Задание №1650

При линейной скорости точек на ободе шлифовального круга, равной 96 м/с, возникает опасность его разрыва. Исследуйте, допустимо ли шлифовальный круг диаметром 30 см вращать с частотой 120 об/с.

Решение

Дано:
$v_{макс} = 96$ м/с;
d = 30 см;
ν = 120 об/с.
Найти:
$v_{макс}$ > v − ?
СИ:
d = 0,3 м.
Решение:
Найдем скорость движения круга:
v = πdν;
v = 3,14 * 0,3 * 120 = 113,04 м/с.
$v_{макс}$ < v. Шлифовальный круг вращать с частотой 120 об/с не допустимо.
Ответ: Не допустимо.

Задание №1651

Приведите примеры движения тел, когда направление вектора скорости изменяется при движении тела, а его ускорение по модулю остаётся постоянным.

Решение

Движение стрелок часов, лопастей вентилятора, искусственного спутника на орбите, зубчатого колеса, вращающегося внутри механизма, камень на верёвке, вращающийся по кругу.

Задание №1652

Измерьте длину секундной и минутной стрелок своих часов и рассчитайте линейную скорость конца каждой стрелки.

Решение

Допустим длина секундной стрелки часов − 7 см, минутной стрелки − 5 см.
Дано:
$R_{м} = 7$ см;
$t_{м} = 60$ мин;
$R_{c} = 5$ см;
$t_{с} = 60$ с.
Найти:
$v_{мин}$ − ?
$v_{с}$ − ?
СИ:
$R_{м} = 0,07$ м;
$t_{м} = 3600$ с;
$R_{c} = 0,05$ м;
Решение:
Секундная стрелка делает один полный оборот за 60 секунд. Минутная стрелка делает один полный оборот за 60 минут (3600 секунд).
Найдем линейную скорость конца каждой стрелки:
$v = \frac{2πR}{t}$;
$v_{м} = \frac{2 * 3,14 * 0,07}{3600} = 1,2 * 10^{-4}$ м/с;
$v_{с} = \frac{2 * 3,14 * 0,05}{60} = 0,005$ м/с;
Ответ: $1,2 * 10^{-4}$ м/с; 0,005 м/с.

Задание №1653

Лётчик, выходя из пикирования, описывает дугу окружности и испытывает при этом перегрузку 3g. Объясните, что означает это утверждение.

Решение

Перегрузка — отношение абсолютной величины линейного ускорения, вызванного негравитационными силами, к стандартному ускорению свободного падения на поверхности. Перегрузка 3g означает, что на лётчика действует сила, втрое большая его собственного веса (в покое).

Задание №1654

Искусственный спутник Земли находится на круговой орбите, удалённой от поверхности Земли на 220 км. Определите скорость спутника и его период обращения.

Решение

Дано:
h = 220 км;
R = 6400 км;
M = $6 * 10^{24}$ кг;
$G = 6,67 * 10^{-11} \frac{Н * м^{2}}{кг^{2}}$.
Найти:
v − ?
T − ?
СИ:
h = 220 000 м;
R = 6 400 000 м.
Решение:
Первая космическая скорость равна:
$v = \sqrt{G * \frac{M_{з}}{R_{з} + h}}$;
$v = \sqrt{6,67 * 10^{-11} * \frac{6 * 10^{24}}{6400 000 + 220 000}} = 7746$ м/с ≈ 7,8 км/с;
$v = \frac{2π *(R + h)}{T}$;
$T = \frac{2π *(R + h)}{v}$;
$T = \frac{2 * 3,14 *(6 400 000 + 220 000)}{7746} = 5367$ c = 89 мин.
Ответ: 7,8 км/с; 89 мин.

Задание №1655

Тело движется вокруг Земли со скоростью 1 км/с. Радиус орбиты 384 000 км. Чему равна масса Земли?

