Ответы к странице 161
623. Какие из чисел 1; 0; −3; 2; −10 являются корнями уравнения $x^2 + 9x - 10 = 0$?
Решение:
$x^2 + 9x - 10 = 0$
при x = 1:
$1^2 + 9 * 1 - 10 = 0$
1 + 9 − 10 = 0
0 = 0
x = 1 − является корнем уравнения
при x = 0:
$0^2 + 9 * 0 - 10 = 0$
0 + 0 − 10 = 0
−10 ≠ 0
x = 0 − не является корнем уравнения
при x = −3:
$(-3)^2 + 9 * (-3) - 10 = 0$
9 − 27 − 10 = 0
−28 ≠ 0
x = −3 − не является корнем уравнения
при x = 2:
$2^2 + 9 * 2 - 10 = 0$
4 + 18 − 10 = 0
12 ≠ 0
x = 2 − не является корнем уравнения
при x = −10:
$(-10)^2 + 9 * (-10) - 10 = 0$
100 − 90 − 10 = 0
0 = 0
x = −10 − является корнем уравнения
Ответ: корнями уравнения являются числа 1 и −10.
624. Докажите, что:
1) число −1 не является корнем уравнения $x^2 - 2x + 3 = 0$;
2) числа $-\frac{1}{3}$ и −3 являются корнями уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$;
3) числа $-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ являются корнями уравнения $3x^2 - 6 = 0$.
Решение:
1) $x^2 - 2x + 3 = 0$
при x = −1:
$(-1)^2 - 2 * (-1) + 3 = 0$
1 + 2 + 3 = 0
6 ≠ 0
x = −1 не является корнем уравнения
2) $3x^2 + 10x + 3 = 0$
при $x = -\frac{1}{3}$:
$3 * (-\frac{1}{3})^2 + 10 * (-\frac{1}{3}) + 3 = 0$
$3 * \frac{1}{9} - \frac{10}{3} + 3 = 0$
$\frac{1}{3} - \frac{10}{3} + 3 = 0$
$-\frac{9}{3} + 3 = 0$
−3 + 3 = 0
0 = 0
$x = -\frac{1}{3}$ − является корнем квадратного уравнения.
при x = −3:
$3 * (-3)^2 + 10 * (-3) + 3 = 0$
3 * 9 − 30 + 3 = 0
27 − 30 + 3 = 0
30 − 30 = 0
0 = 0
x = −3 − является корнем квадратного уравнения.
3) $3x^2 - 6 = 0$
при $x = -\sqrt{2}$:
$3 * (-\sqrt{2})^2 - 6 = 0$
3 * 2 − 6 = 0
6 − 6 = 0
0 = 0
$x = -\sqrt{2}$ − является корнем уравнения.
при $x = \sqrt{2}$:
$3 * (\sqrt{2})^2 - 6 = 0$
3 * 2 − 6 = 0
6 − 6 = 0
0 = 0
$x = \sqrt{2}$ − является корнем уравнения.
625. Докажите, что:
1) число −5 является корнем уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$;
2) число 4 не является корнем уравнения $\frac{1}{4}x^2 - 4x = 0$.
Решение:
1) $x^2 + 3x - 10 = 0$
при x = −5:
$(-5)^2 + 3 * (-5) - 10 = 0$
25 − 15 − 10 = 0
0 = 0
x = −5 − является корнем уравнения
2) $\frac{1}{4}x^2 - 4x = 0$
при x = 4:
$\frac{1}{4} * 4^2 - 4 * 4 = 0$
$\frac{1}{4} * 16 - 16 = 0$
4 − 16 = 0
−12 ≠ 0
x = 4 − не является корнем уравнения
626. Решите уравнение:
1) $5x^2 - 45 = 0$;
2) $x^2 + 8x = 0$;
3) $2x^2 - 10 = 0$;
4) $2x^2 - 10x = 0$;
5) $64x^2 - 9 = 0$;
6) $x^2 + 16 = 0$.
Решение:
1) $5x^2 - 45 = 0$
$5(x^2 - 9) = 0$
$x^2 - 9 = 0$
(x − 3)(x + 3) = 0
x − 3 = 0
x = 3
или
x + 3 = 0
x = −3
Ответ: x = −3 и x = 3
2) $x^2 + 8x = 0$
x(x + 8) = 0
x = 0
или
x + 8 = 0
x = −8
Ответ: x = −8 и x = 0
3) $2x^2 - 10 = 0$
$2(x^2 - 5) = 0$
$x^2 - (\sqrt{5})^5 = 0$
$(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = 0$
$x - \sqrt{5} = 0$
$x = \sqrt{5}$
или
$x + \sqrt{5} = 0$
$x = -\sqrt{5}$
Ответ: $x = -\sqrt{5}$ и $x = \sqrt{5}$
4) $2x^2 - 10x = 0$
2x(x − 5) = 0
2x = 0
x = 0
или
x − 5 = 0
x = 5
Ответ: x = 0 и x = 5
5) $64x^2 - 9 = 0$
(8x − 3)(8x + 3) = 0
8x − 3 = 0
8x = 3
$x = \frac{3}{8}$
или
8x + 3 = 0
8x = −3
$x = -\frac{3}{8}$
Ответ: $x = -\frac{3}{8}$ и $x = \frac{3}{8}$
6) $x^2 + 16 = 0$
$x^2 = - 16$ − нет корней
Ответ: нет корней
627. Решите уравнение:
1) $x^2 + 7x = 0$;
2) $2x^2 - 11x = 0$;
3) $3x^2 - 6 = 0$;
4) $-8x^2 = 0$.
