Ответы к странице 161
623. Какие из чисел 1; 0; −3; 2; −10 являются корнями уравнения x2+9x−10=0x2+9x−10=0?
Решение:
x2+9x−10=0x2+9x−10=0
при x = 1:
12+9∗1−10=012+9∗1−10=0
1 + 9 − 10 = 0
0 = 0
x = 1 − является корнем уравнения
при x = 0:
02+9∗0−10=002+9∗0−10=0
0 + 0 − 10 = 0
−10 ≠ 0
x = 0 − не является корнем уравнения
при x = −3:
(−3)2+9∗(−3)−10=0(−3)2+9∗(−3)−10=0
9 − 27 − 10 = 0
−28 ≠ 0
x = −3 − не является корнем уравнения
при x = 2:
22+9∗2−10=022+9∗2−10=0
4 + 18 − 10 = 0
12 ≠ 0
x = 2 − не является корнем уравнения
при x = −10:
(−10)2+9∗(−10)−10=0(−10)2+9∗(−10)−10=0
100 − 90 − 10 = 0
0 = 0
x = −10 − является корнем уравнения
Ответ: корнями уравнения являются числа 1 и −10.
624. Докажите, что:
1) число −1 не является корнем уравнения x2−2x+3=0x2−2x+3=0;
2) числа −13−13 и −3 являются корнями уравнения 3x2+10x+3=03x2+10x+3=0;
3) числа −√2−√2 и √2√2 являются корнями уравнения 3x2−6=03x2−6=0.
Решение:
1) x2−2x+3=0x2−2x+3=0
при x = −1:
(−1)2−2∗(−1)+3=0(−1)2−2∗(−1)+3=0
1 + 2 + 3 = 0
6 ≠ 0
x = −1 не является корнем уравнения
2) 3x2+10x+3=03x2+10x+3=0
при x=−13x=−13:
3∗(−13)2+10∗(−13)+3=03∗(−13)2+10∗(−13)+3=0
3∗19−103+3=03∗19−103+3=0
13−103+3=013−103+3=0
−93+3=0−93+3=0
−3 + 3 = 0
0 = 0
x=−13x=−13 − является корнем квадратного уравнения.
при x = −3:
3∗(−3)2+10∗(−3)+3=03∗(−3)2+10∗(−3)+3=0
3 * 9 − 30 + 3 = 0
27 − 30 + 3 = 0
30 − 30 = 0
0 = 0
x = −3 − является корнем квадратного уравнения.
3) 3x2−6=03x2−6=0
при x=−√2x=−√2:
3∗(−√2)2−6=03∗(−√2)2−6=0
3 * 2 − 6 = 0
6 − 6 = 0
0 = 0
x=−√2x=−√2 − является корнем уравнения.
при x=√2x=√2:
3∗(√2)2−6=03∗(√2)2−6=0
3 * 2 − 6 = 0
6 − 6 = 0
0 = 0
x=√2x=√2 − является корнем уравнения.
625. Докажите, что:
1) число −5 является корнем уравнения x2+3x−10=0x2+3x−10=0;
2) число 4 не является корнем уравнения 14x2−4x=014x2−4x=0.
Решение:
1) x2+3x−10=0x2+3x−10=0
при x = −5:
(−5)2+3∗(−5)−10=0(−5)2+3∗(−5)−10=0
25 − 15 − 10 = 0
0 = 0
x = −5 − является корнем уравнения
2) 14x2−4x=014x2−4x=0
при x = 4:
14∗42−4∗4=014∗42−4∗4=0
14∗16−16=014∗16−16=0
4 − 16 = 0
−12 ≠ 0
x = 4 − не является корнем уравнения
626. Решите уравнение:
1) 5x2−45=05x2−45=0;
2) x2+8x=0x2+8x=0;
3) 2x2−10=02x2−10=0;
4) 2x2−10x=02x2−10x=0;
5) 64x2−9=064x2−9=0;
6) x2+16=0x2+16=0.
