 * (-6) = b^2 + 24$
по теореме Виета:
$x_1x_2 = c = -6$
тогда могут быть следующие варианты:
1 * (−6) = −6
2 * (−3) = −6
3 * (−2) = −6
6 * (−1) = −6
по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -b$
тогда:
$1 + (-6) = -b_1$
$-b_1 = -5$
$b_1 = 5$
$2 + (-3) = -b_2$
$-b_2 = -1$
$b_2 = 1$
$3 + (-2) = -b_3$
$-b_3 = 1$
$b_3 = -1$
$6 + (-1) = -b_4$
$-b_4 = 5$
$b_4= -5$
Ответ: при b = −5; −1; 1; 5.
2) $x^2 + bx + 21 = 0$
квадратное уравнение имеет корни, если D ≥ 0, тогда:
$D = b^2 - 4ac = b^2 - 4 * 1 * 21 = b^2 - 84$
по теореме Виета:
$x_1x_2 = c = 21$
тогда могут быть следующие варианты:
1 * 21 = 21
3 * 7 = 21
−1 * (−21) = 21
−3 * (−7) = 21
по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -b$
тогда:
$1 + 21 = -b_1$
$-b_1 = 22$
$b_1 = -22$
$3 + 7 = -b_2$
$-b_2 = 10$
$b_2 = -10$
$-1 + (-21) = -b_3$
$-b_3 = -22$
$b_3 = 22$
$-3 + (-7) = -b_4$
$-b_4 = -10$
$b_4= 10$
Ответ: при b = −22; −10; 10; 22.
935. Известно, что $x_1$ и $x_2$ − корни уравнения $x^2 - (2a - 5)x + a^2 - 7 = 0$. При каком значении a выполняется равенство $2x_1 + 2x_2 = x_1x_2$?
Решение:
$x^2 - (2a - 5)x + a^2 - 7 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (2a - 5)^2 - 4 * 1 * (a^2 - 7) = 4a^2 - 20a + 25 - 4a^2 + 28 = -20a + 53$
квадратное уравнение имеет корни при D ≥ 0, тогда:
−20a + 53 ≥ 0
−20a ≥ −53
a ≤ 2,65
по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 + x_2 = -(-(2a - 5))$
$x_1 + x_2 = 2a - 5$ | * 2
$2(x_1 + x_2) = 2(2a - 5)$
$2(x_1 + x_2) = 4a - 10$
по теореме Виета:
$x_1x_2 = c$
$x_1x_2 = a^2 - 7$
$2x_1 + 2x_2 = x_1x_2$
$4a - 10 = a^2 - 7$
$-a^2 + 4a - 10 + 7 = 0$
$-a^2 + 4a - 3 = 0$ | * (−1)
$a^2 - 4a + 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4 > 0$
$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$ − не удовлетворяет условию, так как a ≤ 2,65.
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Ответ: при a = 1
936. При каком значении a произведение корней уравнения $x^2 + (a + 9)x + a^2 + 2a = 0$ равно 15?
Решение:
$x^2 + (a + 9)x + a^2 + 2a = 0$
$D = b^2 - 4ac = (a + 9)^2 - 4 * 1 * (a^2 + 2a) = a^2 + 18a + 81 - 4a^2 - 8a = -3a^2 +10a + 81$
квадратное уравнение имеет корни при D ≥ 0, тогда:
$-3a^2 +10a + 81 ≥ 0$
по условию:
$x_1x_2 = 15$
по теореме Виета:
$x_1x_2 = c$
$x_1x_2 = a^2 + 2a$
$a^2 + 2a = 15$
$a^2 + 2a - 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64 > 0$
$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
проверим условие, что $-3a^2 +10a + 81 ≥ 0$:
при a = 3:
$-3 * 3^2 +10 * 3 + 81 = -3 * 9 + 30 + 81 = -27 + 111 = 84 ≥ 0$
при a = −5:
$-3 * (-5)^2 +10 * (-5) + 81 = -3 * 25 - 50 + 81 = -75 + 31 = -44 < 0$ − не удовлетворяет условию.
