Ответы к странице 215
Упражнения для повторения курса алгебры 8 класс
839. Найдите значение выражения:
1) $\frac{3m - n}{m + 2n}$, если m = −4, n = 3;
2) $\frac{a^2 - 2a}{4a + 2}$, если a = −0,8.
Решение:
1) $\frac{3m - n}{m + 2n}$
если m = −4, n = 3:
$\frac{3 * (-4) - 3}{-4 + 2 * 3} = \frac{12 - 3}{-4 + 6} = \frac{9}{2} = 4,5$
2) $\frac{a^2 - 2a}{4a + 2} = \frac{a(a - 2)}{2(2a + 1)}$
если a = −0,8:
$\frac{-0,8 * (-0,8 - 2)}{2 * (2 * (-0,8) + 1)} = \frac{-0,8 * (-2,8)}{2 * (-1,6 + 1)} = \frac{0,8 * 2,8}{2 * (-0,6)} = -\frac{8 * 28}{20 * 6} = -\frac{1 * 28}{5 * 3} = -\frac{28}{15} = -1\frac{13}{15}$
840. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
1) 7b − 11;
2) $\frac{9}{x}$;
3) $\frac{5}{2 - y}$;
4) $\frac{m - 3}{7}$;
5) $\frac{3 + t}{4 - t}$;
6) $\frac{2x}{x - 1} - \frac{3}{x - 6}$;
7) $\frac{5}{x^8 + 3}$;
8) $\frac{x - 2}{|x| + 7}$;
9) $\frac{4}{x^2 - 25}$;
10) $\frac{3}{|x| - 5}$;
11) $\frac{x}{8 + \frac{4}{x}}$;
12) $\frac{5}{6 - \frac{2}{x}}$;
13) $\frac{1}{(x - 3)(x - 4)}$;
14) $\frac{x + 8}{(x + 8)(x - 3)}$?
Решение:
1) 7b − 11
имеет смысл при любых значениях b
2) $\frac{9}{x}$
имеет смысл при x ≠ 0
3) $\frac{5}{2 - y}$
2 − y ≠ 0
y ≠ 2
имеет смысл при y ≠ 2
4) $\frac{m - 3}{7}$
имеет смысл при любых m
5) $\frac{3 + t}{4 - t}$
4 − t ≠ 0
t ≠ 4
имеет смысл при t ≠ 4
6) $\frac{2x}{x - 1} - \frac{3}{x - 6}$
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
и
x − 6 ≠ 0
x ≠ 6
имеет смысл при x ≠ 1 и x ≠ 6
7) $\frac{5}{x^8 + 3}$
$x^8 = (x^4)^2 ≥ 0$, значит $x^8 + 3 > 0$
имеет смысл при любых значениях x
8) $\frac{x - 2}{|x| + 7}$
$|x| ≥ 0$, значит $|x| + 7 > 0$
имеет смысл при любых значениях x
9) $\frac{4}{x^2 - 25}$
$x^2 - 25 ≠ 0$
$x^2 ≠ 25$
x ≠ ±5
имеет смысл при x ≠ −5 и x ≠ 5
10) $\frac{3}{|x| - 5}$
|x| − 5 ≠ 0
|x| ≠ 5
x ≠ ±5
имеет смысл при x ≠ −5 и x ≠ 5
11) $\frac{x}{8 + \frac{4}{x}}$
x ≠ 0
и
$8 + \frac{4}{x} ≠ 0$ | * x
8x + 4 ≠ 0
8x ≠ −4
x ≠ −0,5
имеет смысл при x ≠ −0,5 и x ≠ 0
12) $\frac{5}{6 - \frac{2}{x}}$
x ≠ 0
и
$6 - \frac{2}{x} ≠ 0$ | * x
6x − 2 ≠ 0
6x ≠ 2
$x ≠ \frac{2}{6}$
$x ≠ \frac{1}{3}$
имеет смысл при x ≠ 0 и $x ≠ \frac{1}{3}$
13) $\frac{1}{(x - 3)(x - 4)}$
(x − 3)(x − 4) ≠ 0
x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
и
x − 4 ≠ 0
x ≠ 4
имеет смысл при x ≠ 3 и x ≠ 4
14) $\frac{x + 8}{(x + 8)(x - 3)}$
(x + 8)(x − 3) ≠ 0
x + 8 ≠ 0
x ≠ −8
и
x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
имеет смысл при x ≠ −8 и x ≠ 3
841. Сократите дробь:
1) $\frac{8a^2c^3}{4a^3c^2}$;
2) $\frac{25mn^2}{75m^8n}$;
3) $\frac{60a^3bc^2d^5}{18a^4b^2c^6d}$;
4) $\frac{42x^8y^9}{14x^6y^3}$.
