Ответы к странице 9
14. Известно, что 4a + 8b = 10. Найдите значение выражения:
1) 2b + a;
2) $\frac{5}{a + 2b}$;
3) $\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{2a + 4b}$.
Решение:
1) 4a + 8b = 10
4(a + 2b) = 10
$2b + a = \frac{10}{4}$
$2b + a = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$
2) $\frac{5}{a + 2b}$
т.к. $2b + a = a + 2b = \frac{5}{2}$, то:
$\frac{5}{\frac{5}{2}} = 5 * \frac{2}{5} = 2$
3) $\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{2a + 4b} = \frac{(a + 2b)^2}{2(a + 2b)} = \frac{a + 2b}{2}$
т.к. $2b + a = a + 2b = \frac{5}{2}$, то:
$\frac{\frac{5}{2}}{2} = \frac{5}{2} * \frac{1}{2} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$
15. Найдите область определения функции:
1) $y = \frac{1}{4 - \frac{4}{x}}$;
2) $y = \frac{1}{x - \frac{1}{x}}$.
Решение:
1) $y = \frac{1}{4 - \frac{4}{x}}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$\frac{4}{x} ≠ 0$
x ≠ 0 * 4
x ≠ 0
и
$4 - \frac{4}{x} ≠ 0$
$\frac{4}{x} ≠ 4$
$x ≠ \frac{4}{4}$
x ≠ 1
Ответ: областью определения функции являются все значения x, кроме x = 0 и x = 1.
2) $y = \frac{1}{x - \frac{1}{x}}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$\frac{1}{x} ≠ 0$
x ≠ 0 * 1
x ≠ 0
и
$x - \frac{1}{x} ≠ 0$
$x = \frac{1}{x}$
$x^2 ≠ 1$
x ≠ ±1
Ответ: областью определения функции являются все значения x, кроме x = −1, x = 0, x = 1.
16. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
1) $\frac{x}{x - \frac{9}{x}}$;
2) $\frac{10}{2 + \frac{6}{x}}$.
Решение:
1) $\frac{x}{x - \frac{9}{x}}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$\frac{9}{x} ≠ 0$
x ≠ 9 * 0
x ≠ 0
и
$x - \frac{9}{x} ≠ 0$
$x ≠ \frac{9}{x}$
$x^2 ≠ 9$
x ≠ ±3
Ответ: выражение имеет смысл при любых х, кроме x = −3, x = 0 и x = 3.
2) $\frac{10}{2 + \frac{6}{x}}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$\frac{6}{x} ≠ 0$
x ≠ 6 * 0
x ≠ 0
и
$2 + \frac{6}{x} ≠ 0$
$\frac{6}{x} ≠ -2$
$x ≠ -\frac{6}{2}$
x ≠ −3
Ответ: выражение имеет смысл при любых х, кроме x = −3 и x = 0.
17. Сократите дробь:
1) $\frac{5}{15}$;
2) $\frac{12}{18}$;
3) $\frac{27}{45}$;
4) $\frac{30}{48}$.
Решение:
1) $\frac{5}{15} = \frac{5}{5 * 3} = \frac{1}{3}$
2) $\frac{12}{18} = \frac{6 * 2}{6 * 3} = \frac{2}{3}$
3) $\frac{27}{45} = \frac{9 * 3}{9 * 5} = \frac{3}{5}$
4) $\frac{30}{48} = \frac{6 * 5}{6 * 8} = \frac{5}{8}$
18. Приведите дробь:
1) $\frac{3}{7}$ к знаменателю 14;
2) $\frac{8}{15}$ к знаменателю 60.
Решение:
1) 14 : 7 = 2, тогда:
$\frac{3}{7} = \frac{3 * 2}{7 * 2} = \frac{6}{14}$
2) 60 : 15 = 4, тогда:
$\frac{8}{15} = \frac{8 * 4}{15 * 4} = \frac{32}{60}$
19. Представьте в виде степени с основанием a выражение:
1) $a^5a^3$;
2) $(a^5)^3$;
3) $a^5 : a^3$;
4) $(a^8)^4 : (a^2)^8$.
Решение:
1) $a^5a^3 = a^{5 + 3} = a^8$
2) $(a^5)^3 = a^{5 * 3} = a^{15}$
3) $a^5 : a^3 = a^{5 - 3} = a^2$
4) $(a^8)^4 : (a^2)^8 = a^{8 * 4} : a^{2 * 8} = a^{32} : a^{16} = a^{32 - 16} = a^{16}$
20. Разложите на множители:
1) 6a − 15b;
2) 2a + ab;
3) 7am + 7bn;
4) $4x^2 - 12xy$;
5) $a^6 + a^2$;
6) $12m^2n - 4mn$;
7) $2x^2 - 4x^3 + 10x^4$;
8) $10a^3b^2 - 15a^2b + 25ab^2$.
