Задание №481

Для транспортировки стальных труб морем их заваривают с двух сторон так, чтобы они были водонепроницаемы. Определите, при каком наименьшем внутреннем диаметре труба массой 3,9 т, длиной 5 м не утонет.

Решение

Дано:
m = 3,9 т;
L = 5 м;
$ρ_{в} = 1030 кг/м^{3}$;
$ρ_{ст} = 7800 кг/м^{3}$;
Найти:
d − ?
СИ:
m = 3900 кг.
Решение:
Пусть внутренний диаметр d. Площадь сечения внутренней части трубы (пустоты) равна:
$S_{1} = \frac{πd^{2}}{4}$;
При длине трубы L и массе m площадь кольца трубы равна:
$S_{2} = \frac{V}{L} = \frac{m}{ρ_{ст} * L}$;
Объем трубы наружный равен:
$V = (S_{1} + S_{2}) * L = (\frac{πd^{2}}{4} + \frac{m}{ρ_{ст} * L}) * L = \frac{πd^{2}L}{4} + \frac{m}{ρ_{ст}}$;
Если такую трубу полностью погрузить в воду то будет дуйствовать сила Архимеда $F_{А} = gρ_{в}V$, способная удержать на плаву массу $m_{1} = \frac{F_{А}}{g} = ρ_{в}V = ρ_{в}(\frac{πd^{2}L}{4} + \frac{m}{ρ_{ст}}) > m$;
$\frac{πd^{2}L}{4} + \frac{m}{ρ_{ст}}>\frac{m}{ρ_{в}}$;
$\frac{πd^{2}L}{4} > \frac{m}{ρ_{в}} - \frac{m}{ρ_{ст}}$;
$πd^{2}L > 4m * (\frac{1}{ρ_{в}} - \frac{1}{ρ_{ст}})$;
$d^{2} > \frac{4m * (\frac{1}{ρ_{в}} - \frac{1}{ρ_{ст}})}{πL}$;
d > $\sqrt{\frac{4m * (\frac{1}{ρ_{в}} - \frac{1}{ρ_{ст}})}{πL}}$;
d > $\sqrt{\frac{4 * 3900 * (\frac{1}{1030} - \frac{1}{7800})}{3,14 * 5}} = \sqrt{\frac{4 * 3900 * (\frac{7800 - 1030}{1030 * 7800})}{3,14 * 5}} = \sqrt{\frac{4 * 3900 * (\frac{6770}{8034000})}{15,7}}= \sqrt{\frac{\frac{105612000}{8034000}}{15,7}} = \sqrt{\frac{13,146}{15,7}} = \sqrt{0,8373} = 0,92$.
Ответ: 0,92 м.

Задание №482

Льдина плавает на воде. Объём её надводной части равен 20 $м^{3}$. Чему равен объём подводной части?

Решение

Дано:
$V_{1} = 20 м^{3}$;
$ρ_{в} = 1000 кг/м^{3}$;
$ρ_{л} = 900 кг/м^{3}$.
Найти:
$V_{2}$ − ?
Решение:
$F_{A} = P$;
$P = mg = gρ_{л}V = gρ_{л} * (V_{1} + V_{2})$;
$F_{A} = gρ_{в}V_{2}$;
$gρ_{в}V_{2} = gρ_{л} * (V_{1} + V_{2})$;
$gρ_{в}V_{2} = gρ_{л}V_{1} + gρ_{л}V_{2}$;
$gρ_{в}V_{2} - gρ_{л} V_{2} = gρ_{л} * V_{1}$;
$V_{2} * (gρ_{в} - gρ_{л}) = gρ_{л} * V_{1}$;
$V_{2} = \frac{gρ_{л} * V_{1}}{gρ_{в} - gρ_{л}} = \frac{gρ_{л} * V_{1}}{g * (ρ_{в} - ρ_{л})} = \frac{ρ_{л} * V_{1}}{ρ_{в} - ρ_{л}}$;
$V_{2} = \frac{900 * 20}{1000-900} = \frac{18000}{100} = 180 м^{3}$.
Ответ: 180 $м^{3}$.