Ответ: при a = 3
937. Автобус должен был проехать 255 км. Проехав $\frac{7}{17}$ пути, он остановился на 1 ч, а затем продолжил движение со скоростью на 5 км/ч меньше начальной. Найдите начальную скорость автобуса, если в пункт назначения он прибыл через 9 ч после выезда.
Решение:
Пусть x (км/ч) − начальная скорость автобуса, тогда:
$255 * \frac{7}{17} = 15 * 7 = 105$ (км) − проехал автобус до остановки;
x − 5 (км/ч) − скорость автобуса на участке пути после остановки;
255 − 105 = 150 (км) − проехал автобус после остановки;
$\frac{105}{x}$ (ч) − ехал автобус до остановки;
$\frac{150}{x - 5}$ (ч) − ехал автобус после остановки.
Так как, в пункт назначения автобус прибыл через 9 ч после выезда, можно составить уравнение:
$\frac{105}{x} + 1 + \frac{150}{x - 5} = 9$
x ≠ 0
и
x − 5 ≠ 0
x ≠ 5
$\frac{105}{x} + \frac{150}{x - 5} = 9 - 1$
$\frac{105}{x} + \frac{150}{x - 5} = 8$ | * x(x − 5)
105(x − 5) + 150x = 8x(x − 5)
$105x - 525 + 150x = 8x^2 - 40x$
$-8x^2 + 255x + 40x - 525 = 0$
$-8x^2 + 295x - 525 = 0$ | * (−1)
$8x^2 - 295x + 525 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-295)^2 - 4 * 8 * 525 = 87025 - 16800 = 70225 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{295 + \sqrt{70225}}{2 * 8} = \frac{295 + 265}{16} = \frac{560}{16} = 35$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{295 - \sqrt{70225}}{2 * 8} = \frac{295 - 265}{16} = \frac{30}{16} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$ − не удовлетворяет условию задачи, так как $x - 5 = 1\frac{7}{8} - 5 = -3\frac{1}{8} < 0$, скорость не может быть отрицательной, тогда:
x = 35 (км/ч) − начальная скорость автобуса.
Ответ: 35 км/ч
938. В слитке сплава меди и цинка содержится 20 кг цинка. К этому слитку добавили 3 кг меди и 4 кг цинка. Процентное содержание меди в полученном сплаве на 5% больше, чем в исходном. Сколько килограммов меди содержал исходный сплав?
Решение:
Пусть x (кг) − меди содержал исходный сплав, тогда:
x + 20 (кг) − масса исходного сплава;
$\frac{x}{x + 20} * 100$% = $\frac{100x}{x + 20}$% − содержание меди в исходном сплаве;
x + 20 + 3 + 4 = x + 27 (кг) − масса полученного сплава;
x + 3 (кг) − меди стало в полученном сплаве;
$\frac{x + 3}{x + 27} * 100$% = $\frac{100(x + 3)}{x + 27}$% − содержание меди в полученном сплаве.
Так как, процентное содержание меди в полученном сплаве на 5% больше, чем в исходном, можно составить уравнение:
$\frac{100(x + 3)}{x + 27} - \frac{100x}{x + 20} = 5$
x + 27 ≠ 0
x ≠ −27
и
x + 20 ≠ 0
x ≠ −20
$\frac{100x + 300}{x + 27} - \frac{100x}{x + 20} - 5 = 0$ | * (x + 27)(x + 20)
$(100x + 300)(x + 20) - 100x(x + 27) - 5(x + 27)(x + 20) = 0$
$100x^2 + 300x + 2000x + 6000 - 100x^2 - 2700x - 5(x^2 + 27x + 20x + 540) = 0$
$-400x + 6000 - 5x^2 - 135x - 100x - 2700 = 0$
$-5x^2 - 635x + 3300 = 0$ | : (−5)
$x^2 + 127x - 660 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 127^2 - 4 * 1 * (-660) = 16129 + 2640 = 18769 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-127 + \sqrt{18769}}{2 * 1} = \frac{-127 + 137}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-127 - \sqrt{18769}}{2 * 1} = \frac{-127 - 137}{2} = \frac{-264}{2} = -132$ − не удовлетворяет условию задачи, так как масса меди не может быть отрицательной, тогда:
x = 5 (кг) − меди содержал исходный сплав.
Ответ: 5 кг.
