Задание № 741

На сколько градусов понизится температура кипятка объёмом 3 л, если его смешать с холодной водой такого же объёма при температуре 15 °С?

Решение

Дано:
$с = 4200 \frac{Дж}{кг * °С}$;
$ρ_{в} = 1000 кг/м^{3}$;
$V_{гор} = V_{хол} = 3$ л;
$t_{хол} = 15$ °С;
$t_{гор} = 100$ °С.
Найти:
$Δt_{гор}$ − ?
СИ:
$V_{гор} = V_{хол} = 0,003 м^{3}$;
Решение:
Так как объемы холодной воды и кипятка равны, то их массы тоже равны:
$m_{хол} = m_{гор} = ρV_{гор} = 1000 * 0,003 = 3$ кг.
Условие теплового равновесия: количество теплоты, полученное холодной водой, равно количеству теплоты, отданой горячей водой.
$Q_{хол} = Q_{гор}$;
$Q_{хол} = сm(t_{см} - t_{хол})$;
$Q_{гор} = сm(t_{гор} - t_{см})$;
$сm(t_{см} - t_{хол}) =сm(t_{гор} - t_{см})$;
$сmt_{см} - сmt_{хол} = сmt_{гор} - сmt_{см}$;
$сmt_{см} + сmt_{см} = сmt_{гор} + сmt_{хол}$;
$2сmt_{см} = сm(t_{гор} + t_{хол})$;
$t_{см} = \frac{сm(t_{гор} + t_{хол})}{2сm} = \frac{t_{гор} + t_{хол}}{2}$;
$t_{см} = \frac{100 + 15}{2} = 57,5$ °С;
$Δt_{гор} = t_{гор} - t_{см}$;
$Δt_{гор} = 100 - 57,5 = 42,5$ °С;
Ответ: 42,5 °С.

Задание № 742

Аквариум содержит 20 л воды при температуре 14 °С. Сколько воды при температуре 40 °С надо добавить в аквариум, чтобы в нём установилась температура 20 °С?

Решение

Дано:
$с = 4200 \frac{Дж}{кг * °С}$;
$ρ_{в} = 1000 кг/м^{3}$;
$V_{хол} = 20$ л;
$t_{хол} = 14$ °С;
$t_{гор} = 40$ °С;
$t_{см} = 20$ °С.
Найти:
$V_{гор}$ − ?
СИ:
$V_{1} = 0,02 м^{3}$.
Решение:
Масса холодной воды равна:
$m_{хол}= ρV_{хол} = 1000 * 0,02 = 20$ кг;
Условие теплового равновесия: количество теплоты, полученное холодной водой, равно количеству теплоты, отданой горячей водой.
$Q_{хол} = Q_{гор}$;
$Q_{хол} = сm_{хол}(t_{см} - t_{хол})$;
$Q_{гор} = сm_{гор}(t_{гор} - t_{см})$;
$сm_{хол}(t_{см} - t_{хол}) =сm_{гор}(t_{гор} - t_{см})$;
$m_{гор} = \frac{сm_{хол}(t_{см} - t_{хол})}{с(t_{гор} - t_{см}} = \frac{m_{хол}(t_{см} - t_{хол})}{(t_{гор} - t_{см})} $;
$m_{гор} = \frac{20 * (20 - 14)}{40-20} = 6$ кг;
$V_{гор} = \frac{m_{гор}}{ρ}$;
$V_{гор} = \frac{6}{1000} = 0,006 м^{3} = 6$ л.
Ответ: 6 л.

Задание № 743

Стальной резец массой 300 г нагрет до ярко−жёлтого каления. Какой температуре соответствует этот цвет, если резец, опущенный для закалки в воду объёмом 0,8 л, нагревает её от 20 до 62 °С?