Решение:
1) $x^2 + 7x = 0$
x(x + 7) = 0
x = 0
или
x + 7 = 0
x = −7
Ответ: x = −7 или x = 0
2) $2x^2 - 11x = 0$
x(2x − 11) = 0
x = 0
или
2x − 11 = 0
2x = 11
x = 5,5
Ответ: x = 0 или x = 5,5
3) $3x^2 - 6 = 0$
$3(x^2 - 2) = 0$
$x^2 - (\sqrt{2})^2 = 0$
$(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0$
$x - \sqrt{2} = 0$
$x = \sqrt{2}$
или
$x + \sqrt{2} = 0$
$x = -\sqrt{2}$
Ответ: $x = -\sqrt{2}$ и $x = \sqrt{2}$
4) $-8x^2 = 0$
$x^2 = 0$
x = 0
Ответ: x = 0
628. Решите уравнение:
1) (3x − 1)(x + 4) = −4;
2) $(2x - 1)^2 - 6(6 - x) = 2x$;
3) $(x + 2)(x - 3) - (x - 5)(x + 5) = x^2 - x$.
Решение:
1) (3x − 1)(x + 4) = −4
$3x^2 - x + 12x - 4 + 4 = 0$
$3x^2 + 11x = 0$
x(3x + 11) = 0
x = 0
или
3x + 11 = 0
3x = −11
$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3}$
Ответ: $x = -3\frac{2}{3}$ или x = 0
2) $(2x - 1)^2 - 6(6 - x) = 2x$
$4x^2 - 4x + 1 - 36 + 6x - 2x = 0$
$4x^2 - 35 = 0$
$4x^2 = 35$
$x^2 = \frac{35}{4}$
$x = \sqrt{\frac{35}{4}}$
$x = \frac{\sqrt{35}}{2}$
или
$x = -\frac{\sqrt{35}}{2}$
Ответ: $x = -\frac{\sqrt{35}}{2}$ и $x = \frac{\sqrt{35}}{2}$
3) $(x + 2)(x - 3) - (x - 5)(x + 5) = x^2 - x$
$x^2 + 2x - 3x - 6 - (x^2 - 25) - x^2 + x = 0$
$x^2 - x - 6 - x^2 + 25 - x^2 + x = 0$
$-x^2 + 19 = 0$
$-x^2 = -19$
$x^2 = 19$
$x = \sqrt{19}$
или
$x = -\sqrt{19}$
Ответ: $x = -\sqrt{19}$ и $x = \sqrt{19}$
629. Решите уравнение:
1) $(3x - 2)(3x + 2) + (4x - 5)^2 = 10x + 21$;
2) $(2x - 1)(x + 8) - (x - 1)(x + 1) = 15x$.
Решение:
1) $(3x - 2)(3x + 2) + (4x - 5)^2 = 10x + 21$
$9x^2 - 4 + 16x^2 - 40x + 25 - 10x - 21 = 0$
$25x^2 - 50x = 0$
25x(x − 2) = 0
25x = 0
x = 0
или
x − 2 = 0
x = 2
Ответ: x = 0 или x = 2
2) $(2x - 1)(x + 8) - (x - 1)(x + 1) = 15x$
$2x^2 - x + 16x - 8 - (x^2 - 1) - 15x = 0$
$2x^2 + 15x - 8 - x^2 + 1 - 15x = 0$
$x^2 - 7 = 0$
$x^2 = 7$
$x = \sqrt{7}$
или
$x = -\sqrt{7}$
Ответ: $x = -\sqrt{7}$ и $x = \sqrt{7}$
630. Найдите два последовательных натуральных числа, произведение которых на 36 больше меньшего из них.
Решение:
Пусть x − меньшее число, тогда:
x + 1 − большее число;
x(x + 1) − произведение этих чисел.
Так как, произведение данных чисел на 36 больше меньшего из них, можно составить уравнение:
x(x + 1) − x = 36
$x^2 + x - x = 36$
$x^2 = 36$
x = 6
или
x = −6 − не является решением задачи, так как не является натуральным числом.
Тогда:
x = 6 − меньшее число;
x + 1 = 6 + 1 = 7 − большее число.
Ответ: 6 и 7
631. Найдите два последовательных натуральных числа, произведение которых на 80 больше большего из них.
Решение:
Пусть x − меньшее число, тогда:
x + 1 − большее число;
x(x + 1) − произведение этих чисел.