Решение

Дано:
v = 1 км/с;
h = 384 000 км;
R = 6400 км;
$G = 6,67 * 10^{-11} \frac{Н * м^{2}}{кг^{2}}$.
Найти:
$M_{з}$ − ?
СИ:
v = 1 000 м/с;
h = 384 000 000 м;
R = 6 400 000 м.
Решение:
Первая космическая скорость равна:
$v = \sqrt{G * \frac{M_{з}}{R_{з} + h}}$;
$v^{2} = G * \frac{M_{з}}{R_{з} + h}$;
$GM_{з} = v^{2} * (R_{з} + h)$;
$M_{з} = \frac{v^{2} * (R_{з} + h)}{G}$;
$M_{з} = \frac{1 000 ^{2} * (6 400 000 + 384 000 000)}{6,67 * 10^{-11}} = \frac{39,04 * 10^{13}}{6,67 * 10^{-11}} = 5,8 * 10^{24}$ кг.
Ответ: $5,8 * 10^{24}$ кг.

Задание №1656

Чему равна первая космическая скорость для планеты, масса и радиус которой в 2 раза больше, чем у Земли?

Решение

Дано:
$M_{п} = 2М_{з}$;
$R_{п} = 2R_{з}$;
$M_{з} = 6 * 10^{24}$ кг;
R = 6400 км;
$G = 6,67 * 10^{-11} \frac{Н * м^{2}}{кг^{2}}$.
Найти:
$v_{п}$ − ?
СИ:
$R = 6,4 * 10^{6}$ м.
Решение:
Первая космическая скорость Земли равна:
$v_{з} = \sqrt{G * \frac{M_{з}}{R_{з}}}$;
Формула первой космической скорости планеты такая же как у Земли:
$v_{п} = \sqrt{G * \frac{M_{п}}{R_{п}}} = \sqrt{G * \frac{2М_{з}}{2R_{з}}} = \sqrt{G * \frac{М_{з}}{R_{з}}}$;
$v_{п} = \sqrt{\frac{6,67 * 10^{-11} * 6 * 10^{24}}{6,4 * 10^{6}}} = \sqrt{6,23 * 10^{7}} = 7893$ м/с ≈ 8 км/с.
Ответ: 8 км/с.

Задание №1657

Рассчитайте первую космическую скорость:
а) на планете Марс (масса $6,43 * 10^{23}$ кг, средний радиус $3,38 * 10^{6}$ м);
б) на планете Сатурн (масса $5,69 * 10^{26}$ кг, средний радиус $6,04 * 10^{7}$ м);
в) на планете Уран (масса $8,69 * 10^{25}$ кг, средний радиус $2,38 * 10^{7}$ м).

Решение

а) Дано:
$M = 6,43 * 10^{23}$ кг;
$R = 3,38 * 10^{6}$ м;
$G = 6,67 * 10^{-11} \frac{Н * м^{2}}{кг^{2}}$.
Найти:
v − ?
Решение:
Формула первой космической скорости планеты такая же как у Земли:
$v = \sqrt{G * \frac{M}{R}}$;
$v = \sqrt{6,67 * 10^{-11} * \frac{6,43 * 10^{23}}{3,38 * 10^{6}}} = \sqrt{12,63 * 10^{6}} = 3554$ м ≈ 3,6 км/с.
Ответ: 3,6 км/с.

б) Дано:
$M = 5,69 * 10^{26}$ кг;
$R = 6,04 * 10^{7}$ м;
$G = 6,67 * 10^{-11} \frac{Н * м^{2}}{кг^{2}}$.
Найти:
v − ?
Решение:
Формула первой космической скорости планеты такая же как у Земли:
$v = \sqrt{G * \frac{M}{R}}$;
$v = \sqrt{6,67 * 10^{-11} * \frac{5,69 * 10^{26}}{6,04 * 10^{7}}} = \sqrt{6,28 * 10^{8}} = 25059$ м ≈ 25,1 км/с.
Ответ: 25,1 км/с.

в) Дано:
$M = 8,69 * 10^{25}$ кг;
$R = 2,38 * 10^{7}$ м;
$G = 6,67 * 10^{-11} \frac{Н * м^{2}}{кг^{2}}$.
Найти:
v − ?
Решение:
Формула первой космической скорости планеты такая же как у Земли:
$v = \sqrt{G * \frac{M}{R}}$;
$v = \sqrt{6,67 * 10^{-11} * \frac{8,69 * 10^{25}}{2,38 * 10^{7}}} = \sqrt{24,35 * 10^{7}} = 15604$ м/с ≈ 15,6 км/с.
Ответ: 15,6 км/с.

