Задание №1798

Чему равно ускорение свободного падения на поверхности планеты Марс при условии, что там математический маятник длиной 50 см совершил бы 20 колебаний за 40 с?

Решение

Дано:
l = 50 см;
N = 20 колебаний;
t = 40 сек.
Найти:
g − ?
СИ:
l = 0,5 м.
Решение:
Найдем период колебания математического маятника:
$T = \frac{t}{N}$;
Найдем ускорение свободного падения:
$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
$\frac{t}{N} = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
$\sqrt{\frac{l}{g}}= \frac{\frac{t}{N}}{2π} = \frac{t}{2πN}$;
$\frac{l}{g} = (\frac{t}{2πN})^{2}$;
$g = \frac{l}{(\frac{t}{2πN})^{2}} = l * (\frac{2πN}{t})^{2}$;
$g = 0,5 * (\frac{2 * 3,14 * 20}{40})^{2} = 4,9 м/с^{2}$.
Ответ: 4,9 $м/с^{2}$.

Задание №1799

По данным таблицы, относящимся к колебаниям математического маятника, составьте и решите задачи.

№ п/п t,с N T, с ν, Гц
1 25 50 ? ?
2 15 ? ? 100
3 ? 10 2 ?
4 ? 200 ? 50
5 200 ? 2 ?
Решение 1
Груз, колеблющийся на пружине, за 25 с совершил 50 колебаний. Найдите период и частоту колебаний.

Дано:
t = 25 c;
N = 50 колебаний.
Найти:
T − ?
ν − ?
Решение:
$T = \frac{t}{N}$;
$T = \frac{25}{50} = 0,5$ с;
$ν = \frac{N}{t}$;
$ν = \frac{50}{25} = 2$ Гц.
Ответ: 0,5 с; 2 Гц.

Решение 2
Математический маятник колеблется с частотой 100 Гц. Найдите период колебаний и число колебаний за 15 с.

Дано:
t = 15 c;
ν = 100 Гц.
Найти:
T − ?
N − ?
Решение:
Найдем период колебания маятника:
$T = \frac{1}{ν }$;
$T = \frac{1}{100} = 0,01$ с;
Найдем число колебаний:
$T = \frac{t}{N}$;
$N = \frac{t}{T}$;
$N = \frac{15}{0,01} = 1500$ колебаний.
Ответ: 0,01 с; 1500 колебаний.

Решение 3
Период колебания маятника 2 с. За какое время он совершит 10 колебаний? Определите частоту колебаний маятника.

Дано:
T = 2 c;
N = 10 колебаний.
Найти:
t − ?
ν − ?
Решение:
Найдем время колебания маятника:
$T = \frac{t}{N}$;
t = TN;
t = 2 * 10 = 20 c;
Найдем частоту колебаний:
$ν = \frac{1}{T}$;
$ν = \frac{1}{2} = 0,5$ Гц.
Ответ: 20 с; 0,5 Гц.

Решение 4
Груз, колеблющийся на пружине, совершил 200 колебаний. Частота колебаний груза 50 Гц. Найдите период и время колебания груза.

Дано:
N = 200 колебаний;
ν = 50 Гц.
Найти:
t − ?
T − ?
Решение:
Найдем период колебания маятника:
$T = \frac{1}{ν}$;
$T = \frac{1}{50} = 0,02$ с;
Найдем время колебания маятника:
$T = \frac{t}{N}$;
t = TN;
t = 0,02 * 200 = 4 c.
Ответ: 0,02 с; 4 с.

Решение 5
Период колебания маятника 2 с. Найдите частоту колебаний и число колебаний за 200 с.

Дано:
t = 200 c;
T = 2 c.
Найти:
N − ?
ν − ?
Решение:
Найдем частоту колебаний:
$ν = \frac{1}{T}$;
$ν = \frac{1}{2} = 0,5$ Гц.
Найдем число колебаний:
$T = \frac{t}{N}$;
$N = \frac{t}{T}$;
$N = \frac{200}{2} = 100$ колебаний.
Ответ: 0,5 Гц; 100 колебаний.