Решение

Дано:
$с_{ст} = 500 \frac{Дж}{кг * °С}$;
$с_{в} = 4200 \frac{Дж}{кг * °С}$;
$m_{ст} = 300$ г;
$V_{в} = 0,8$ л;
$t_{1} = 20$ °С;
$t_{2} = 62$ °С.
Найти:
t − ?
СИ:
m = 0,03 кг;
$V_{в} = 0,0008 м^{3}$.
Решение:
Масса воды равна:
$m_{в}= ρV_{в} = 1000 * 0,0008 = 0,8$ кг;
Количество теплоты, которое отдает стальной резец при остывании:
$Q_{ст} = с_{ст}m_{ст}(t - t_{2})$;
Количество теплоты, которое получает вода от резца:
$Q_{в} = с_{в}m_{в}(t_{2} - t_{1})$;
Условие теплового равновесия: количество теплоты, полученное водой, равно количеству теплоты, отданой резцом.
$Q_{ст} = Q_{в}$;
$с_{ст}m_{ст}(t - t_{2}) = с_{в}m_{в}(t_{2} - t_{1})$;
$с_{ст}m_{ст}t - с_{ст}m_{ст}t_{2} = с_{в}m_{в}(t_{2} - t_{1})$;
$с_{ст}m_{ст}t = с_{в}m_{в}(t_{2} - t_{1}) + с_{ст}m_{ст}t_{2} $;
$t = \frac{с_{в}m_{в}(t_{2} - t_{1}) + с_{ст}m_{ст}t_{2} }{с_{ст}m_{ст}} = \frac{с_{в}m_{в}(t_{2} - t_{1})}{с_{ст}m_{ст}} + t_{2}$;
$t = \frac{4200 * 0,8 * (62-20)}{500 * 0,3} + 62 = 1003$ °С.
Ответ: 1003 °С.

Задание № 744

Для определения удельной теплоёмкости железа в воду массой 200 г при температуре 18 °С опустили железную гирю массой 100 г при температуре 95 °С. Температура воды установилась 22 °С. Чему равна удельная теплоёмкость железа по данным опыта?

Решение

Дано:
$с_{в} = 4200 \frac{Дж}{кг * °С}$;
$m_{в} = 200$ г;
$t_{в} = 18$ °С;
$m_{ж} = 100$ г;
$t_{ж} = 95$ °С;
t = 22 °С;
Найти:
$с_{ж}$ − ?
СИ:
$m_{в} = 0,2 $ кг;
$m_{ж} = 0,1 $ кг.
Решение:
Условие теплового равновесия: количество теплоты, полученное холодной водой, равно количеству теплоты, отданой железом.
$Q_{ж} = Q_{в}$;
$Q_{ж} = с_{ж}m_{ж}(t_{ж} - t)$;
$Q_{в} = с_{в}m_{в}(t - t_{в})$;
$с_{ж}m_{ж}(t_{ж} - t) = с_{в}m_{в}(t - t_{в})$;
$с_{ж} = \frac{с_{в}m_{в}(t - t_{в})}{m_{ж}(t_{ж} - t)}$;
$с_{ж} = \frac{4200 * 0,2 (22-18)}{0,1 * (95 - 22)} = 460 \frac{Дж}{кг * °С}$.
Ответ: 460 $\frac{Дж}{кг * °С}$.

Задание № 745

Холодную воду массой 40 кг смешали с водой массой 16 кг при температуре 84 °С. Чему равна первоначальная температура холодной воды, если температура смеси равна 34 °С?

Решение

Дано:
$с = 4200 \frac{Дж}{кг * °С}$;
$m_{хол} = 40$ кг;
$m_{гор} = 16$ кг;
$t_{гор} = 84$ °С;
$t_{см} = 34$ °С.
Найти:
$t_{хол}$ − ?
Решение:
Условие теплового равновесия: количество теплоты, полученное холодной водой, равно количеству теплоты, отданой горячей водой.
$Q_{хол} = Q_{гор}$;
$Q_{хол} = сm_{хол}(t_{см} - t_{хол})$;
$Q_{гор} = сm_{гор}(t_{гор} - t_{см})$;
$сm_{хол}(t_{см} - t_{хол}) =сm_{гор}(t_{гор} - t_{см})$;
$t_{см} - t_{хол} =\frac{сm_{гор}(t_{гор} - t_{см})}{сm_{хол}}$;
$t_{хол} = t_{см} - \frac{сm_{гор}(t_{гор} - t_{см})}{сm_{хол}} = t_{см} - \frac{m_{гор}(t_{гор} - t_{см})}{m_{хол}} $;
$t_{хол} = 34 - \frac{16 * (84 - 34)}{40} = 14$ °С.
Ответ: 14°С.

Задание № 746

Для получения цементного раствора в цемент массой 40 кг при температуре 4 °С налили тёплую воду объёмом 60 л. Определите начальную температуру воды, если раствор получен при температуре 24 °С.