Решение:
1) $\frac{8a^2c^3}{4a^3c^2} = \frac{2c}{a}$
2) $\frac{25mn^2}{75m^8n} = \frac{n}{3m^7}$
3) $\frac{60a^3bc^2d^5}{18a^4b^2c^6d} = \frac{10d^4}{3abc^4}$
4) $\frac{42x^8y^9}{14x^6y^3} = 3x^2y^6$
842. Представьте частное в виде дроби и сократите полученную дробь:
1) $4mn^2p : (28m^2np^6)$;
2) $-30x^5y^3 : (36x^4y^8)$;
3) $-63xy^9 : (-72xy^7)$.
Решение:
1) $4mn^2p : (28m^2np^6) = \frac{4mn^2p}{28m^2np^6} = \frac{n}{7mp^5}$
2) $-30x^5y^3 : (36x^4y^8) = \frac{-30x^5y^3}{36x^4y^8} = -\frac{5x}{6y^5}$
3) $-63xy^9 : (-72xy^7) = \frac{-63xy^9}{-72xy^7} = \frac{7y^2}{8}$
843. Сократите дробь:
1) $\frac{3x - 6y}{3x}$;
2) $\frac{3a + 9b}{4a + 12b}$;
3) $\frac{a^2 - 49}{3a + 21}$;
4) $\frac{12x^2 - 4x}{2 - 6x}$;
5) $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$;
6) $\frac{b^7 + b^4}{b^2 + b^5}$;
7) $\frac{a^3 + 64}{3a + 12}$;
8) $\frac{xb - 5y + 5b - xy}{x^2 - 25}$;
9) $\frac{7m^2 - 7m + 7}{14m^3 + 14}$;
10) $\frac{a^2 + bc - b^2 + ac}{ab + c^2 + ac - b^2}$;
11) $\frac{20mn^2 - 20m^2n + 5m^3}{10mn - 5m^2}$;
12) $\frac{x^2 - yz + xz - y^2}{x^2 + yz - xz - y^2}$.
