Задание №1786

На пружине жёсткостью 200 Н/м совершает колебания груз массой 0,5 кг. Найдите период и частоту колебаний этого груза. Чему будут равны период и частота колебаний, если взять пружину жёсткостью в 4 раза большей; в 4 раза меньшей?

Решение

1. Дано:
m = 0,5 кг;
k = 200 Н/м.
Найти:
T − ?
ν − ?
Решение:
$T = 2π\sqrt{\frac{m}{k}}$;
$T = 2 * 3,14\sqrt{\frac{0,5}{200}} = 0,314$ с.
$ν = \frac{1}{T}$;
$ν = \frac{1}{0,314} = 3,2$ Гц.
Ответ: 0,314 с.; 3,2 Гц.

2. Дано:
m = 0,5 кг;
$k_{1} = 200$ Н/м;
$k_{2} = 4k_{1}$.
Найти:
$T_{2}$ − ?
$ν_{2}$ − ?
Решение:
$T_{2} = 2π\sqrt{\frac{m}{k_{2}}} = 2π\sqrt{\frac{m}{4k_{1}}}$;
$T_{2} = 2 * 3,14\sqrt{\frac{0,5}{4 * 200}} = 0,157$ с.
$ν = \frac{1}{T}$;
$ν = \frac{1}{0,157} = 6,4$ Гц.
Ответ: 0,157 с.; 6,4 Гц.

3. Дано:
m = 0,5 кг;
$k_{1} = 200$ Н/м;
$k_{2} = \frac{k_{1}}{4}$.
Найти:
$T_{2}$ − ?
$ν_{2}$ − ?
Решение:
$T_{2} = 2π\sqrt{\frac{m}{k_{2}}} = 2π\sqrt{\frac{m}{\frac{k_{1}}{4}}} = 2π\sqrt{\frac{4m}{k_{1}}} = 4π\sqrt{\frac{m}{k_{1}}} $;
$T_{2} = 4 * 3,14\sqrt{\frac{0,5}{200}} = 0,628$ с.
$ν = \frac{1}{T}$;
$ν = \frac{1}{0,628} = 1,6$ Гц.
Ответ: 0,628 с.; 1,6 Гц.

Задание №1787

Изменится ли частота колебаний тела, подвешенного на пружине при увеличении массы тела в 4 раза; в 9 раз?

Решение

1. Дано:
$m_{2} = 4m_{1}$.
Найти:
$\frac{ν_{1}}{ν_{2}}$ − ?
Решение:
$T = 2π\sqrt{\frac{m}{k}}$;
$ν = \frac{1}{T} = \frac{1}{2π\sqrt{\frac{m}{k}}} = \frac{1}{2π} * \sqrt{\frac{k}{m}}$;
$\frac{ν_{1}}{ν_{2}} = \frac{\frac{1}{2π} * \sqrt{\frac{k}{m_{1}}}}{\frac{1}{2π} * \sqrt{\frac{k}{m_{2}}}} = \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}} = \sqrt{\frac{4m_{1}}{m_{1}}} = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: Частота колебаний тела уменьшится в 2 раза.

2. Дано:
$m_{2} = 9m_{1}$.
Найти:
$\frac{ν_{1}}{ν_{2}}$ − ?
Решение:
$T = 2π\sqrt{\frac{m}{k}}$;
$ν = \frac{1}{T} = \frac{1}{2π\sqrt{\frac{m}{k}}} = \frac{1}{2π} * \sqrt{\frac{k}{m}}$;
$\frac{ν_{1}}{ν_{2}} = \frac{\frac{1}{2π} * \sqrt{\frac{k}{m_{1}}}}{\frac{1}{2π} * \sqrt{\frac{k}{m_{2}}}} = \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}} = \sqrt{\frac{9m_{1}}{m_{1}}} = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: Частота колебаний тела уменьшится в 3 раза.

Задание №1788

Как изменится период колебания математического маятника, если его перенести с Земли на Луну? Ускорение свободного падения на Луне равно 1,6 $м/с^{2}$?