Решение:
1) 5x2−45=05x2−45=0
5(x2−9)=05(x2−9)=0
x2−9=0x2−9=0
(x − 3)(x + 3) = 0
x − 3 = 0
x = 3
или
x + 3 = 0
x = −3
Ответ: x = −3 и x = 3
2) x2+8x=0x2+8x=0
x(x + 8) = 0
x = 0
или
x + 8 = 0
x = −8
Ответ: x = −8 и x = 0
3) 2x2−10=02x2−10=0
2(x2−5)=02(x2−5)=0
x2−(√5)5=0x2−(√5)5=0
(x−√5)(x+√5)=0(x−√5)(x+√5)=0
x−√5=0x−√5=0
x=√5x=√5
или
x+√5=0x+√5=0
x=−√5x=−√5
Ответ: x=−√5x=−√5 и x=√5x=√5
4) 2x2−10x=02x2−10x=0
2x(x − 5) = 0
2x = 0
x = 0
или
x − 5 = 0
x = 5
Ответ: x = 0 и x = 5
5) 64x2−9=064x2−9=0
(8x − 3)(8x + 3) = 0
8x − 3 = 0
8x = 3
x=38x=38
или
8x + 3 = 0
8x = −3
x=−38x=−38
Ответ: x=−38x=−38 и x=38x=38
6) x2+16=0x2+16=0
x2=−16x2=−16 − нет корней
Ответ: нет корней
627. Решите уравнение:
1) x2+7x=0x2+7x=0;
2) 2x2−11x=02x2−11x=0;
3) 3x2−6=03x2−6=0;
4) −8x2=0−8x2=0.
Решение:
1) x2+7x=0x2+7x=0
x(x + 7) = 0
x = 0
или
x + 7 = 0
x = −7
Ответ: x = −7 или x = 0
2) 2x2−11x=02x2−11x=0
x(2x − 11) = 0
x = 0
или
2x − 11 = 0
2x = 11
x = 5,5
Ответ: x = 0 или x = 5,5
3) 3x2−6=03x2−6=0
3(x2−2)=03(x2−2)=0
x2−(√2)2=0x2−(√2)2=0
(x−√2)(x+√2)=0(x−√2)(x+√2)=0
x−√2=0x−√2=0
x=√2x=√2
или
x+√2=0x+√2=0
x=−√2x=−√2
Ответ: x=−√2x=−√2 и x=√2x=√2
4) −8x2=0−8x2=0
x2=0x2=0
x = 0
Ответ: x = 0
628. Решите уравнение:
1) (3x − 1)(x + 4) = −4;
2) (2x−1)2−6(6−x)=2x(2x−1)2−6(6−x)=2x;
3) (x+2)(x−3)−(x−5)(x+5)=x2−x(x+2)(x−3)−(x−5)(x+5)=x2−x.
Решение:
1) (3x − 1)(x + 4) = −4
3x2−x+12x−4+4=03x2−x+12x−4+4=0
3x2+11x=03x2+11x=0
x(3x + 11) = 0
x = 0
или
3x + 11 = 0
3x = −11
x=−113=−323x=−113=−323
Ответ: x=−323x=−323 или x = 0
2) (2x−1)2−6(6−x)=2x(2x−1)2−6(6−x)=2x
4x2−4x+1−36+6x−2x=04x2−4x+1−36+6x−2x=0
4x2−35=04x2−35=0
4x2=354x2=35
x2=354x2=354
x=√354x=√354
x=√352x=√352
или
x=−√352x=−√352
Ответ: x=−√352x=−√352 и x=√352x=√352
3) (x+2)(x−3)−(x−5)(x+5)=x2−x(x+2)(x−3)−(x−5)(x+5)=x2−x
x2+2x−3x−6−(x2−25)−x2+x=0x2+2x−3x−6−(x2−25)−x2+x=0
x2−x−6−x2+25−x2+x=0x2−x−6−x2+25−x2+x=0
−x2+19=0−x2+19=0
−x2=−19−x2=−19
x2=19x2=19
x=√19x=√19
или
x=−√19x=−√19
Ответ: x=−√19x=−√19 и x=√19x=√19
629. Решите уравнение:
1) (3x−2)(3x+2)+(4x−5)2=10x+21(3x−2)(3x+2)+(4x−5)2=10x+21;
2) (2x−1)(x+8)−(x−1)(x+1)=15x(2x−1)(x+8)−(x−1)(x+1)=15x.
Решение:
1) (3x−2)(3x+2)+(4x−5)2=10x+21(3x−2)(3x+2)+(4x−5)2=10x+21
9x2−4+16x2−40x+25−10x−21=09x2−4+16x2−40x+25−10x−21=0
25x2−50x=025x2−50x=0
25x(x − 2) = 0
25x = 0
x = 0
или
x − 2 = 0
x = 2
Ответ: x = 0 или x = 2
2) (2x−1)(x+8)−(x−1)(x+1)=15x(2x−1)(x+8)−(x−1)(x+1)=15x
2x2−x+16x−8−(x2−1)−15x=02x2−x+16x−8−(x2−1)−15x=0
2x2+15x−8−x2+1−15x=02x2+15x−8−x2+1−15x=0
x2−7=0x2−7=0
x2=7x2=7
x=√7x=√7
или
x=−√7x=−√7
Ответ: x=−√7x=−√7 и x=√7x=√7
630. Найдите два последовательных натуральных числа, произведение которых на 36 больше меньшего из них.
