Ответы к странице 24

94. Вместо звездочки запишите такой одночлен, чтобы выполнялось равенство:
1) $a^2b ⋅ * = a^2b^2$;
2) $5xy^3 ⋅ * = 10x^4y^6$;
3) $6x^5 ⋅ * = 12x^{10}$.

Решение:

1) $a^2b ⋅ * = a^2b^2$
$* = \frac{a^2b^2}{a^2b} = b$
Ответ: $a^2b ⋅ b = a^2b^2$

2) $5xy^3 ⋅ * = 10x^4y^6$
$* = \frac{10x^4y^6}{5xy^3} = 2x^3y^3$
Ответ: $5xy^3 ⋅ 2x^3y^3 = 10x^4y^6$

3) $6x^5 ⋅ * = 12x^{10}$
$* = \frac{12x^{10}}{6x^5} = 2x^5$
Ответ: $6x^5 ⋅ 2x^5 = 12x^{10}$

95. Вместо звездочки запишите такой многочлен, чтобы выполнялось равенство:
1) $* ⋅ (a - b) = (a + b)(a - b)^2$;
2) $(a + 10b) ⋅ * = a^3 - 100ab^2$.

Решение:

1) $* ⋅ (a - b) = (a + b)(a - b)^2$
$* = \frac{(a + b)(a - b)^2}{a - b} = (a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
Ответ: $(a^2 - b^2) ⋅ (a - b) = (a + b)(a - b)^2$

2) $(a + 10b) ⋅ * = a^3 - 100ab^2$
$* = \frac{a^3 - 100ab^2}{a + 10b} = \frac{a(a^2 - 100b^2)}{a + 10b} = \frac{a(a - 10b)(a + 10b)}{a + 10b} = a(a - 10b)$
Ответ: $(a + 10b) ⋅ a(a - 10b) = a^3 - 100ab^2$

96. Приведите к общему знаменателю дроби:
1) $\frac{1}{3a}$ и $\frac{2}{3b}$;
2) $\frac{4m}{p^3q^2}$ и $\frac{3n}{p^2q^3}$;
3) $\frac{5}{m - n}$ и $\frac{6}{m + n}$;
4) $\frac{6x}{x - 2y}$ и $\frac{y}{x + y}$;
5) $\frac{y}{6y - 36}$ и $\frac{1}{y^2 - 6y}$;
6) $\frac{1}{a^2 - 1}$ и $\frac{1}{a^2 + a}$.

Решение:

1) $\frac{1}{3a} = \frac{1 * b}{3a * b} = \frac{b}{3ab}$
$\frac{2}{3b} = \frac{2 * a}{3b * a} = \frac{2a}{3ab}$

2) $\frac{4m}{p^3q^2} = \frac{4m * q}{p^3q^2 * q} = \frac{4mq}{p^3q^3}$
$\frac{3n}{p^2q^3} = \frac{3n * p}{p^2q^3 * p} = \frac{3np}{p^3q^3}$

3) $\frac{5}{m - n} = \frac{5(m + n)}{(m - n)(m + n)} = \frac{5(m + n)}{m^2 - n^2}$
$\frac{6}{m + n} = \frac{6(m - n)}{(m + n)(m - n)} = \frac{6(m - n)}{m^2 - n^2}$

4) $\frac{6x}{x - 2y} = \frac{6x(x + y)}{(x - 2y)(x + y)}$
$\frac{y}{x + y} = \frac{y(x - 2y)}{(x - 2y)(x + y)}$

5) $\frac{y}{6y - 36} = \frac{y}{6(y - 6)} = \frac{y * y}{6(y - 6) * y} = \frac{y^2}{6y(y - 6)}$
$\frac{1}{y^2 - 6y} = \frac{1}{y(y - 6)} = \frac{1 * 6}{y(y - 6) * 6} = \frac{6}{6y(y - 6)}$

6) $\frac{1}{a^2 - 1} = \frac{1}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a}{a(a - 1)(a + 1)} = \frac{a}{a(a^2 - 1)}$
$\frac{1}{a^2 + a} = \frac{1}{a(a + 1)} = \frac{a - 1}{a(a + 1)(a - 1)} = \frac{a - 1}{a(a^2 - 1)}$

97. Может ли четное число иметь нечетных делителей больше, чем четных?

Решение:

Пусть n − четное число; k − нечетное число.
Тогда возможны варианты: nk − четное число; nn − четное число; kk − нечетное число.
Произведение четного и нечетного чисел − четное число;
произведение четного и четного чисел − четное число;
произведение нечетного и нечетного чисел − нечетное число.
Получается, чтобы получить четное произведение каждому нечетному делителю обязательно должен соответствовать четный делитель. Следовательно нечетных делителей не может быть больше, чем четных.
Ответ: нет, не может.