Задание №1807

При определённой скорости движения оконные стёкла в автобусе начинают дребезжать. Почему?

Решение

При определенной скорости трамвая, его колебания совпадают с колебаниями стекол и они резонируют, в следствие этого его стекла начинают дребезжать.

Задание №1808

Чтобы помочь шофёру вытащить автомобиль, застрявший в грязи, несколько человек раскачивают автомобиль, причём толчки, как правило, производятся по команде. Имеет ли значение, через какие промежутки времени подавать команду?

Решение

Имеет. Чтобы толчки были более эффективны должен возникнуть резонанс между силой толчков и колебательным движением автомобиля. Надо подавать команду через промежутки времени, равные периоду собственного колебания автомобиля.

Задание №1809

Если нести вёдра с водой на коромысле, то при определённом темпе ходьбы они начинают сильно раскачиваться. Чем объяснить это явление? Как уменьшить раскачивание вёдер?

Решение

Если частота шагов совпадёт с собственной частотой колебаний воды в ведре, то возникает резонанс и амплитуда колебаний воды увеличивается. Чтобы не допустить этого, нужно изменить частоту вынуждающей силы, т.е. темп ходьбы.

Задание №1810

С какой целью вибрационные машины в помещениях устанавливают на специальные металлические или резиновые амортизаторы?

Решение

Вибрационные машины ставятся на амортизаторы, т.к. они уменьшают амплитуду колебаний, потому что их резонансная частота намного ниже частоты вибраций машины, что позволяет «сгладить» вибрации всего устройства.

Задание №1811

Период собственного свободного колебания железнодорожного вагона равен 1,25 с. На стыках рельсов вагон получает периодические удары, которые являются причиной вынужденных колебаний вагона. При какой минимальной скорости поезда возникает резонанс и пассажиры будут ощущать сильное вертикальное раскачивание вагона? Длина каждого рельса между стыками 25 м.

Решение

Дано:
$T_{1} = 1,25$ с;
l = 25 м.
Найти:
$v_{поезда}$ − ?
Решение:
Условие резонанса:
$ν_{1} = v_{2}$;
$\frac{1}{T_{1}} = \frac{1}{T_{2}}$;
$T_{1} = T_{2}$;
Для выполнения условия резонанса вагон должен получать удары через период $T_{2} = T_{1}$. Для этого он должен двигаться со скоростью:
$v_{поезда} = \frac{l}{T_{2}}$;
$v_{поезда} = \frac{25}{1,25} = 20$ м/с.
Ответ: 20 м/с.

Задание №1812

К потолку вагона подвешен на нити длиной 1 м маленький шарик. При какой скорости вагона шарик будет сильно раскачиваться под действием ударов колёс о стыки рельсов? Длина рельса равна 12,5 м.

Решение

Дано:
$l_{1} = 1$ м;
$l_{2} = 12,5$ м;
$g ≈ 10 м/с^{2}$.
Найти:
$v_{вагона}$ − ?
Решение:
Период колебаний шарика равен:
$T_{1} = 2π\sqrt{\frac{l_{1}}{g}}$;
$T = 2 * 3,14 * \sqrt{\frac{1}{10}} = 1,99$ с;
Условие резонанса:
$ν_{1} = v_{2}$;
$\frac{1}{T_{1}} = \frac{1}{T_{2}}$;
$T_{1} = T_{2} = 1,99$ с;
Для выполнения условия резонанса вагон должен получать удары через период $T_{2} = T_{1}$ (частота колебаний шарика совпадет с частотой наезда колес на стыки рельс). Для этого вагон должен двигаться со скоростью:
$v_{вагона} = \frac{l_{2}}{T_{2}}$;
$v_{вагона} = \frac{12,5}{1,99} = 6,3$ м/с.
Ответ: 6,3 м/с.

Задание №1813

За одно и то же время один математический маятник совершает 50 полных колебаний, а другой − 30. Найдите длины маятников, если один из них длиннее другого на 32 см.

Решение

Дано:
$t_{1} = t_{2}$;
$N_{1} = 50$ колебаний;
$N_{2} = 30$ колебаний;
△l = 32 см.
Найти:
$l_{1}$ − ?
$l_{2}$ − ?
СИ:
△l = 0,32 м.
Решение:
$△l = l_{2} - l_{1} = 0,32$ м;
$l_{2} = l_{1} + 0,32$;
Период колебания математического маятника равен:
$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
Найдем время колебания маятника:
$T = \frac{t}{N}$;
t = TN;
Из равенства $t_{1} = t_{2}$ следует, что:
$T_{1}N_{1} = T_{2}N_{2}$;
$ 2π\sqrt{\frac{l_{1}}{g}} * N_{1} = 2π\sqrt{\frac{l_{2}}{g}} * N_{2} = 2π\sqrt{\frac{l_{1} + 0,32}{g}} * N_{2} $;
$N_{1} \sqrt{l_{1}} = N_{2}\sqrt{l_{1} + 0,32}$;
Возведем обе части равенства в квадрат:
$N_{1}^{2} l_{1} = N_{2}^{2} * (l_{1} + 0,32)$;
$N_{1}^{2} l_{1} = N_{2}^{2} l_{1} + 0,32N_{2}^{2}$;
$N_{1}^{2} l_{1} - N_{2}^{2} l_{1} = 0,32N_{2}^{2}$;
$l_{1} * (N_{1}^{2} - N_{2}^{2}) = 0,32N_{2}^{2}$;
$l_{1} = \frac{0,32N_{2}^{2}}{N_{1}^{2} - N_{2}^{2}}$;
$l_{1} = \frac{0,32 * 30^{2}}{50^{2} - 30^{2}} = 0,18$ м = 18 см;
$l_{2} = 0,18 + 0,32 = 0,5$ м = 50 см.
Ответ: 18 см; 50 см.