Решение:
1) 6a − 15b = 3(2a − 5b)
2) 2a + ab = a(2 + b)
3) 7am + 7bn = 7(am + bn)
4) $4x^2 - 12xy = 4x(x - 3y)$
5) $a^6 + a^2 = a^2(a^4 + 1)$
6) $12m^2n - 4mn = 4mn(3m - 1)$
7) $2x^2 - 4x^3 + 10x^4 = 2x^2(1 - 2x + 5x^2)$
8) $10a^3b^2 - 15a^2b + 25ab^2 = 5ab(2a^2b - 3a + 5b)$
21. Представьте в виде произведения выражение:
1) ab − ac + bd − cd;
2) 3m + 3n − mx − nx;
3) $a^5 + a^3 + 2a^2 + 2$;
4) $8a^2b - 2a^2 - 4b^2 + b$.
Решение:
1) ab − ac + bd − cd = (ab − ac) + (bd − cd) = a(b − c) + d(b − c) = (b − c)(a + d)
2) 3m + 3n − mx − nx = (3m + 3n) − (mx + nx) = 3(m + n) − x(m + n) = (m + n)(3 − x)
3) $a^5 + a^3 + 2a^2 + 2 = (a^5 + a^3) + (2a^2 + 2) = a^3(a^2 + 1) + 2(a^2 + 1) = (a^2 + 1)(a^3 + 2)$
4) $8a^2b - 2a^2 - 4b^2 + b = (8a^2b - 2a^2) - (4b^2 - b) = 2a^2(4b - 1) - b(4b - 1) = (4b - 1)(2a^2 - b)$
22. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:
1) $a^2 - 8a + 16$;
2) $9x^2 + 6x + 1$;
3) $40xy + 16x^2 + 25y^2$;
4) $a^8 - 4a^4b + 4b^2$.
Решение:
1) $a^2 - 8a + 16 = a^2 - 2 * 4a + 4^2 = (a - 4)^2$
2) $9x^2 + 6x + 1 = (3x)^2 + 2 * 3x + 1^2 = (3x + 1)^2$
3) $40xy + 16x^2 + 25y^2 = 16x^2 + 40xy + 25y^2 = (4x)^2 + 2x * 4 * 5y + (5y)^2 = (4x + 5y)^2$
4) $a^8 - 4a^4b + 4b^2 = (a^4)^2 - 2 * a^4 * 2b + (2b)^2 = (a^4 - 2b)^2$
23. Разложите на множители:
1) $x^2 - 9$;
2) $25 - 4y^2$;
3) $36m^2 - 49n^2$;
4) $a^2b^2 - 81$;
5) $100m^6 - 1$;
6) $a^{10} - b^6$;
7) $c^3 - d^3$;
8) $a^3 + 8$;
9) $27m^6 - n^9$.
Решение:
1) $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$
2) $25 - 4y^2 = 5^2 - (2y)^2 = (5 - 2y)(5 + 2y)$
3) $36m^2 - 49n^2 = (6m)^2 - (7n)^2 = (6m - 7n)(6m + 7n)$
4) $a^2b^2 - 81 = (ab)^2 - 9^2 = (ab - 9)(ab + 9)$
5) $100m^6 - 1 = (10m^3)^2 - 1^2 = (10m^3 - 1)(10m^3 + 1)$
6) $a^{10} - b^6 = (a^5)^2 - (b^3)^2 = (a^5 - b^3)(a^5 + b^3)$
7) $c^3 - d^3 = (c - d)(c^2 + cd + d^2)$
8) $a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - 2a + 2^2) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$
9) $27m^6 - n^9 = (3m^2)^3 - (n^3)^3 = (3m^2 - n^3)((3m^2)^2 + 3m^2n^3 + (n^3)^2) = (3m^2 - n^3)(9m^4 + 3m^2n^3 + n^6)$
24. Разложите на множители:
1) $7a^2 - 7$;
2) $3b^3 - 3b$;
3) $2x^3 - 2xy^2$;
4) $-8a^5 + 8a^3 - 2a$;
5) $x - 4y + x^2 - 16y^2$;
6) $ab^6 - ab^4 - b^6 + b^4$.
Решение:
1) $7a^2 - 7 = 7(a^2 - 1) = 7(a - 1)(a + 1)$
2) $3b^3 - 3b = 3b(b^2 - 1) = 3b(b - 1)(b + 1)$
3) $2x^3 - 2xy^2 = 2x(x^2 - y^2) = 2x(x - y)(x + y)$
4) $-8a^5 + 8a^3 - 2a = -2a(4a^4 - 4a^2 + 1) = -2a(2a^2 - 1)^2 = -2a(2a^2 - 1)(2a^2 - 1)$
5) $x - 4y + x^2 - 16y^2 = (x - 4y) + (x^2 - 16y^2) = (x - 4y) + (x - 4y)(x + 4y) = (x - 4y)(1 + x + 4y)$
6) $ab^6 - ab^4 - b^6 + b^4 = (ab^6 - ab^4) - (b^6 - b^4) = ab^4(b^2 - 1) - b^4(b^2 - 1) = (b^2 - 1)(ab^4 - b^4) = b^4(b^2 - 1)(a - 1) = b^4(b - 1)(b + 1)(a - 1)$