Решение

Дано:
$с_{ц} = 830 \frac{Дж}{кг * °С}$;
$m_{ц} = 40$ кг;
$t_{ц} = 4$ °С;
$с_{в} = 4200 \frac{Дж}{кг * °С}$;
$V_{в} = 60$ л;
$ρ_{в} = 1000 кг/м^{3}$;
$t_{см} = 24$ °С.
Найти:
$t_{в}$ − ?
СИ:
$V_{в} = 0,06 м^{3}$.
Решение:
Масса теплой воды равна:
$m_{в} = ρV$;
$m_{в} = 1000 * 0,06 = 60$ кг;
Условие теплового равновесия: количество теплоты, полученное цементом, равно количеству теплоты, отданой теплой водой.
$Q_{ц} = Q_{в}$;
$Q_{ц} = с_{ц}m_{ц}(t_{см} - t_{ц})$;
$Q_{в} = с_{в}m_{в}(t_{в} - t_{см})$;
$ с_{ц}m_{ц}(t_{см} - t_{ц}) = с_{в}m_{в}(t_{в} - t_{см})$;
$t_{в} - t_{см} = \frac{с_{ц}m_{ц}(t_{см} - t_{ц})}{с_{в}m_{в}}$;
$t_{в} = \frac{с_{ц}m_{ц}(t_{см} - t_{ц})}{с_{в}m_{в}} + t_{см}$;
$t_{в} = \frac {830 * 40 * (24 - 4)}{4200 * 60} + 24$ = 26,6 °С.
Ответ: 26,6 °С.

Задание № 747

Для получения цементного раствора объёмом 1 $м^{3}$ смешали цемент массой 240 кг при температуре 5 °С, песок массой 1500 кг при температуре 5 °С и воду объёмом 300 л при температуре 40 °С. Определите температуру раствора.

Решение

Дано:
$с_{ц} = 830 \frac{Дж}{кг * °С}$;
$m_{ц} = 240$ кг;
$t_{ц} = t_{п} = 5$ °С;
$с_{п} = 880 \frac{Дж}{кг * °С}$;
$m_{п} = 1500$ кг;
$с_{в} = 4200 \frac{Дж}{кг * °С}$;
$V_{в} = 300$ л;
$ρ_{в} = 1000 кг/м^{3}$;
$t_{в} = 40$ °С;
$V_{см} = 1 м^{3}$.
Найти:
$t_{см}$ − ?
СИ:
$V_{в} = 0,3 м^{3}$.
Решение:
Масса теплой воды равна:
$m_{в} = ρV$;
$m_{в} = 1000 * 0,3 = 300$ кг;
Условие теплового равновесия: количество теплоты, полученное цементом и песком, равно количеству теплоты, отданой теплой водой.
$Q_{ц} + Q_{п} = Q_{в}$;
$Q_{ц} = с_{ц}m_{ц}(t_{см} - t_{ц})$;
$Q_{п} = с_{п}m_{п}(t_{см} - t_{п}) = с_{п}m_{п}(t_{см} - t_{ц})$;
$Q_{в} = с_{в}m_{в}(t_{в} - t_{см})$;
$ с_{ц}m_{ц}(t_{см} - t_{ц}) + с_{п}m_{п}(t_{см} - t_{ц}) = с_{в}m_{в}(t_{в} - t_{см})$;
$ с_{ц}m_{ц}t_{см} - с_{ц}m_{ц}t_{ц} + с_{п}m_{п}t_{см} - с_{п}m_{п}t_{ц} = с_{в}m_{в}t_{в} - с_{в}m_{в}t_{см}$;
$ с_{ц}m_{ц}t_{см} + с_{п}m_{п}t_{см} + с_{в}m_{в}t_{см} = с_{в}m_{в}t_{в} + с_{ц}m_{ц}t_{ц} + с_{п}m_{п}t_{ц}$;
$t_{см} * ( с_{ц}m_{ц} + с_{п}m_{п} + с_{в}m_{в}) = с_{в}m_{в}t_{в} + t_{ц} * (с_{ц}m_{ц} + с_{п}m_{п})$;
$t_{см} = \frac{с_{в}m_{в}t_{в} + t_{ц} * (с_{ц}m_{ц} +с_{п}m_{п})}{с_{ц}m_{ц} + с_{п}m_{п} + с_{в}m_{в}}$;
$t_{см} = \frac{4200 * 300 * 40 + 5 * (830 * 240 + 880 * 1500)}{830 * 240 + 880 * 1500 +4200 * 300 } = 21 $°С.
Ответ: 21 °С.

Задание № 748

Для получения бетона объёмом 1 $м^{3}$ в зимних условиях смешали цемент массой 200 кг, гравий массой 1200 кг, песок массой 600 кг, имеющие температуру 10 °С, и тёплую воду объёмом 200 л. Какую температуру должна иметь вода для получения бетона при температуре 30°С?