Решение

Дано:
$l_{л} = l_{з} = l$;
$g_{л} = 1,6 м/с^{2}$;
$g_{з} = 9,8 м/с^{2}$.
Найти:
$\frac{T_{л}}{T_{з}}$ − ?
Решение:
$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
$\frac{T_{л}}{T_{з}} = \frac{2π\sqrt{\frac{l}{g_{л}}}}{2π\sqrt{\frac{l}{g_{з}}}} = \sqrt{\frac{g_{з}}{g_{л}}}$;
$\frac{T_{л}}{T_{з}} = \sqrt{\frac{9,8}{1,6}} = 2,5$.
Ответ: Период колебания математического маятника увеличится в 2,5 раза.

Задание №1789

Период колебания математического маятника равен 1 с. Найдите длину этого маятника.

Решение

Дано:
T = 1 c.;
$g ≈ 10 м/с^{2}$.
Найти:
l − ?
Решение:
$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
$\sqrt{\frac{l}{g}} =\frac{T}{2π}$;
$\frac{l}{g} = (\frac{T}{2π})^{2}$;
$l = (\frac{T}{2π})^{2} * g$;
$l = (\frac{1}{2 * 3,14})^{2} * 10 = 0,256$ м.
Ответ: 0,256 м.

Задание №1790

Маятник Фуко, много лет висевший в Исаакиевском соборе в Санкт−Петербурге, совершал 3 колебания за 1 мин. Какова была длина маятника?

Решение

Дано:
N = 3 колебания;
t = 1 мин;
$g ≈ 10 м/с^{2}$.
Найти:
l − ?
СИ:
t = 60 с.
Решение:
$T = \frac{t}{N}$;
$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
$\frac{t}{N} = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
$\sqrt{\frac{l}{g}} =\frac{\frac{t}{N}}{2π} =\frac{t}{2πN} $;
$\frac{l}{g} = (\frac{t}{2πN})^{2}$;
$l = (\frac{t}{2πN})^{2} * g$;
$l = (\frac{60}{2 * 3,14 * 3})^{2} * 10 = 101$ м.
Ответ: 101 м.

Задание №1791

Груз, подвешенный на пружине, совершает 300 колебаний за 1 мин. Рассчитайте жёсткость пружины, если масса груза равна 100 г.

Решение

Дано:
N = 300 колебаний;
t = 1 мин;
m = 100 г.
Найти:
k− ?
СИ:
t = 60 с.;
m = 0,1 кг.
Решение:
$T = \frac{t}{N}$;
$T = 2π\sqrt{\frac{m}{k}}$;
$\frac{t}{N} = 2π\sqrt{\frac{m}{k}}$;
$\sqrt{\frac{m}{k}} =\frac{\frac{t}{N}}{2π} =\frac{t}{2πN} $;
$\frac{m}{k} = (\frac{t}{2πN})^{2}$;
$k = \frac{m}{(\frac{t}{2πN})^{2}}$;
$k = m * (\frac{{2πN}}{t})^{2}$;
$k = 0,1 * (\frac{{2 * 3,14 * 300}}{60})^{2} = 98,6$ Н/м.
Ответ: 98,6 Н/м.

Задание №1792

Амплитуда колебаний груза, подвешенного на пружине, равна 20 см, период колебаний 0,25 с. Какой путь пройдёт груз за 1 с?

Решение

Дано:
A = 20 см;
T = 0,25 с;
t = 1 c.
Найти:
s − ?
СИ:
A = 0,2 м.
Решение:
Найдем число колебаний за 1 с:
$T = \frac{t}{N}$;
$N = \frac{t}{T}$;
$N = \frac{1}{0,25} = 4$ колебания;
За одно полное колебание тело дважды максимально отклоняется от положения равновесия, поэтому один полный путь одного полного колебания равен четырём амплитудам:
$s_{1} = 4A$;
Полный путь N полых колебаний равен:
$s = s_{1} * N = 4AN$;
s = 4 * 0,2 * 4 = 3,2 м.
Ответ: 3,2 м.

Задание №1793

Пружинный маятник совершает 120 колебаний за 1 мин. Чему равно перемещение маятника за 2 мин, если амплитуда колебаний 20 см?