Задание №483

Задача Архимеда. Из чистого ли золота изготовлена царская корона, если её вес в воздухе 28,2 Н, а в воде − 26,4 Н?

Решение

Дано:
$P_{1} = 28,2$ Н;
$P_{2} = 26,4$ Н;
$ρ_{в} = 1000 кг/м^{3}$;
$ρ_{з} = 19300 кг/м^{3}$;
Найти:
$ρ_{к }$ − ?
Решение:
$F_{A} = P_{1} - P_{2}$;
$F_{A} = 28,2 - 26,4 = 1,8$ Н;
$F_{A} = gρ_{в}V$;
$P_{1} = m_{к}g = gρ_{к}V$;
$V = \frac{P_{1} }{gρ_{к}}$;
$F_{A} = gρ_{в} * \frac{P_{1}}{gρ_{к}}= \frac{P_{1}ρ_{в}}{ρ_{к}}$;
$ρ_{к} = \frac{P_{1}ρ_{в}}{F_{A}}$;
$ρ_{к} = \frac{28,2 * 1000}{1,8} = 15667$ Н.
$ρ_{к} < ρ_{з}$, значит корона не из чистого золота.
Ответ: Корона изготовлена не из чистого золота.

Задание №484

Медный шар весом 26,7 Н плавает в воде, погрузившись до половины. Найдите объём полости шара.

Решение

Дано:
$P = 26,7$ Н;
$V_{погр} = \frac{V}{2}$;
$ρ_{в} = 1000 кг/м^{3}$;
$ρ_{м} = 8900 кг/м^{3}$;
Найти:
$V_{пол}$ − ?
Решение:
$P = mg = gρ_{м}V_{об}$;
$V_{об} = \frac{P}{gρ_{м}}$;
g = 9,8 Н/кг;
$V_{об} = \frac{26,7}{9,8*8900} = 0,0003 м^{3}$;
Так как шар плавает, то:
$F_{A} = P = 26,7$ Н;
$F_{A} = gρ_{в} * V_{погр}$
$V_{погр} = \frac{F_{A}}{gρ_{в}}$;
$V_{погр} = \frac{26,7}{9,8 * 1000} = 0,0027 м^{3}$;
Т.к. шар погружён наполовину, то объём всего шара в два раза больше.
$V = V_{погр} * 2 = 0,0027 * 2 = 0,0054 м^{3}$;
$V_{пол} = V - V_{об}$;
$V_{пол} = 0,0054 - 0,0003 = 0,0051 м^{3} = 5,1 дм^{3}$.
Ответ: 5,1 $дм^{3}$.

Задание №485

Объём надводной части айсберга равен 5000 $м^{3}$. Определите объём всего айсберга.

Решение

Дано:
$V_{1} = 5000 м^{3}$;
$ρ_{в} = 1000 кг/м^{3}$;
$ρ_{л} = 900 кг/м^{3}$.
Найти:
V − ?
Решение:
$F_{A} = P$;
$P = mg = gρ_{л}V = gρ_{л} * (V_{1} + V_{2})$;
$F_{A} = gρ_{в}V_{2}$;
$gρ_{в}V_{2} = gρ_{л} * (V_{1} + V_{2})$;
$gρ_{в}V_{2} - gρ_{л} V_{2} = gρ_{л} * V_{1}$;
$V_{2} = \frac{ρ_{л} * V_{1}}{ρ_{в} - ρ_{л}}$;
$V_{2} = \frac{900 * 5000}{1000-900} = 45000 м^{3}$;
$V = V_{1} + V_{2}$;
V = 5000 + 45000 = 50 000 $м^{3}$.
Ответ: 50 000 $м^{3}$.

Задание №486

Масса оболочки, гондолы, балласта и команды стратостата «СССР», совершившего в 1933 г. подъём в стратосферу на высоту 19 км, была равна 2480 кг. Оболочка объёмом 2500 $м^{3}$ содержала перед стартом водород объёмом около 2150 $м^{3}$. С каким ускорением начал подниматься стратостат?