Решение

Дано:
$с_{ц} = с_{гр} = 830 \frac{Дж}{кг * °С}$;
$m_{ц} = 200$ кг;
$m_{гр} = 1200$ кг;
$с_{п} = 880 \frac{Дж}{кг * °С}$;
$m_{п} = 600$ кг;
$t_{ц} = t_{гр} = t_{п} = 10$ °С;
$с_{в} = 4200 \frac{Дж}{кг * °С}$;
$V_{в} = 200$ л;
$ρ_{в} = 1000 кг/м^{3}$;
$t_{см} = 30$ °С;
$V_{см} = 1 м^{3}$.
Найти:
$t_{в}$ − ?
СИ:
$V_{в} = 0,2 м^{3}$.
Решение:
Масса теплой воды равна:
$m_{в} = ρV$;
$m_{в} = 1000 * 0,2 = 200$ кг;
Условие теплового равновесия: количество теплоты, полученное цементом, гравием и песком, равно количеству теплоты, отданой теплой водой.
$Q_{ц} + Q_{гр} + Q_{п} = Q_{в}$;
$Q_{ц} = с_{ц}m_{ц}(t_{см} - t_{ц})$;
$Q_{гр} = с_{гр}m_{гр}(t_{см} - t_{гр}) = с_{ц}m_{гр}(t_{см} - t_{ц})$;
$Q_{п} = с_{п}m_{п}(t_{см} - t_{п}) = с_{п}m_{п}(t_{см} - t_{ц})$;
$Q_{в} = с_{в}m_{в}(t_{в} - t_{см})$;
$с_{ц}m_{ц}(t_{см} - t_{ц}) + с_{ц}m_{гр}(t_{см} - t_{ц}) + с_{п}m_{п}(t_{см} - t_{ц}) = с_{в}m_{в}(t_{в} - t_{см})$;
$(t_{см} - t_{ц}) * (с_{ц}m_{ц} + с_{ц}m_{гр} + с_{п}m_{п}) = с_{в}m_{в}(t_{в} - t_{см})$;
$(t_{см} - t_{ц}) * (с_{ц}m_{ц} + с_{ц}m_{гр} + с_{п}m_{п}) = с_{в}m_{в}t_{в} - с_{в}m_{в} t_{см}$;
$с_{в}m_{в}t_{в} = (t_{см} - t_{ц}) * (с_{ц}m_{ц} + с_{ц}m_{гр} + с_{п}m_{п}) + с_{в}m_{в} t_{см}$;
$t_{в} = \frac{(t_{см} - t_{ц}) * (с_{ц}m_{ц} + с_{ц}m_{гр} + с_{п}m_{п}) + с_{в}m_{в}t_{см}}{с_{в}m_{в}}$;
$t_{в} = \frac{(30 - 10)* (830 * 200 + 830 * 1200 + 880 * 600) + (4200 * 200 * 30)}{4200 * 200} = 70,2$ °С.
Ответ: 70,2 °С.

Задание № 749

Смешали воду массой $m_{1}$ при температуре $t_{1}$ с водой массой $m_{2}$ при температуре $t_{2}$. Выведите общую формулу для определения температуры смеси.

Решение

Дано:
$m_{1}$;
$t_{1}$;
$m_{2}$;
$t_{2}$.
Найти:
$t_{см}$ − ?
Решение:
Условие теплового равновесия:
$Q_{1} = Q_{2}$;
$Q_{1} = сm_{1}(t_{см} - t_{1})$;
$Q_{2} = сm_{2}(t_{2} - t_{см} )$;
$ cm_{1}(t_{см} - t_{1}) = сm_{2}(t_{2} - t_{см} )$;
$m_{1}t_{см} - m_{1}t _{1} = m_{2}t_{2} - m_{2}t_{см}$;
$m_{1}t_{см} + m_{2}t_{см} = m_{2}t_{2} + m_{1}t _{1}$;
$t_{см} * (m_{1} +m_{2}) = m_{2}t_{2} + m_{1}t _{1}$;
$t_{см} = \frac{m_{2}t_{2} + m_{1}t _{1}}{m_{1} +m_{2}}$.
Ответ: $t_{см} = \frac{m_{2}t_{2} + m_{1}t _{1}}{m_{1} +m_{2}}$

Задание № 750

Возьмите два одинаковых по объёму стакана (например, стеклянный и алюминиевый) и одновременно налейте в них горячую воду в равном количестве. Прикасаясь рукой к стаканам, определите, какой стакан прогревается быстрее. Объясните почему.

Решение

Быстрее прогревается алюминиевый стакан, т.к. теплопроводность алюминия выше, чем теплопроводность стекла.