Задание №1611

Два одинаковых спутника вращаются вокруг Земли по круговым орбитам, радиусы которых в 2 раза и 4 раза больше радиуса Земли. Найдите отношение силы притяжения между Землёй и ближайшим спутником к силе притяжения между Землёй и дальним спутником.

Решение

Дано:
$m_{1} = m_{2}$;
$r_{1} = 2R$;
$r_{2} = 4R$.
Найти:
$\frac{F_{1}}{F_{2}}$ − ?
Решение:
По закону всемирного тяготения:
$F = G * \frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}$;
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{\frac{G * Mm_{1}}{r_{1}^{2}}}{\frac{G * Mm_{2}}{r_{2}^{2}}} = \frac{\frac{G * Mm_{1}}{r_{1}^{2}}}{\frac{G * Mm_{1}}{r_{2}^{2}}} = (\frac{r_{2}}{r_{1}})^{2} = (\frac{4R}{2R})^{2} = 4$.
Ответ: 4.

Задание №1612

Тело массой 12 кг взвешено на рычажных и пружинных весах на Земле. Каковы показания весов? Что покажут те же весы, если взвешивание произвести на Луне? Почему?

Решение

Дано:
m = 12 кг.
$g_{з} = 9,8$ Н/кг;
$g_{л} = 1,6 $ Н/кг.
Найти:
$P_{з}$ − ?
$P_{л}$ − ?
Решение:
На рычажных весах сравнивается вес эталонной массы с весом измеряемой массы. Эта процедура не зависит от выбора системы отсчета и может выполняться в неинерциальных системах. Результат измерения определяется только соотношением масс тел (так как веса тел соотносятся так же, как и массы).
$m_{з} = 12$ кг;
$m_{л} = 12$ кг.
Пружинные весы измеряют вес тела, равный по модулю силе упругости пружинных весов. Сила упругости по модулю равно силе тяжести. Ускорение свободного падения на Земле и Луне разное, поэтому вес тела различный.
$P = N = F_{тяж} = mg$.
$Р_{з} = 12 * 9,8 = 117,6$ Н.
$Р_{л} = 12 * 1,6 = 19,2$ Н.
Ответ: На Земле: 12 кг; 117,6 Н; На Луне: 12 кг; 19,2 Н.

Задание №1613

С какой силой притягивается к Земле космонавт массой 80 кг на высоте 600 км над поверхностью Земли? Радиус Земли принять равным 6400 км. Почему, несмотря на притяжение Земли, космонавт в корабле − спутнике будет находиться в состоянии невесомости?

Решение

Дано:
m = 80 кг;
h = 600 км;
r = 6400 км;
M = $6 * 10^{24}$ кг;
$G = 6,67 * 10^{-11} \frac{Н * м^{2}}{кг^{2}}$.
Найти:
F − ?
СИ:
h = 600 000 м;
r = 6 400 000 м.
Решение:
По закону всемирного тяготения:
$F = G * \frac{m_{1}m_{2}}{(r+h)^{2}}$;
$F = 6,67 * 10^{-11} * \frac{80 * 6 * 10^{24}}{(600000 + 6400000)^2} = 6,67 * 10^{-11} * \frac{4,8 * 10^{26}}{4,9 * 10^{13}} = 653$ Н.
Ответ: 653 Н. И на космический корабль, и на космонавта действует сила тяжести со стороны Земли. Космонавт находится в состоянии невесомости, т.к. сила тяжести компенсируется центробежной силой.

Задание №1614

Радиус планеты Марс примерно в 2 раза меньше радиуса Земли, а масса Марса составляет примерно 0,1 массы Земли. Сравните вес тела одинаковой массы на Земле и на Марсе.

Решение

Дано:
$R_{м} = \frac{R_{з}}{2}$;
$M_{м} = 0,1М_{з}$.
$m_{1} = m_{2}$.
Найти:
$\frac{P_{з}}{P_{м}}$ − ?
Решение:
$g = \frac{G * M}{R^{2}}$;
$P = mg = m * \frac{G * M}{R^{2}}$;
$\frac{P_{з}}{P_{м}} = \frac{m_{1} * \frac{G * M_{з}}{R_{з}^{2}}}{m_{2} * \frac{G * M_{м}}{R_{м}^{2}}} = \frac{R_{м}^{2} * M_{з}}{R_{з}^{2} * M_{м}} = \frac{(\frac{R_{з}}{2})^{2} * M_{з}}{R_{з}^{2} * 0,1М_{з}} = \frac{1}{0,4} = 2,5$.
Ответ: На земле вес в 2,5 раза больше.

Задание №1615

На какой высоте над поверхностью Земли сила тяжести, действующая на тело, будет в 2 раза меньше, чем на её поверхности?