Задание №1800

Периоды колебаний двух математических маятников относятся как 3:2. Определите, во сколько раз первый маятник длиннее второго.

Решение

Дано:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{3}{2}$.
Найти:
$\frac{l_{1}}{l_{2}}$ − ?.
Решение:
$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
$T_{1} =\frac{3T_{2}}{2}$;
$2π\sqrt{\frac{l_{1}}{g}} = \frac{3}{2} * 2π\sqrt{\frac{l_{2}}{g}}$;
$2\sqrt{l_{1}} = 3\sqrt{l_{2}}$;
$\sqrt{\frac{l_{1}}{l_{2}}} = \frac{3}{2}$;
${\frac{l_{1}}{l_{2}}} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4} = 2,25$.
Ответ: в 2,25 раза.

Задание №1801

Длины математических маятников относятся как 16:1. Как относятся частоты колебаний этих маятников?

Решение

Дано:
$\frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{16}{1}$.
Найти:
$\frac{ν_{1}}{ν_{2}}$ − ?
Решение:
Период гармонических колебаний математического маятника равен:
$T = \frac{1}{ν}$;
$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
$\frac{1}{ν} = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
$\sqrt{\frac{l}{g}} =\frac {\frac{1}{ν}}{2π} = \frac{1}{2πν}$;
$\frac{l}{g} =(\frac{1}{2πν})^{2} = \frac{1}{4π^{2}ν^{2}}$;
$l = \frac{g}{4π^{2}ν^{2}}$;
$l_{1} = 16l_{2}$;
$\frac{g}{4π^{2}ν_{1}^{2}} = \frac{16g}{4π^{2}ν_{2}^{2}}$;
$\frac{ν_{1}^{2}}{ν_{2}^{2}} = (\frac{ν_{1}}{ν_{2}})^{2} = \frac{1}{16}$;
$\frac{ν_{1}}{ν_{2}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

Задание №1802

Алюминиевый шар, закреплённый на пружине, совершает колебания с периодом 2 с. Каким будет период колебания, если алюминиевый шар заменить медным такого же объёма?

Решение

Дано:
$T_{ал} = 2$ c.;
$V_{ал} = V_{м} = V$;
$ρ_{ал} = 2700 кг/м^{3}$;
$ρ_{м} = 8900 кг/м^{3}$.
Найти:
$T_{м}$ − ?
Решение:
m = ρV;
Период колебаний алюминиевого шара равен:
$T_{ал} = 2π\sqrt{\frac{m_{ал}}{k}} = 2π\sqrt{\frac{ρ_{ал}V}{k}} = 2π\sqrt{\frac{V}{k}} * \sqrt{ρ_{ал}}$;
$2π\sqrt{\frac{V}{k}} = \frac{T_{ал}}{\sqrt{ρ_{ал}}}$;
Период колебаний медного шара равен:
$T_{м} = 2π\sqrt{\frac{m_{м}}{k}} = 2π\sqrt{\frac{ρ_{м}V}{k}} = 2π\sqrt{\frac{V}{k}} * \sqrt{ρ_{м}} = \frac{T_{ал}}{\sqrt{ρ_{ал}}} * \sqrt{ρ_{м}} = T_{ал} * \sqrt{\frac{ρ_{м}}{ρ_{ал}}}$;
$T_{м} = 2 * \sqrt{\frac{8900}{2700}} = 3,6$ c.
Ответ: 3,6 с.

Задание №1803

Чему равна первоначальная длина математического маятника, если при увеличении его длины на 30 см период колебания маятника увеличивается в 2 раза?

Решение

Дано:
△l = 30 см;
$T_{2} = 2 T_{1}$.
Найти:
$l_{1}$ − ?
СИ:
△l = 0,3 м.
Решение:
$△l = l_{2} - l_{1} = 0,3$ м;
$l_{2} = l_{1} + 0,3$;
Период колебания математического маятника равен:
$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
Т.к. $T_{2} = 2 T_{1}$, $l_{2} = l_{1} + 0,3$, то уравнение примет вид:
$2π\sqrt{\frac{l_{2}}{g}} = 2π\sqrt{\frac{{l_{1} + 0,3}}{g}} = 2 * 2π\sqrt{\frac{l_{1}}{g}}$;
$\sqrt{ l_{1} + 0,3} = 2 * \sqrt{ l_{1}}$;
Возведём обе части уравнения в квадрат:
$l_{1} + 0,3 = 4l_{1}$;
$3l_{1} = 0,3$;
$l_{1} = \frac{0,3}{3} = 0,1$ м = 10 см.
Ответ: 10 см.