Решение:
1) $\frac{3x - 6y}{3x} = \frac{3(x - 2y)}{3x} = \frac{x - 2y}{x}$
2) $\frac{3a + 9b}{4a + 12b} = \frac{3(a + 3b)}{4(a + 3b)} = \frac{3}{4}$
3) $\frac{a^2 - 49}{3a + 21} = \frac{(a - 7)(a + 7)}{3(a + 7)} = \frac{a - 7}{3}$
4) $\frac{12x^2 - 4x}{2 - 6x} = \frac{4x(3x - 1)}{2(1 - 3x)} = -\frac{4x(3x - 1)}{2(3x - 1)} = -2x$
5) $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)^2} = \frac{x - 3}{x + 3}$
6) $\frac{b^7 + b^4}{b^2 + b^5} = \frac{b^4(b^3 + 1)}{b^2(1 + b^3)} = b^2$
7) $\frac{a^3 + 64}{3a + 12} = \frac{(a + 4)(a^2 - 4a + 16)}{3(a + 4)} = \frac{a^2 - 4a + 16}{3}$
8) $\frac{xb - 5y + 5b - xy}{x^2 - 25} = \frac{(xb - xy) + (-5y + 5b)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{x(b - y) + 5(b - y)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{(b - y)(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{b - y}{x - 5}$
9) $\frac{7m^2 - 7m + 7}{14m^3 + 14} = \frac{7(m^2 - m + 1)}{14(m^3 + 1)} = \frac{m^2 - m + 1}{2(m + 1)(m^2 - m + 1)} = \frac{1}{2(m + 1)}$
10) $\frac{a^2 + bc - b^2 + ac}{ab + c^2 + ac - b^2} = \frac{(a^2 - b^2) + (ac + bc)}{(ab + ac) + (c^2 - b^2)} = \frac{(a - b)(a + b) + c(a + b)}{a(b + c) + (c - b)(c + b)} = \frac{(a + b)(a - b + c)}{(b + c)(a - b + c)} = \frac{a + b}{b + c}$
11) $\frac{20mn^2 - 20m^2n + 5m^3}{10mn - 5m^2} = \frac{5m(4n^2 - 4mn + m^2)}{5m(2n - m)} = \frac{(2n - m)^2}{2n - m} = 2n - m$
12) $\frac{x^2 - yz + xz - y^2}{x^2 + yz - xz - y^2} = \frac{(x^2 - y^2) + (xz - yz)}{(x^2 - y^2) + (yz - xz)} = \frac{(x - y)(x + y) + z(x - y)}{(x - y)(x + y) - z(x - y)} = \frac{(x - y)(x + y + z)}{(x - y)(x + y - z)} = \frac{x + y + z}{x + y - z}$
844. Найдите значение выражения:
1) $\frac{x^5y^7 - x^3y^9}{x^3y^7}$, если x = −0,2, y = 0,5;
2) $\frac{4a^2 - 36}{5a^2 - 30a + 45}$, если a = 2;
3) $\frac{(3a + 3b)^2}{3a^2 - 3b^2}$, если $a = \frac{1}{3}, b = -\frac{1}{6}$;
4) $\frac{20x^2 - 140xy + 245y^2}{4x - 14y}$, если 2x − 7y = −0,5.
Решение:
1) $\frac{x^5y^7 - x^3y^9}{x^3y^7} = \frac{x^3y^7(x^2 - y^2)}{x^3y^7} = x^2 - y^2$
если x = −0,2, y = 0,5:
$(-0,2)^2 - 0,5^2 = 0,04 - 0,25 = -0,21$
2) $\frac{4a^2 - 36}{5a^2 - 30a + 45} = \frac{4(a^2 - 9)}{5(a^2 - 6a + 9)} = \frac{4(a - 3)(a + 3)}{5(a - 3)^2} = \frac{4(a + 3)}{5(a - 3)}$
если a = 2:
$\frac{4(2 + 3)}{5(2 - 3)} = \frac{4 * 5}{5 * (-1)} = -4$
3) $\frac{(3a + 3b)^2}{3a^2 - 3b^2} = \frac{(3(a + b))^2}{3(a^2 - b^2)} = \frac{9(a + b)^2}{3(a - b)(a + b)} = \frac{3(a + b)}{a - b}$
если $a = \frac{1}{3}, b = -\frac{1}{6}$:
$\frac{3(\frac{1}{3} - \frac{1}{6})}{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{6}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$
4) $\frac{20x^2 - 140xy + 245y^2}{4x - 14y} = \frac{5(4x^2 - 28xy + 49y^2)}{2(2x - 7y)} = \frac{5(2x - 7y)^2}{2(2x - 7y)} = \frac{5(2x - 7y)}{2}$
если 2x − 7y = −0,5:
$\frac{5 * (-0,5)}{2} = -\frac{2,5}{2} = -1,25$
