Ответы к странице 163

648. Решите уравнение:
1) $x^2 - 7|x| = 0$;
2) $x^2 - 6|x| + x = 0$;
3) $2x^2 - \frac{3x^2}{|x|} = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 7|x| = 0$
при x ≥ 0:
$x^2 - 7x = 0$
x(x − 7) = 0
x = 0
или
x − 7 = 0
x = 7
при x < 0:
$x^2 + 7x = 0$
x(x + 7) = 0
x = 0
или
x + 7 = 0
x = −7
Ответ: x = −7, x = 0 и x = 7.

2) $x^2 - 6|x| + x = 0$
при x ≥ 0:
$x^2 - 6x + x = 0$
$x^2 - 5x = 0$
x(x − 5) = 0
x = 0
или
x − 5 = 0
x = 5
при x < 0:
$x^2 + 6x + x = 0$
$x^2 + 7x = 0$
x(x + 7) = 0
x = 0
или
x + 7 = 0
x = −7
Ответ: x = −7, x = 0 и x = 5.

3) $2x^2 - \frac{3x^2}{|x|} = 0$
x ≠ 0
при x ≥ 0:
$2x^2 - \frac{3x^2}{x} = 0$
$2x^2 - 3x = 0$
x(2x − 3) = 0
x = 0 − не является решением, так как не удовлетворяет условию
или
2x − 3 = 0
2x = 3
x = 1,5
при x < 0:
$2x^2 + \frac{3x^2}{x} = 0$
$2x^2 + 3x = 0$
x(2x + 3) = 0
x = 0 − не является решением, так как не удовлетворяет условию
или
2x + 3 = 0
2x = −3
x = −1,5
Ответ: x = −1,5 и x = 1,5.

649. При каком значении a уравнение $(a - 2)x^2 + (2a - 1)x + a^2 - 4 = 0$ является:
1) линейным;
2) приведенным квадратным;
3) неполным квадратным;
4) неполным приведенным квадратным?

Решение:

1) Уравнение является линейным, если первый коэффициент равен нулю, тогда:
a − 2 = 0
a = 2
Ответ: при a = 2

2) Уравнение является приведенным квадратным, если первый коэффициент равен 1, тогда:
a − 2 = 1
a = 1 + 2
a = 3
Ответ: при a = 3

3) Уравнение является неполным неприведенным квадратным, если второй коэффициент или свободный член равны нулю, тогда:
а)
2a − 1 = 0
2a = 1
a = 0,5
б)
$a^2 - 4 = 0$
(a − 2)(a + 2) = 0
a − 2 = 0
a = 2 − не является решением, так как уравнение не будет квадратным.
или
a + 2 = 0
a = −2
Ответ: при a = 0,5 и a = −2

4) Уравнение является неполным приведенным квадратным, если первый коэффициент равен 1, а второй или свободный член (или оба) равны нулю, тогда:
a − 2 = 1
a = 1 + 2
a = 3
Подставим значение a в уравнение:
$(3 - 2)x^2 + (2 * 3 - 1)x + 3^2 - 4 = 0$
$x^2 + (6 - 1)x + 9 - 4 = 0$
$x^2 + 5x + 5 = 0$ − не является неполным, значит нет такого значения a при котором уравнение будет неполным приведенным квадратным.
Ответ: нет такого значения a

650. Определите, при каком значении a один из корней квадратного уравнения равен 0, и найдите второй корень уравнения:
1) $x^2 + ax + a - 4 = 0$;
2) $4x^2 + (a - 8)x + a^2 + a = 0$;
3) $ax^2 + (a + 3)x + a^2 - 3a = 0$.

Решение:

1) $x^2 + ax + a - 4 = 0$
x = 0
$0^2 + a * 0 + a - 4 = 0$
a − 4 = 0
a = 4
$x^2 + 4x + 4 - 4 = 0$
$x^2 + 4x = 0$
x(x + 4) = 0
x = 0
или
x + 4 = 0
x = −4
Ответ: при a = 4: x = −4 и x = 0.

2) $4x^2 + (a - 8)x + a^2 + a = 0$
x = 0
$4 * 0^2 + (a - 8) * 0 + a^2 + a = 0$
$a^2 + a = 0$
a(a + 1) = 0
a = 0
или
a + 1 = 0
a = −1
а)
при a = 0:
$4x^2 + (0 - 8)x + 0^2 + 0 = 0$
$4x^2 - 8x = 0$
4x(x − 2) = 0
x = 0
или
x − 2 = 0
x = 2
б)
при a = −1:
$4x^2 + (-1 - 8)x + (-1)^2 + (-1) = 0$
$4x^2 - 9x + 1 - 1 = 0$
$4x^2 - 9x = 0$
x(4x − 9) = 0
x = 0
или
4x − 9 = 0
4x = 9
x = 2,25
Ответ:
при a = 0: x = 0 и x = 2;
при a = −1: x = 0 и x = 2,25.

3) $ax^2 + (a + 3)x + a^2 - 3a = 0$
x = 0
$a * 0^2 + (a + 3) * 0 + a^2 - 3a = 0$
$a^2 - 3a = 0$
a(a − 3) = 0
a = 0 − не является решением, так как уравнение не будет квадратным.
или
a − 3 = 0
a = 3
$3x^2 + (3 + 3)x + 3^2 - 3 * 3 = 0$
$3x^2 + 6x + 9 - 9 = 0$
$3x^2 + 6x = 0$
3x(x + 2) = 0
3x = 0
x = 0
или
x + 2 = 0
x = −2
Ответ: при a = 3: x = −2 и x = 0.