Задание №1804

Груз массой 0,3 кг совершает колебания на пружине жёсткостью 30 Н/м. Рассчитайте наибольшую скорость и полную энергию груза при колебаниях, если амплитуда колебаний равна 0,1 м.

Решение

Дано:
m = 0,3 кг;
k = 30 Н/м;
A = 0,1 м.
Найти:
$v_{max}$ − ?
E − ?
Решение:
Потенциальная энергия пружинного маятника равна:
$E_{п}= \frac{kA^{2}}{2}$;
Кинетическая энергия пружинного маятника равна:
$E_{к}= \frac{mv^{2}}{2}$;
По закону сохранения энергии:
$E = E_{п} + E_{к} = const$;
В точке максимального отклонения энергия колебательной системы равна потенциальной энергии пружины (т.к. скорость в этой точке равна нулю):
$E = E_{п} = \frac{kA^{2}}{2}$;
$E = \frac{30 * 0,1^{2}}{2} = 0,15$ Дж;
Наибольшая скорость груза достигается в положении равновесия, при этом отклонение равно нулю. В этой точке полная механическая энергия равна кинетической энергии пружины:
$E = E_{к} = \frac{mv_{max}^{2}}{2}$;
Найдем наибольшую скорость груза при колебаниях:
$mv_{max}^{2} = 2E$;
$v_{max}^{2} = \frac{2E}{m}$;
$v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$;
$v = \sqrt{\frac{2 * 0,15}{0,3}} = 1$ м/с.
Ответ: 1 м/с; 0,15 Дж.

Задание №1805

Частица массой 0,01 г совершает колебания частотой 500 Гц и амплитудой 2 мм. Определите:
а) кинетическую энергию частицы при прохождении ею положения равновесия;
б) потенциальную энергию частицы при смещении, равном амплитуде;
в) полную энергию колеблющейся частицы.

Решение

Дано:
m = 0,01 г;
ν = 500 Гц;
A = 2 мм.
Найти:
$E_{к}$ − ?
$E_{п}$ − ?
E − ?
СИ:
m = 0,00001 кг;
A = 0,002 м.
Решение:
Полная механическая энергия колеблющегося тела остается постоянной при колебаниях и равна: максимальной кинетической энергии тела; либо максимальной потенциальной энергии тела; либо сумме потенциальной и кинетической энергии тела в любой момент времени.
$E = E_{п}^{max}= E_{к}^{max} = E_{п} + E_{к}$;
В момент прохождения частицей положения равновесия, скорость тела максимальна, следовательно, в этот момент тело обладает максимальной кинетической энергией:
$v = v_{max} = ωA = 2πνA$;
$E_{к}^{max} = \frac{mv_{max}^{2}}{2} = \frac{m(2πνA)^{2}}{2} = 2m * (πνA)^{2}$;
$E_{к}^{max} = 2 * 0,00001 * (3,14 * 500 * 0,002)^{2} = 0,0002$ Дж;
При смещении частицы равном амплитуде скорость частицы равна нулю и она обладает максимальной потенциальной энергией.
$E_{п}^{max} = E_{к}^{max} = E = 0,0002$ Дж.
Ответ: 0,0002 Дж; 0,0002 Дж; 0,0002 Дж.

Задание №1806

В 1750 г. близ города Анжера во Франции через цепной мост длиной 102 м шёл в ногу отряд солдат (487 человек). При прохождении отряда мост стал раскачиваться. Размах колебаний увеличился настолько, что цепи оборвались и мост с солдатами обрушился. Погибло 226 человек. Какова причина этой катастрофы?

Решение

Наступил резонанс, так как совпала частота колебаний, вызванных движением солдат, и частота собственных колебаний моста.