Задание №1814

Один математический маятник имеет период колебания 3 с, а другой − 4 с. Рассчитайте период колебания математического маятника, длина которого равна сумме длин этих маятников.

Решение

Дано:
$T_{1} = 3$ c;
$T_{2} = 4$ c;
$l_{3} = l_{1} + l_{2}$.
Найти:
$T_{3}$ − ?
Решение:
Период колебания математического маятника равен:
$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
$\sqrt{\frac{l}{g}} = \frac{T}{2π}$;
$\frac{l}{g} = (\frac{T}{2π})^{2}$;
$l = g * (\frac{T}{2π})^{2}$;
Найдем длину третьего маятника:
$l_{3} = l_{1} + l_{2} = g * (\frac{T_{1}}{2π})^{2} + g * (\frac{T_{2}}{2π})^{2} = g * (\frac{T_{1}^{2}}{4π^{2}} + \frac{T_{2}^{2}}{4π^{2}}) = \frac{g * (T_{1}^{2} + T_{2}^{2})}{4π^{2}}$;
Найдем период колебания третьего маятника:
$T_{3} = 2π\sqrt{\frac{l_{3}}{g}} = 2π\sqrt{\frac{\frac{g * (T_{1}^{2} + T_{2}^{2})}{4π^{2}}}{g}} = 2π\sqrt{\frac{T_{1}^{2} + T_{2}^{2}}{4π^{2}}} = 2π\sqrt{(T_{1}^{2} + T_{2}^{2}) * \frac{1}{4π^{2}}} = 2π * \frac{1}{2π} * \sqrt{T_{1}^{2} + T_{2}^{2}} = \sqrt{T_{1}^{2} + T_{2}^{2}}$;
$T_{3} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$ с.
Ответ: 5 с.

Задание №1815

Груз, подвешенный на пружине, колеблется с периодом колебания 0,5 с. На сколько укоротится пружина, если с неё снять груз?

Решение

Дано:
T = 0,5 с.;
$g = 10 м/с^{2}$;
Найти:
x − ?
Решение:
Груз совершает колебания под действием двух сил: силы тяжести и силы упругости.
В положении равновесия:
$F_{тяж} = F_{упр}$;
mg = kx;
$x = \frac{mg}{k}$;
Найдем жесткость пружины:
$T = 2π\sqrt{\frac{m}{k}}$;
$\sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{T}{2π}$;
$\frac{m}{k} = (\frac{T}{2π})^{2}$;
$k = \frac{m}{(\frac{T}{2π})^{2}} = \frac{4mπ^{2}}{T^{2}}$;
Найдем длину, на которую укоротится пружина:
$x = \frac{mg}{ \frac{4mπ^{2}}{T^{2}}} = \frac{gT^{2}}{4π^{2}} $;
$x = \frac{10 * 0,5^{2}}{4 * 3,14^{2}} = 0,063$ м = 6,3 см.
Ответ: На 6,3 см.

Задание №1816

На сколько отстанут часы с маятником за одни сутки, если их с полюса Земли перенести на экватор? Считать, что на полюсе часы шли точно. Ускорение свободного падения на полюсе равно 9,83 $м/с^{2}$, на экваторе — 9,78 $м/с^{2}$.

Решение

Дано:
$g_{экв} = 9,78 м/с^{2}$;
$g_{пол} = 9,83 м/с^{2}$;
t = 1 сутки.
Найти:
△t − ?
СИ:
t = 86400 с.
Решение:
$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
Найдем отношение периодов маятника:
$\frac{T_{экв}}{T_{пол}} = \frac{2π\sqrt{\frac{l}{g_{экв}}}}{2π\sqrt{\frac{l}{g_{пол}}}} = \sqrt{\frac{g_{пол}}{g_{экв}}}$;
Найдем время отставания часов с маятником на экваторе:
$△t = \frac{T_{экв}}{T_{пол}} * t - t = \sqrt{\frac{g_{пол}}{g_{экв}}} * t - t$;
$△t = \sqrt{\frac{9,83}{9,78}} * 86400 - 86400 = 221$ c. = 3 мин. 41 с.
Ответ: 3 мин. 41 с.