Решение

Дано:
$\frac{F_{2}}{F_{1}}= 2$.
Найти:
h − ?
Решение:
По закону всемирного тяготения:
на поверхности Земли $F_{1} = G * \frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}$;
на высоте h $F_{2} = G * \frac{m_{1}m_{2}}{(r+h)^{2}}$;
$\frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{G * \frac{m_{1}m_{2}}{(r+h)^{2}}}{G * \frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}} = 2$;
$(\frac{r+h}{r})^{2} = 2$;
$\frac{r+h}{r} = \sqrt{2} = 1,4$;
r + h = 1,4 r;
h = 1,4r − r = 0,4 r.
Ответ: На высоте, равной 0,4 радиуса Земли.

Задание №1616

В фантастическом рассказе Ж.. Верна о ядре с пассажирами, брошенном с Земли на Луну, рассказывается, что на участке пути, на котором притяжение Луны равно притяжению Земли, все предметы внутри ядра потеряли вес, всякий предмет, не падая, оставался в воздухе там, где был помещён. Докажите, что такое явление должно было бы наблюдаться на протяжении всего пути.

Решение

Вес — это сила, с которой тело давит на подставку или растягивает нить, на которой оно подвешено. Когда ядро покидает пределы земной атмосферы, то на само ядро и все предметы в нем действует лишь гравитационное поле Земли, Луны, Солнца и других небесных тел. Это поле создает ускорение движения, одинаковое для всех тел, находящихся в ядре, независимо от точки траектории, где находится снаряд. Если тела, соприкасаясь, движутся с одинаковым ускорением, то они не давят друг на друга. Это отсутствие давления тел на подставки или растяжения нитей крепления является состоянием невесомости. Следовательно, состояние невесомости в ядре Жюль Верна должно быть на всем пути, а не только в одной точке, где притяжение Луны равно притяжению Земли.

Задание №1617

Предположим, что весы установлены на Луне. На левую чашу весов положили тело, вес которого, определённый пружинными весами в земных условиях, равен 10 Н. На правую чашу весов положили тело, взвешенное теми же пружинными весами на Луне. Его вес оказался равным тоже 10 Н. Будут ли весы находиться в равновесии?

Решение

Нет, перетянет чашка весов, на которой находится тело, взвешенное на Луне, т.к. сила тяжести на Луне примерно в 6 раз меньше, чем на Земле.

Задание №1618

По расчётам Ньютона, два шара диаметром по 30 см каждый, расположенные на расстоянии 0,6 см, сойдутся под действием силы взаимного притяжения через месяц после начала движения (расчёт производился при условии
отсутствия внешнего сопротивления). Плотность шаров Ньютон брал равной средней плотности Земли: $ρ = 5 * 10^{3} кг/м^{3}$. Силу тяготения считать постоянной. Прав ли учёный?

Решение

Дано:
d = 30 см;
l = 0,6 см;
t = 1 месяц;
$ρ = 5 * 10^{3} кг/м^{3}$;
$G = 6,67 * 10^{-11} \frac{Н * м^{2}}{кг^{2}}$.
Найти:
$t_{расч}$ − ?
СИ:
d = 0,3 м;
l = 0,006 м.
Решение:
$R = \frac{d}{2} = \frac{0,3}{2} = 0,15$ м;
Масса шара равна:
$m = \frac{4}{3}πR^{3}$;
$m_{1} = m_{2} = m = \frac{4}{3} * 3,14 * 0,15^{3} = 70,65$ кг;
Сила взаимодействия равна:
$F = G * \frac{m_{1}m_{2}}{(2R+l)^{2}} = \frac{Gm^{2}}{(2R+l)^{2}}$;
$F = \frac{6,67 * 10^{-11} * 70,65^{2}}{(2 * 0,15 + 0,006)^{2}} = 3,6 * 10^{-6}$ Н;
Согласно второму закону Ньютона:
F = ma;
$a = \frac{F}{m}$;
$a = \frac{3,6 * 10^{-6}}{70,65} = 5 * 10^{-8} м/с^{2}$;
Путь, который прошел каждый шар, равен:
$S = \frac{l}{2}$;
$S = \frac{0,006}{2} = 0,003$ м;
Уравнение равноускоренного движения:
$S = v_{0}t + \frac {at^{2}}{2}$;
Т.к. шар начинает движение, то $v_{0} = 0$;
$S = \frac {at^{2}}{2}$;
$2S = at^{2}$;
$t^{2} = \frac{2S}{a}$;
$t = \sqrt{\frac{2S}{a}}$;
$t = \sqrt{\frac{2 * 0,003}{5 * 10^{-8}}} = 346$ c.
Ответ: 346 сек. Ньютон был не прав.