Решение:
Пусть x − меньшее число, тогда:
x + 1 − большее число;
x(x + 1) − произведение этих чисел.
Так как, произведение данных чисел на 36 больше меньшего из них, можно составить уравнение:
x(x + 1) − x = 36
x2+x−x=36x2+x−x=36
x2=36x2=36
x = 6
или
x = −6 − не является решением задачи, так как не является натуральным числом.
Тогда:
x = 6 − меньшее число;
x + 1 = 6 + 1 = 7 − большее число.
Ответ: 6 и 7
631. Найдите два последовательных натуральных числа, произведение которых на 80 больше большего из них.
Решение:
Пусть x − меньшее число, тогда:
x + 1 − большее число;
x(x + 1) − произведение этих чисел.
Так как, произведение данных чисел на 80 больше большего из них, можно составить уравнение:
x(x + 1) − (x + 1) = 80
x2+x−x−1=80x2+x−x−1=80
x2−1−80=0x2−1−80=0
x2−81=0x2−81=0
(x − 9)(x + 9) = 0
x = 9
или
x + 9 = 0
x = −9 − не является решением задачи, так как не является натуральным числом.
Тогда:
x = 9 − меньшее число;
x + 1 = 9 + 1 = 10 − большее число.
Ответ: 9 и 10
632. Докажите, что числа 2−√32−√3 и 2+√32+√3 являются корнями уравнения x2−4x+1=0x2−4x+1=0.
Решение:
x2−4x+1=0x2−4x+1=0
при x=2−√3x=2−√3:
(2−√3)2−4(2−√3)+1=0(2−√3)2−4(2−√3)+1=0
4−4√3+3−8+4√3+1=04−4√3+3−8+4√3+1=0
0 = 0
x=2−√3x=2−√3 − является корнем уравнения.
при x=2+√3x=2+√3:
(2+√3)2−4(2+√3)+1=0(2+√3)2−4(2+√3)+1=0
4+4√3+3−8−4√3+1=04+4√3+3−8−4√3+1=0
0 = 0
x=2+√3x=2+√3 − является корнем уравнения.
633. Решите уравнение:
1) x2−8x6=xx2−8x6=x;
2) x2−35−x2−12=2x2−35−x2−12=2.
Решение:
1) x2−8x6=xx2−8x6=x |* 6
x2−8x=6xx2−8x=6x
x2−8x−6x=0x2−8x−6x=0
x2−14x=0x2−14x=0
x(x − 14) = 0
x = 0
или
x − 14 = 0
x = 14
Ответ: x = 0 и x = 14
2) x2−35−x2−12=2x2−35−x2−12=2 |* 10
2(x2−3)−5(x2−1)=202(x2−3)−5(x2−1)=20
2x2−6−5x2+5−20=02x2−6−5x2+5−20=0
−3x2−21=0−3x2−21=0
−3(x2+7)=0−3(x2+7)=0
x2+7=0x2+7=0
x2=−7x2=−7 − нет корней
Ответ: нет корней
634. Решите уравнение:
1) x2+x7−x3=0x2+x7−x3=0;
2) x2+16−x2+24=−1.
Решение:
1) x2+x7−x3=0 |* 21
3(x2+x)−7x=0
3x2+3x−7x=0
3x2−4x=0
x(3x − 4) = 0
x = 0
или
3x = 4
x=43=113
Ответ: x = 0 или x=113
2) x2+16−x2+24=−1 |* 12
2(x2+1)−3(x2+2)=−12
2x2+2−3x2−6+12=0
−x2+8=0
−(x2−8)=0
x2−8=0
x2−(√8)2=0
(x−√8)(x+√8)=0
x−√8=0
x=√8
x=√4∗2
x=2√2
или
x+√8=0
x=−√4∗2
x=−2√2
Ответ: x=−2√2 и x=2√2
635. При каком значении m:
1) число 2 является корнем уравнения x2+mx−6=0;
2) число −3 является корнем уравнения 2x2−7x+m=0;
3) число 17 является корнем уравнения m2x2+14x−3=0?
Решение:
1) x2+mx−6=0
x = 2
22+2m−6=0
4 + 2m − 6 = 0
2m = 6 − 4
2m = 2
m = 1
Ответ: при m = 1
2) 2x2−7x+m=0
x = −3
2∗(−3)2−7∗(−3)+m=0
2 * 9 + 21 + m = 0
18 + 21 + m = 0
39 + m = 0
m = −39
Ответ: при m = −39
3) m2x2+14x−3=0
x=17
m2∗(17)2+14∗17−3=0
149m2+2−3=0
149m2−1=0
(17m−1)(17m+1)=0
17m−1=0
17m=1
m = 7
или
17m+1=0
17m=−1
m = −7
Ответ: при m = −7 и m = 7