Задание №1658

Найдите среднюю скорость движения Земли по орбите, если радиус орбиты $1,5*10^{11}$ м, а масса Солнца $2 * 10^{30}$ кг.

Решение

Дано:
$R = 1,5*10^{11}$ м;
$m_{с} = 2 * 10^{30}$ кг;
$G = 6,67 * 10^{-11} \frac{Н * м^{2}}{кг^{2}}$.
Найти:
$v_{з}$ − ?
Решение:
Сила притяжения Солнца и Земли:
$F = G * \frac{m_{с}m_{з}}{R^{2}}$;
Центростремительное ускорение Земли определим из второго закона Ньютона:
$a = \frac{F}{m_{з}}$;
Найдем скорость движения Земли на орбите:
$a = \frac{v^{2}}{R}$;
$v^{2} = aR$;
$v_{з} = \sqrt{aR} = \sqrt{\frac{FR}{m_{з}}} = \sqrt{\frac{G * \frac{m_{с}m_{з}}{R^{2}}R}{m_{з}}} = \sqrt{\frac{G * m_{с}}{R}}$;
$v_{з} = \sqrt{\frac{6,67 * 10^{-11} * 2 * 10^{30}}{1,5*10^{11}}} = \sqrt{8,89 * 10^{8}} = 29816$ м/с ≈30 км/с.
Ответ: 30 км/с.

Задание №1659

Первый в мире советский космонавт Ю. А. Гагарин на космическом корабле «Восток−1» пролетел вокруг Земли расстояние 41580 км со средней скоростью 28 000 км/ч. Сколько времени длился полёт?

Решение

Дано:
l = 41580 км;
v = 28 000 км/ч.
Найти:
t − ?
СИ:
$S = 4158 * 10^{4}$ м;
v = 7777,8 м/с.
Решение:
$t = \frac{l}{v}$;
$t = \frac{4158 * 10^{4}}{7777,8} = 5346$ c = 89 мин.
Ответ: 89 мин.

Задание №1660

Средняя высота, на которой спутник движется над поверхностью Земли, 1700 км. Определите скорость движения и период обращения спутника, если радиус Земли 6400 км.

Решение

Дано:
h = 1700 км;
R = 6400 км;
M = $6 * 10^{24}$ кг;
$G = 6,67 * 10^{-11} \frac{Н * м^{2}}{кг^{2}}$.
Найти:
v − ?
T − ?
СИ:
h = 1700 000 м;
R = 6 400 000 м.
Решение:
Первая космическая скорость равна:
$v = \sqrt{G * \frac{M_{з}}{R_{з} + h}}$;
$v = \sqrt{6,67 * 10^{-11} * \frac{6 * 10^{24}}{6400 000 + 1700 000}} = 7000$ м/с ≈ 7 км/с;
$v = \frac{2π *(R + h)}{T}$;
$T = \frac{2π *(R + h)}{v}$;
$T = \frac{2 * 3,14 *(6 400 000 + 1700 000)}{7000} = 7267$ c = 121 мин.
Ответ: 7 км/с; 121 мин.

Задание №1661

Какую скорость имеет искусственный спутник, движущийся на высоте 300 км над поверхностью Земли? Чему равен его период обращения?

Решение

Дано:
h = 300 км;
R = 6400 км;
M = $6 * 10^{24}$ кг;
$G = 6,67 * 10^{-11} \frac{Н * м^{2}}{кг^{2}}$.
Найти:
v − ?
T − ?
СИ:
h = 300 000 м;
R = 6 400 000 м.
Решение:
Первая космическая скорость равна:
$v = \sqrt{G * \frac{M_{з}}{R_{з} + h}}$;
$v = \sqrt{6,67 * 10^{-11} * \frac{6 * 10^{24}}{6400 000 + 300 000}} = 7727$ м/с ≈ 7,7 км/с;
$v = \frac{2π *(R + h)}{T}$;
$T = \frac{2π *(R + h)}{v}$;
$T = \frac{2 * 3,14 *(6 400 000 + 300 000)}{7000} = 5445$ c = 91 мин.
Ответ: 7,7 км/с; 91 мин.