Решение

Дано:
$N_{1} = 120$ колебаний;
$t_{1} = 1$ мин.;
$t_{2} = 2$ мин.;
A = 20 см.
Найти:
$s_{t_{2}}$ − ?
СИ:
$t_{1} = 60$ с;
$t_{2} = 120$ с;
A =0,2 м.
Решение:
Найдем период колебания маятника за $t_{1}$:
$T = \frac{t_{1}}{N_{1}}$;
$T = \frac{60}{120} = 0,5$ с;
Найдем число колебаний за $t_{2}$:
$T = \frac{t_{2}}{N_{2}}$;
$N_{2} = \frac{t_{2}}{T}$;
$N_{2} = \frac{120}{0,5} = 240$ колебаний.
Так как маятник совершил полное количество колебаний, то в конце 2−й минуты он вернулся в исходное положение и его перемещение равно нулю.
Ответ: 0.

Задание №1794

Груз массой 200 г, прикреплённый к пружине, совершает колебания с частотой 4 Гц, Чему равна жёсткость пружины?

Решение

Дано:
m = 200 г;
ν = 4 Гц.
Найти:
k − ?
СИ:
m = 0,2 кг.
Решение:
Найдем период колебания груза:
$T = \frac{1}{ν }$;
Найдем жесткость пружины:
$T = 2π\sqrt{\frac{m}{k}}$;
$\frac{1}{ν } = 2π\sqrt{\frac{m}{k}}$;
$\sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{\frac{1}{ν}}{2π} = \frac{1}{2πν}$;
$\frac{m}{k} =( \frac{1}{2πν})^{2}$;
$k = \frac{m}{(\frac{1}{2πν})^{2}} = m * (2πν)^{2}$;
$k = 0,2 * (2 * 3,14 * 4)^{2} = 126,2$ Н/м.
Ответ: 126,2 Н/м.

Задание №1795

Груз, колеблющийся на пружине, жёсткость которой равна 250 Н/м, делает 40 колебаний за 32 с. Чему равна масса груза?

Решение

Дано:
k = 250 Н/м;
N = 40 колебаний;
t = 32 c.
Найти:
m − ?
Решение:
Найдем период колебания груза:
$T = \frac{t}{N }$;
Найдем массу груза:
$T = 2π\sqrt{\frac{m}{k}}$;
$\frac{t}{N } = 2π\sqrt{\frac{m}{k}}$;
$\sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{\frac{t}{N}}{2π} = \frac{t}{2πN}$;
$\frac{m}{k} = (\frac{t}{2πN})^{2}$;
$m = (\frac{t}{2πN})^{2} * k$;
$m = (\frac{32}{2 * 3,14 * 40})^{2} * 250 = 4$ кг.
Ответ: 4 кг.

Задание №1796

Рассчитайте длину нити математического маятника, совершающего колебания с частотой 0,5 Гц на поверхности Луны. Ускорение свободного падения на Луне равно 1,6 $м/с^{2}$?

Решение

Дано:
ν = 0,5 Гц;
g = 1,6 $м/с^{2}$.
Найти:
l − ?
Решение:
Найдем период колебания математического маятника:
$T = \frac{1}{ν}$;
Найдем длину нити математического маятника:
$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
$\frac{1}{ν} = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
$\sqrt{\frac{l}{g}}= \frac{\frac{1}{ν}}{2π} = \frac{1}{2πν}$;
$\frac{l}{g} = (\frac{1}{2πν})^{2}$;
$l = (\frac{1}{2πν})^{2} * g$;
$m = (\frac{1}{2 * 3,14 * 0,5})^{2} * 1,6 = 0,16$ м.
Ответ: 0,16 м.

Задание №1797

При опытном определении ускорения свободного падения учащийся насчитал 150 колебаний маятника за 5 мин. Какое значение он получил, если длина нитяного маятника равна 1 м?

Решение

Дано:
N = 150 колебаний;
t = 5 мин;
l = 1 м.
Найти:
g − ?
СИ:
t = 300 с.
Решение:
Найдем период колебания математического маятника:
$T = \frac{t}{N}$;
Найдем ускорение свободного падения :
$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
$\frac{t}{N} = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
$\sqrt{\frac{l}{g}}= \frac{\frac{t}{N}}{2π} = \frac{t}{2πN}$;
$\frac{l}{g} = (\frac{t}{2πN})^{2}$;
$g = \frac{l}{(\frac{t}{2πN})^{2}} = l * (\frac{2πN}{t})^{2}$;
$g = 1 * (\frac{2 * 3,14 * 150}{300})^{2} = 9,86 м/с^{2}$.
Ответ: 9,86 $м/с^{2}$.