Решение

Дано:
$m_{общ} = 2480$ кг;
h = 19 км;
$V_{об} = 2500 м^{3}$;
$V_{в} = 2150 м^{3}$;
$ρ_{возд} = 1,29 кг/м^{3}$;
$ρ_{в} = 0,09 кг/м^{3}$.
Найти:
а − ?
Решение:
$a = \frac{F_{п}}{m}$;
$F_{п} = F_{А} - F_{т}$;
$F_{А} = gρ_{возд}V_{об}$;
$F_{т} = mg = (m_{общ} + m_{в})g = (m_{общ} + ρ_{в}V_{в})g$;
$a = \frac{gρ_{возд}V_{об} - (m_{общ} + ρ_{в}V_{в})g}{m_{общ} + ρ_{в}V_{в}} = \frac{g * (ρ_{возд}V_{об} - m_{общ} - ρ_{в}V_{в})}{m_{общ} + ρ_{в}V_{в}}$;
g ≈10 Н/кг;
$a = \frac{10 * (1,29 * 2500 - 2480 - 0,09 * 2150)}{2480 + 0,09 * 2150} = \frac{10 * (3225 - 2480 - 193,5)}{2480 + 193,5} = \frac{10 * 551,5}{2673,5} = \frac{5515}{2673,5} = 2$ м/с.
Ответ: 2 м/с.

Задание №487

Возьмите блюдце и опустите его на воду ребром − оно тонет. Если блюдце опустить на воду дном, оно плавает на поверхности. Почему?

Решение

Фарфор или фаянс обладает большей плотностью, чем вода, поэтому при опускании блюдца ребром оно тонет. При опускании блюдца дном на воду оно погружается в воду на такую глубину, при которой объем вытесненной воды по силе тяжести равен силе тяжести блюдца, что соответствует условию плавания тел на поверхности воды.

Задание №488

В воду опустите картофелину. Почему она тонет? Понемногу растворяя в воде соль, добейтесь того, чтобы картофелина плавала в воде; всплыла на поверхность воды. Объясните опыт.

Решение

Плотность картофеля больше плотности воды поэтому он тонет. При добавлении соли, плотность воды увеличивается, и при определенной концентрации, картофель всплывет или будет плавать в толще. Чтобы картофель плавал, плотности воды и картофеля, должны быть одинаковы.

Задание №489

Возьмите стеариновую свечу. К нижнему концу прикрепите небольшой грузик и опустите свечу в стеклянный сосуд с водой. Свеча при этом должна плавать, как поплавок (рис. 58). Как долго будет гореть свеча?
рис. 58

Решение

Свеча выгорит почти до самого конца, и фитиль будет погашен водой. В процессе горения постепенно убывает сила тяжести свечи. Для ее равновесия выталкивающая сила должна уменьшатся, а это возможно только с подъемом свечи.

Задание №490

Проверьте на опыте, что легче − держать ведро без воды в воздухе или с водой в воде. Опыт объясните.

Решение

Легче держать ведро с водой в воде. Если ведро в толще вод, то для удержания необходима меньшая сила, т.к помогает сила Архимеда. Если ведро не полное, то оно будет плавать на поверхности и его нужно будет только поддерживать чтобы оно не опрокинулось.

Задание №491

а) Почему свежее яйцо тонет в воде, а испорченное всплывает? При возможности проверьте на опыте.
б) Как заставить всплыть яйцо, погружённое в банку с водой, не прикасаясь руками ни к яйцу, ни к банке?

Решение

а) Свежие яйца тонут, т.к. плотность яйца больше плотности воды.
Когда яйцо начинает портиться, под скорлупой начинает выделяться газ из−за возникшего процесса гниения. Газ сам по себе легкий, но также влияет на плотность яйца. Скорлупа имеет пористую структуру, что позволяет сероводороду выделяться в окружающую среду. Когда достаточное количество газа выходит, плотность яйца становится меньше и яйцо при опускании в воду всплывает.

б) Это можно сделать, растворив в воде большое количество соли (соль можно всыпать в сосуд, не прикасаясь к нему руками). Как только плотность солевого раствора станет больше средней плотности яйца, оно всплывет.