651. Выполните действия:
1) $\frac{3 - 2a}{2a} - \frac{1 - a^2}{a^2}$;
2) $\frac{a^2 - 6b^2}{3b} + 2b$;
3) $\frac{4}{c^2 - 4c} - \frac{c + 4}{c^2 - 16}$;
4) $\frac{56a^5}{b^4} * \frac{b^2}{14b^5}$;
5) $\frac{72a^3b}{c} : (27a^2b)$;
6) $\frac{4a^2 - 1}{a^2 - 9} : \frac{10a + 5}{a + 3}$.

Решение:

1) $\frac{3 - 2a}{2a} - \frac{1 - a^2}{a^2} = \frac{a(3 - 2a) - 2(1 - a^2)}{2a^2} = \frac{3a - 2a^2 - 2 + 2a^2}{2a^2} = \frac{3a - 2}{2a^2}$

2) $\frac{a^2 - 6b^2}{3b} + 2b = \frac{a^2 - 6b^2 + 2b * 3b}{3b} = \frac{a^2 - 6b^2 + 6b^2}{3b} = \frac{a^2}{3b}$

3) $\frac{4}{c^2 - 4c} - \frac{c + 4}{c^2 - 16} = \frac{4}{c(c - 4)} - \frac{c + 4}{(c - 4)(c + 4)} = \frac{4}{c(c - 4)} - \frac{1}{c - 4} = \frac{4 - c}{c(c - 4)} = -\frac{c - 4}{c(c - 4)} = -\frac{1}{c}$

4) $\frac{56a^5}{b^4} * \frac{b^2}{14b^5} = \frac{4a^5}{b^2} * \frac{1}{b^5} = \frac{4a^5}{b^7}$

5) $\frac{72a^3b}{c} : (27a^2b) = \frac{72a^3b}{c} * \frac{1}{27a^2b} = \frac{8a}{c} * \frac{1}{3} = \frac{8a}{3c}$

6) $\frac{4a^2 - 1}{a^2 - 9} : \frac{10a + 5}{a + 3} = \frac{(2a - 1)(2a + 1)}{(a - 3)(a + 3)} : \frac{5(2a + 1)}{a + 3} = \frac{(2a - 1)(2a + 1)}{(a - 3)(a + 3)} * \frac{a + 3}{5(2a + 1)} = \frac{2a - 1}{a - 3} * \frac{1}{5} = \frac{2a - 1}{5a - 15}$

652. Упростите выражение:
1) $10\sqrt{3} - 5\sqrt{48} + 2\sqrt{75}$;
2) $(3\sqrt{5} - \sqrt{20})\sqrt{5}$;
3) $(5 - \sqrt{2})^2$;
4) $(\sqrt{18} - \sqrt{3})\sqrt{2} + 0,5\sqrt{24}$.

Решение:

1) $10\sqrt{3} - 5\sqrt{48} + 2\sqrt{75} = 10\sqrt{3} - 5\sqrt{16 * 3} + 2\sqrt{25 * 3} = 10\sqrt{3} - 5 * 4\sqrt{3} + 2 * 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} - 20\sqrt{3} + 10\sqrt{3} = 0$

2) $(3\sqrt{5} - \sqrt{20})\sqrt{5} = (3\sqrt{5} - \sqrt{4 * 5})\sqrt{5} = (3\sqrt{5} - 2\sqrt{5})\sqrt{5} = \sqrt{5} * \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 = 5$

3) $(5 - \sqrt{2})^2 = 5^2 - 2 * 5 * \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 25 - 10\sqrt{2} + 2 = 27 - 10\sqrt{2}$

4) $(\sqrt{18} - \sqrt{3})\sqrt{2} + 0,5\sqrt{24} = \sqrt{18} * \sqrt{2} - \sqrt{3} * \sqrt{2} + 0,5\sqrt{4 * 6} = \sqrt{36} - \sqrt{6} + 0,5 * 2 * \sqrt{6} = 6 - \sqrt{6} + \sqrt{6} = 6$

653. Какой из графиков, представленных на рисунке 42, является графиком функции:
1) $y = x^2$;
2) y = 2x;
3) $y = \frac{x}{2}$;
4) $y = \frac{2}{x}$?

Решение:

1) $y = x^2$ − рисунок б;
2) y = 2x − рисунок а;
3) $y = \frac{x}{2}$ − рисунок г;
4) $y = \frac{2}{x}$ − рисунок в.

654. Ученик задумал двузначное число, Если каждую цифру этого числа увеличить на 2, то полученное число будет на 13 меньше удвоенного задуманного числа. Какое число было задумано?

Решение:

Пусть:
x − цифра единиц первоначального числа;
y − цифра десятков первоначального числа.
Тогда:
10y + x − первоначальное число;
x + 2 − стала цифра единиц;
y + 2 − стала цифра десятков;
10(y + 2) + (x + 2) − стало число.
Так как, полученное число будет на 13 меньше удвоенного задуманного числа, можно составить уравнение:
10(y + 2) + (x + 2) + 13 = 2(10y + x)
10y + 20 + x + 2 + 13 = 20y + 2x
10y + x + 35 − 20y − 2x = 0
−10y − x = −35
10y + x = 35 − первоначальное число, значит:
y = 3
x = 5
Ответ: число 35.