Так как, произведение данных чисел на 80 больше большего из них, можно составить уравнение:
x(x + 1) − (x + 1) = 80
$x^2 + x - x - 1 = 80$
$x^2 - 1 - 80 = 0$
$x^2 - 81 = 0$
(x − 9)(x + 9) = 0
x = 9
или
x + 9 = 0
x = −9 − не является решением задачи, так как не является натуральным числом.
Тогда:
x = 9 − меньшее число;
x + 1 = 9 + 1 = 10 − большее число.
Ответ: 9 и 10
632. Докажите, что числа $2 - \sqrt{3}$ и $2 + \sqrt{3}$ являются корнями уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$.
Решение:
$x^2 - 4x + 1 = 0$
при $x = 2 - \sqrt{3}$:
$(2 - \sqrt{3})^2 - 4(2 - \sqrt{3}) + 1 = 0$
$4 - 4\sqrt{3} + 3 - 8 + 4\sqrt{3} + 1 = 0$
0 = 0
$x = 2 - \sqrt{3}$ − является корнем уравнения.
при $x = 2 + \sqrt{3}$:
$(2 + \sqrt{3})^2 - 4(2 + \sqrt{3}) + 1 = 0$
$4 + 4\sqrt{3} + 3 - 8 - 4\sqrt{3} + 1 = 0$
0 = 0
$x = 2 + \sqrt{3}$ − является корнем уравнения.
633. Решите уравнение:
1) $\frac{x^2 - 8x}{6} = x$;
2) $\frac{x^2 - 3}{5} - \frac{x^2 - 1}{2} = 2$.
Решение:
1) $\frac{x^2 - 8x}{6} = x$ |* 6
$x^2 - 8x = 6x$
$x^2 - 8x - 6x = 0$
$x^2 - 14x = 0$
x(x − 14) = 0
x = 0
или
x − 14 = 0
x = 14
Ответ: x = 0 и x = 14
2) $\frac{x^2 - 3}{5} - \frac{x^2 - 1}{2} = 2$ |* 10
$2(x^2 - 3) - 5(x^2 - 1) = 20$
$2x^2 - 6 - 5x^2 + 5 - 20 = 0$
$-3x^2 - 21 = 0$
$-3(x^2 + 7) = 0$
$x^2 + 7 = 0$
$x^2 = -7$ − нет корней
Ответ: нет корней
634. Решите уравнение:
1) $\frac{x^2 + x}{7} - \frac{x}{3} = 0$;
2) $\frac{x^2 + 1}{6} - \frac{x^2 + 2}{4} = -1$.
Решение:
1) $\frac{x^2 + x}{7} - \frac{x}{3} = 0$ |* 21
$3(x^2 + x) - 7x = 0$
$3x^2 + 3x - 7x = 0$
$3x^2 - 4x = 0$
x(3x − 4) = 0
x = 0
или
3x = 4
$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$
Ответ: x = 0 или $x = 1\frac{1}{3}$
2) $\frac{x^2 + 1}{6} - \frac{x^2 + 2}{4} = -1$ |* 12
$2(x^2 + 1) - 3(x^2 + 2) = -12$
$2x^2 + 2 - 3x^2 - 6 + 12 = 0$
$-x^2 + 8 = 0$
$-(x^2 - 8) = 0$
$x^2 - 8 = 0$
$x^2 - (\sqrt{8})^2 = 0$
$(x - \sqrt{8})(x + \sqrt{8}) = 0$
$x - \sqrt{8} = 0$
$x = \sqrt{8}$
$x = \sqrt{4 * 2}$
$x = 2\sqrt{2}$
или
$x + \sqrt{8} = 0$
$x = -\sqrt{4 * 2}$
$x = -2\sqrt{2}$
Ответ: $x = -2\sqrt{2}$ и $x = 2\sqrt{2}$
635. При каком значении m:
1) число 2 является корнем уравнения $x^2 + mx - 6 = 0$;
2) число −3 является корнем уравнения $2x^2 - 7x + m = 0$;
3) число $\frac{1}{7}$ является корнем уравнения $m^2x^2 + 14x - 3 = 0$?
Решение:
1) $x^2 + mx - 6 = 0$
x = 2
$2^2 + 2m - 6 = 0$
4 + 2m − 6 = 0
2m = 6 − 4
2m = 2
m = 1
Ответ: при m = 1
2) $2x^2 - 7x + m = 0$
x = −3
$2 * (-3)^2 - 7 * (-3) + m = 0$
2 * 9 + 21 + m = 0
18 + 21 + m = 0
39 + m = 0
m = −39
Ответ: при m = −39
3) $m^2x^2 + 14x - 3 = 0$
$x = \frac{1}{7}$
$m^2 * (\frac{1}{7})^2 + 14 * \frac{1}{7} - 3 = 0$
$\frac{1}{49}m^2 + 2 - 3 = 0$
$\frac{1}{49}m^2 - 1 = 0$
$(\frac{1}{7}m - 1)(\frac{1}{7}m + 1) = 0$
$\frac{1}{7}m - 1 = 0$
$\frac{1}{7}m = 1$
m = 7
или
$\frac{1}{7}m + 1 = 0$
$\frac{1}{7}m = -1$
m = −7
Ответ: при m = −7 и m = 7
